En esta tesis doctoral presentamos un modelo de competencia matemática sustentado en un estudio de caso. Se han desarrollado las competencias de modelización y argumentación en el tópico de interpretación de gráficas funcionales.En los resultados se ha constatado que el modelo de competencia está compuesto por tareas, procesos y niveles de complejidad. Se ha determinado la relación entre los tres componentes del modelo: los niveles de complejidad identifican el nivel cognitivo de una tarea matemática de acuerdo con un proceso. Asimismo hay una relación entre los patrones de interacción entre profesores y estudiantes y el progreso en el nivel de complejidad. Esperamos que esta discusión sobre competencia matemática contribuya como un antecedente para asociar las competencias matemáticas a procesos organizadores del currículo. También que nuestra propuesta permita a los investigadores profundizar en las competencias matemáticas y a los profesores tanto planificar como desarrollar competencias matemáticas en el aula. A su vez, esperamos que el estudio de las competencias de modelización y argumentación sirva de precedente para el estudio de otras competencias tales como representar, calcular, resolver problemas, tanto en distintos contenidos como niveles educativos. / In this thesis we present a mathematical competence model supported by a case study. Modeling and argumentative competencies have been developed on the functional graphs interpretation topic. In the results it was found that the model competence is composed of tasks, processes and levels of complexity. Then, the relationship between the three components of the model has been determined: levels of complexity identify the cognitive level of a mathematical task regarding the process. There is also a relationship between the patterns of interaction between teachers and students and progress in the level of complexity.We expect that the discussion about mathematical competence contributes as a part of the background in order to associate the mathematical competencies to the processes that organize the curriculum. Also that our proposal allows researchers' focusing on mathematical competencies, and teachers to plan and develop the mathematical competencies in the classroom. At the same time, we expect that the study of modeling and argumentative competencies will be a precedent for the study of other competencies like: representation, calculate, solve problems, both for different contents and educative levels.

Este trabajo es el resultado de un amplio estudio sobre el conocimiento profesional del profesor de matemáticas de universidad que enseña cálculo matemático a estudiantes de ciencias económicas, así como su desarrollo profesional y la enseñanza de las matemáticas basada en la resolución de problemas como estrategia metodológica alternativa de enseñanza. No obstante, antes de entrar en detalle sobre el contenido de esta memoria, no podemos obviar que la misma se inició con una inquietud personal, puesto que el autor, además de iniciarse en el campo de la investigación en la didáctica de las matemáticas, también es profesor universitario de matemáticas para carreras relacionadas con las ciencias económicas. En este orden de ideas, lo que se persiguió en este estudio fue responder a preguntas aparentemente simples de plantear como: ¿cuál es el conocimiento didáctico del contenido (CDC) de los profesores de matemáticas para las carreras de ciencias económicas?, ¿qué contenido económico llevan al aula de clases y cómo lo presentan?, ¿conocen la enseñanza basada en problemas (EBP) como estrategia de enseñanza y la ponen en práctica en algún momento?; todos estos cuestionamientos y otros tantos orientaron e impulsaron nuestros primeros pasos en este estudio. De todo lo anterior esperamos dejar claro que el foco principal de esta investigación es el profesor de matemáticas de universidad y, como objeto de estudio de este profesional, abordamos el conocimiento didáctico del contenido. Estudiar e indagar sobre el conocimiento del profesor resulta una tarea compleja en sí misma; además, su grado de complejidad se incrementa cuando la relación entre el investigador y los profesores participantes es estrecha, ya que todos trabajan en el mismo departamento de matemáticas y siempre surge la inquietud por parte del profesor participante de sentirse evaluado. Aquí presentamos un estudio sobre aspectos muy concretos del CDC del profesor de matemáticas de universidad, el cual desarrollamos a partir de un seminario de discusión en torno a la enseñanza del objeto matemático "derivada de una función". También abordamos conceptos afines como el dominio de una función, la monotonía de una función y los valores extremos, todo esto con el fin de aproximarnos de forma heterogénea a los profesores participantes en este estudio. De esta manera buscamos contribuir al fortalecimiento de la investigación en esta línea de la didáctica de las matemáticas y, más concretamente de las didácticas específicas. / This study shows the result of a wide analysis about the professional knowledge of the mathematic's university professors teaching mathematical calculus to economy students by using the problem based methodological approach. Previously to the development of that memory we should to express a personal concern of the author who, besides his further contact in investigation with mathematical didactics, he is also currently working as university professor in mathematics for business courses. The aim of this study is to answer some apparently simple questions, like: what didactical knowledge of the contents have the professors of mathematics for business? , which business contents take they to the classroom and how they displays it?, Do they know problem based learning (PBL) as a teaching strategy and do they use it at any time?. We oriented our initial steps to the solution of all these questions and others. Then, it is our hope to stablish that this research is focused on the university's professor of mathematics and his didactical knowledge of the contents as the study matter. The study of the professor's knowledge is a complex task. Moreover this complexity increases when there is a close relationship between the researcher and the studied professors. We all work at the same mathematics department and it is easily to generate some concerns about the possible evaluation aspects of the trial. The study that we present is centered in some very specific aspects of the didactical knowledge of the contents of the mathematic's university professor. We develop it from a discussion seminar centered on the teaching of the mathematical object "function's derivate". We also deal with the closely related concepts function's dominion, function's monotony and extreme values. All that to obtain a more heterogeneous approach to the professors participating in that trial. Like that we attempt to contribute to strengthen the research in that way of the mathematic's didactics, and more closely of the specific didactics.