Submitted by Marcos Samuel (msamjunior@gmail.com) on 2016-06-07T14:47:24Z No. of bitstreams: 1 Dissertacao Diogo.pdf: 861905 bytes, checksum: 035f09262025273ab8457d6f1200e5de (MD5) / Approved for entry into archive by Alda Lima da Silva (sivalda@ufba.br) on 2016-06-13T16:57:36Z (GMT) No. of bitstreams: 1 Dissertacao Diogo.pdf: 861905 bytes, checksum: 035f09262025273ab8457d6f1200e5de (MD5) / Made available in DSpace on 2016-06-13T16:57:36Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Dissertacao Diogo.pdf: 861905 bytes, checksum: 035f09262025273ab8457d6f1200e5de (MD5) / O objetivo desta dissertação é estudar e apresentar alguns resultados em Percolação homogênea de elos para grafos hipercúbicos. O resultado principal deste trabalho é a diferenciabilidade contínua de k(p), o número médio de aglomerados por vértice no grafo. Para obtermos este resultado, serão utilizados argumentos em áreas distintas da Matemática, principalmente em Probabilidade, Combinatória e Teoria dos Grafos.

Um espaço de Hilbert de reprodução (EHR) é um espaço de Hilbert de funções construído de maneira específica e única a partir de um núcleo positivo definido. As funções do EHR tem a seguinte peculiaridade: seus valores podem ser reproduzidos através de uma operação elementar envolvendo a própria função, o núcleo gerador e o produto interno do espaço. Neste trabalho, consideramos EHR gerados por núcleos positivos definidos sobre a esfera unitária m-dimensional usual. Analisamos quais propriedades são herdadas pelos elementos do espaço, quando o núcleo gerador possui alguma hipótese de diferenciabilidade. A análise é elaborada em duas frentes: com a noção de diferenciabilidade usual sobre a esfera e com uma noção de diferenciabilidade definida por uma operação multiplicativa genérica. Esta última inclui como caso particular as derivadas fracionárias e a derivada forte de Laplace-Beltrami. Em cada um dos casos consideramos ainda propriedades específicas do mergulho do EHR em espaços de funções suaves definidos pela diferenciabilidade utilizada / A reproducing kernel Hilbert space (EHR) is a Hilbert space of functions constructed in a unique manner from a fixed positive definite generating kernel. The values of a function in a reproducing kernel Hilbert space can be reproduced through an elementary operation involving the function itself, the generating kernel and the inner product of the space. In this work, we consider reproducing kernel Hilbert spaces generated by a positive definite kernel on the usual m-dimensional sphere. The main goal is to analyze differentiability properties inherited by the functions in the space when the generating kernel carries a differentiability assumption. That is done in two different cases: using the usual notion of differentiability on the sphere and using another one defined through multiplicative operators. The second case includes the Laplace-Beltrami derivative and fractional derivatives as well. In both cases we consider specific properties of the embeddings of the reproducing kernel Hilbert space into spaces of smooth functions induced by notion of differentiability used

Um espaço de Hilbert de reprodução (EHR) é um espaço de Hilbert de funções construído de maneira específica e única a partir de um núcleo positivo definido. As funções do EHR tem a seguinte peculiaridade: seus valores podem ser reproduzidos através de uma operação elementar envolvendo a própria função, o núcleo gerador e o produto interno do espaço. Neste trabalho, consideramos EHR gerados por núcleos positivos definidos sobre a esfera unitária m-dimensional usual. Analisamos quais propriedades são herdadas pelos elementos do espaço, quando o núcleo gerador possui alguma hipótese de diferenciabilidade. A análise é elaborada em duas frentes: com a noção de diferenciabilidade usual sobre a esfera e com uma noção de diferenciabilidade definida por uma operação multiplicativa genérica. Esta última inclui como caso particular as derivadas fracionárias e a derivada forte de Laplace-Beltrami. Em cada um dos casos consideramos ainda propriedades específicas do mergulho do EHR em espaços de funções suaves definidos pela diferenciabilidade utilizada / A reproducing kernel Hilbert space (EHR) is a Hilbert space of functions constructed in a unique manner from a fixed positive definite generating kernel. The values of a function in a reproducing kernel Hilbert space can be reproduced through an elementary operation involving the function itself, the generating kernel and the inner product of the space. In this work, we consider reproducing kernel Hilbert spaces generated by a positive definite kernel on the usual m-dimensional sphere. The main goal is to analyze differentiability properties inherited by the functions in the space when the generating kernel carries a differentiability assumption. That is done in two different cases: using the usual notion of differentiability on the sphere and using another one defined through multiplicative operators. The second case includes the Laplace-Beltrami derivative and fractional derivatives as well. In both cases we consider specific properties of the embeddings of the reproducing kernel Hilbert space into spaces of smooth functions induced by notion of differentiability used

Submitted by Karem Dantas (karem.c.dantas@gmail.com) on 2018-10-01T14:36:16Z No. of bitstreams: 2 license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) Dissertação do aluno Vinícius Pereira Bandeira.pdf: 629610 bytes, checksum: ffbd493abcbaea077065cfb1615a67ff (MD5) / Approved for entry into archive by Marcos Roberto Gomes (mrobertosg@gmail.com) on 2018-10-01T17:34:48Z (GMT) No. of bitstreams: 2 license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) Dissertação do aluno Vinícius Pereira Bandeira.pdf: 629610 bytes, checksum: ffbd493abcbaea077065cfb1615a67ff (MD5) / Approved for entry into archive by Divisão de Documentação/BC Biblioteca Central (ddbc@ufam.edu.br) on 2018-10-02T15:29:18Z (GMT) No. of bitstreams: 2 license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) Dissertação do aluno Vinícius Pereira Bandeira.pdf: 629610 bytes, checksum: ffbd493abcbaea077065cfb1615a67ff (MD5) / Made available in DSpace on 2018-10-02T15:29:18Z (GMT). No. of bitstreams: 2 license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) Dissertação do aluno Vinícius Pereira Bandeira.pdf: 629610 bytes, checksum: ffbd493abcbaea077065cfb1615a67ff (MD5) Previous issue date: 2017-09-04 / CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / In this work we present the differential calculus of domain, developed by Daniel Henry in 2005, applied to problems of boundary pertubation of the regular domain. We will use this technique to calculate the first derivative of the simple eigenvalue of Laplace operator with respect to the domain. Then we show the technique developed by Marcos Montenegro and Julian Haddad in 2015 to calculate the derivative of simple eigenvalues of uniformly elliptical operators of second order in non-regular domains, with respect to the coefficients of the operator and the domain, where they are taken Non-regular disturbances of the problem definition domain. Finally, we highlight some differences and similarities between both techniques. / Neste trabalho apresentamos o cálculo diferencial de domínios, desenvolvido por Daniel Henry em 2005, aplicado em problemas de pertubação de fronteira de domínio regular. Ultilizaremos essa técnica para calcular a primeira derivada do autovalor simples do Laplaciano com respeito ao domínio. Em seguida, exibimos a técnica desenvolvida por Marcos Montenegro e Julian Haddad em 2015 para calcular a derivada de autovalores simples de operadores uniformemente elípticos de segunda ordem em domínios não-regulares, com respeito aos coeficientes do operador e ao domínio, onde são tomadas perturbações não regulares do domínio de definição do problema. Por fim, destacamos algumas diferenças e semelhanças entre ambas as técnicas.

Neste trabalho analisamos a positividade definida estrita de núcleos contínuos sobre um espaço compacto 2-homogêneo. R. Gangolli (1967) apresentou uma caracterização completa para os núcleos que são contínuos, isotrópicos e positivos definidos sobre um espaço compacto 2-homogêneo Md: a parte isotrópica do núcleo é uma série de Fourier uniformemente convergente, com coeficientes não negativos, em relação a certos polinômios de Jacobi atrelados a Md. Uma das contribuições de nosso trabalho é uma caracterização para a positividade definida estrita de tais núcleos, complementando a caracterização apresentada por Chen et al. (2003) no caso em que Md é uma esfera unitária de dimensão maior ou igual a 2. Outra contribuição do trabalho é uma extensão do resultado de Gangolli para núcleos sobre produtos cartesianos de espaços compactos 2-homogêneos, e a consequente caracterização para núcleos estritamente positivos definidos neste mesmo contexto. Por fim, a última contribuição do trabalho envolve a análise do grau de diferenciabilidade da parte isotrópica de um núcleo contínuo, isotrópico e positivo definido sobre Md e a aplicabilidade de tal análise em resultados envolvendo a positividade definida estrita. / In this work we analyze the strict positive definiteness of continuous kernels on compact two-point homogeneous spaces Md. R. Gangolli (1967) presented a complete characterization for continuous, isotropic and positive definite kernels on Md: the isotropic part of the kernel is a uniformly convergent Fourier series of certain Jacobi polynomials associated to Md, with nonnegative coefficients. One of the contributions of our work is a characterization for the strict positive definiteness of such kernels, completing that one presented by Chen et al. (2003) in the case Md is the unit sphere of dimension at least 2. Another contribuition of this work is an extension of Gangolli\'s result for kernels on a product of compact two-point homogeneous spaces, and the subsequent characterization of strict positive definiteness in this same context. Finally, the last contribution in this work involves the analysis of the differentiability of the isotropic part of a continuous, isotropic and positive definite kernel on Md and the applicability of such analysis in results involving the strict positive definiteness.

Neste trabalho estudamos diferentes noções de diferenciabilidade para funções definidas na esfera unitária S^n-1 de R^n, n>=2. Em relação à derivada usual, encontramos condições necessárias e/ou suficientes para que uma função seja diferenciável até uma ordem fixada. Para as outras duas, a derivada forte de Laplace-Beltrami e a derivada fraca, apresentamos algumas propriedades básicas e procuramos condições que garantam a equivalência destas com a diferenciabilidade usual. / In this work we study different notions of differentiability for functions defined on the unit sphere S^n-1 of R^n, n>=2. With respect to the usual derivative, we find necessary and/or sufficient conditions in order that a function be differentiable up to a fixed order. As for the other two, the strong Laplace-Beltrami derivative and the weak derivative, we present some basic properties about them and search for conditions that guarantee the equivalence of them with the previous one.

Neste trabalho estudamos diferentes noções de diferenciabilidade para funções definidas na esfera unitária S^n-1 de R^n, n>=2. Em relação à derivada usual, encontramos condições necessárias e/ou suficientes para que uma função seja diferenciável até uma ordem fixada. Para as outras duas, a derivada forte de Laplace-Beltrami e a derivada fraca, apresentamos algumas propriedades básicas e procuramos condições que garantam a equivalência destas com a diferenciabilidade usual. / In this work we study different notions of differentiability for functions defined on the unit sphere S^n-1 of R^n, n>=2. With respect to the usual derivative, we find necessary and/or sufficient conditions in order that a function be differentiable up to a fixed order. As for the other two, the strong Laplace-Beltrami derivative and the weak derivative, we present some basic properties about them and search for conditions that guarantee the equivalence of them with the previous one.

Neste trabalho analisamos a positividade definida estrita de núcleos contínuos sobre um espaço compacto 2-homogêneo. R. Gangolli (1967) apresentou uma caracterização completa para os núcleos que são contínuos, isotrópicos e positivos definidos sobre um espaço compacto 2-homogêneo Md: a parte isotrópica do núcleo é uma série de Fourier uniformemente convergente, com coeficientes não negativos, em relação a certos polinômios de Jacobi atrelados a Md. Uma das contribuições de nosso trabalho é uma caracterização para a positividade definida estrita de tais núcleos, complementando a caracterização apresentada por Chen et al. (2003) no caso em que Md é uma esfera unitária de dimensão maior ou igual a 2. Outra contribuição do trabalho é uma extensão do resultado de Gangolli para núcleos sobre produtos cartesianos de espaços compactos 2-homogêneos, e a consequente caracterização para núcleos estritamente positivos definidos neste mesmo contexto. Por fim, a última contribuição do trabalho envolve a análise do grau de diferenciabilidade da parte isotrópica de um núcleo contínuo, isotrópico e positivo definido sobre Md e a aplicabilidade de tal análise em resultados envolvendo a positividade definida estrita. / In this work we analyze the strict positive definiteness of continuous kernels on compact two-point homogeneous spaces Md. R. Gangolli (1967) presented a complete characterization for continuous, isotropic and positive definite kernels on Md: the isotropic part of the kernel is a uniformly convergent Fourier series of certain Jacobi polynomials associated to Md, with nonnegative coefficients. One of the contributions of our work is a characterization for the strict positive definiteness of such kernels, completing that one presented by Chen et al. (2003) in the case Md is the unit sphere of dimension at least 2. Another contribuition of this work is an extension of Gangolli\'s result for kernels on a product of compact two-point homogeneous spaces, and the subsequent characterization of strict positive definiteness in this same context. Finally, the last contribution in this work involves the analysis of the differentiability of the isotropic part of a continuous, isotropic and positive definite kernel on Md and the applicability of such analysis in results involving the strict positive definiteness.

Neste trabalho apresentamos alguns jogos topológicos e suas aplicações à análise. Com esse fim, se fornece condições necessárias para que funções aproximadamente contínuas se tornem contínuas, se caracteriza os conjuntos estritamente pseudo-completos nos espaços de Banach e, assim também, se constrói um espaço de diferenciabilidade Gâteaux que não é Asplund fraco. / In this work we present some topological games and their applications to analysis. For this purpose, necessary conditions are given for nearly continuous functions to become continuous, we characterize the strictly pseudo-complete sets in the Banach spaces and we also construct a Gâteaux differentiability space that is not weak Asplund.

Neste trabalho apresentamos alguns jogos topológicos e suas aplicações à análise. Com esse fim, se fornece condições necessárias para que funções aproximadamente contínuas se tornem contínuas, se caracteriza os conjuntos estritamente pseudo-completos nos espaços de Banach e, assim também, se constrói um espaço de diferenciabilidade Gâteaux que não é Asplund fraco. / In this work we present some topological games and their applications to analysis. For this purpose, necessary conditions are given for nearly continuous functions to become continuous, we characterize the strictly pseudo-complete sets in the Banach spaces and we also construct a Gâteaux differentiability space that is not weak Asplund.