Chemnitz-Zwickau, Techn. Univ., Diss., 1996.

Zugl.: Hannover, Universiẗat, Diss., 1985.

Die Arbeit befasst sich mit zweierleiZum einen wird der STM-Abbildungsprozess simuliert, indem Probe und Spitze durch zweidimensionale Sommerfeld-Metalle frei waehlbarer Geometrie beschrieben werden und der Tunnelstrom im Transfer-Hamiltonian-Formalismus bestimmt wird. Die Berechnung der Eigenzustaende der Elektroden erfolgt numerisch durch Diskretisierung der Schroedingergleichung im Differenzenverfahren. Ueber die geometrische Entfaltung der erhaltenen Konstantstromprofile mit der Spitzengeometrie werden der Vergleich zum geometrischen (mechanischen) Abtasten gezogen und Moeglichkeiten einer Vermessung von Spitze und Probe diskutiert. Zum anderen wird durch Berechnung von Eigenzustaenden in grossen zweidimensionalen Potentialkaesten (Quantenbillards) endlicher Wandhoehe der Frage nachgegangen, welchen Einfluss klassisch verbotene Gebiete (Aussenraum, Tunnelbarriere) auf Eigenfunktionen in semiklassisch grossen Systemen haben. Betrachtet wird insbesondere ein Gesamtsystem bestehend aus zwei Potentialkaesten, die ueber eine Tunnelbarriere koppeln (¨Quantenbillards endlicher Wandhoehe im Tunnelkontakt¨). Bei einer Reihe von Zustaenden zeigen sich Scars, die aus der Barriere austreten und in diese zuruecklaufen. Das Gesamtsystem ist in hohem Masse nichtintegrabel, ¨sichtbar¨ wird dieses aber nur fuer Bahnen entweder des Kontinuums oder fuer komplexe Orbits. Eine semiklassische Beschreibung dieses Phaenomens mit der gegenwaertigen, auf klassischen Orbits fussenden Theorie periodischer Bahnen ist nicht mehr moeglich. Die Einbeziehung komplexer Orbits oder Bahnen des Kontinuums (¨ungebundener Orbits¨) wird durch diese Ergebnisse angemahnt.

This is a book on numerical methods for singular perturbation problems - in particular stationary convection-dominated convection-diffusion problems. More precisely it is devoted to the construction and analysis of layer-adapted meshes underlying these numerical methods. An early important contribution towards the optimization of numerical methods by means of special meshes was made by N.S. Bakhvalov in 1969. His paper spawned a lively discussion in the literature with a number of further meshes being proposed and applied to various singular perturbation problems. However, in the mid 1980s this development stalled, but was enlivend again by G.I. Shishkin's proposal of piecewise- equidistant meshes in the early 1990s. Because of their very simple structure they are often much easier to analyse than other meshes, although they give numerical approximations that are inferior to solutions on competing meshes. Shishkin meshes for numerous problems and numerical methods have been studied since and they are still very much in vogue. With this contribution we try to counter this development and lay the emphasis on more general meshes that - apart from performing better than piecewise-uniform meshes - provide a much deeper insight in the course of their analysis. In this monograph a classification and a survey are given of layer-adapted meshes for convection-diffusion problems. It tries to give a comprehensive review of state-of-the art techniques used in the convergence analysis for various numerical methods: finite differences, finite elements and finite volumes. While for finite difference schemes applied to one-dimensional problems a rather complete convergence theory for arbitrary meshes is developed, the theory is more fragmentary for other methods and problems and still requires the restriction to certain classes of meshes.

Die Arbeit befasst sich mit zweierleiZum einen wird der STM-Abbildungsprozess simuliert, indem Probe und Spitze durch zweidimensionale Sommerfeld-Metalle frei waehlbarer Geometrie beschrieben werden und der Tunnelstrom im Transfer-Hamiltonian-Formalismus bestimmt wird. Die Berechnung der Eigenzustaende der Elektroden erfolgt numerisch durch Diskretisierung der Schroedingergleichung im Differenzenverfahren. Ueber die geometrische Entfaltung der erhaltenen Konstantstromprofile mit der Spitzengeometrie werden der Vergleich zum geometrischen (mechanischen) Abtasten gezogen und Moeglichkeiten einer Vermessung von Spitze und Probe diskutiert. Zum anderen wird durch Berechnung von Eigenzustaenden in grossen zweidimensionalen Potentialkaesten (Quantenbillards) endlicher Wandhoehe der Frage nachgegangen, welchen Einfluss klassisch verbotene Gebiete (Aussenraum, Tunnelbarriere) auf Eigenfunktionen in semiklassisch grossen Systemen haben. Betrachtet wird insbesondere ein Gesamtsystem bestehend aus zwei Potentialkaesten, die ueber eine Tunnelbarriere koppeln (¨Quantenbillards endlicher Wandhoehe im Tunnelkontakt¨). Bei einer Reihe von Zustaenden zeigen sich Scars, die aus der Barriere austreten und in diese zuruecklaufen. Das Gesamtsystem ist in hohem Masse nichtintegrabel, ¨sichtbar¨ wird dieses aber nur fuer Bahnen entweder des Kontinuums oder fuer komplexe Orbits. Eine semiklassische Beschreibung dieses Phaenomens mit der gegenwaertigen, auf klassischen Orbits fussenden Theorie periodischer Bahnen ist nicht mehr moeglich. Die Einbeziehung komplexer Orbits oder Bahnen des Kontinuums (¨ungebundener Orbits¨) wird durch diese Ergebnisse angemahnt.

This is a book on numerical methods for singular perturbation problems - in particular stationary convection-dominated convection-diffusion problems. More precisely it is devoted to the construction and analysis of layer-adapted meshes underlying these numerical methods. An early important contribution towards the optimization of numerical methods by means of special meshes was made by N.S. Bakhvalov in 1969. His paper spawned a lively discussion in the literature with a number of further meshes being proposed and applied to various singular perturbation problems. However, in the mid 1980s this development stalled, but was enlivend again by G.I. Shishkin's proposal of piecewise- equidistant meshes in the early 1990s. Because of their very simple structure they are often much easier to analyse than other meshes, although they give numerical approximations that are inferior to solutions on competing meshes. Shishkin meshes for numerous problems and numerical methods have been studied since and they are still very much in vogue. With this contribution we try to counter this development and lay the emphasis on more general meshes that - apart from performing better than piecewise-uniform meshes - provide a much deeper insight in the course of their analysis. In this monograph a classification and a survey are given of layer-adapted meshes for convection-diffusion problems. It tries to give a comprehensive review of state-of-the art techniques used in the convergence analysis for various numerical methods: finite differences, finite elements and finite volumes. While for finite difference schemes applied to one-dimensional problems a rather complete convergence theory for arbitrary meshes is developed, the theory is more fragmentary for other methods and problems and still requires the restriction to certain classes of meshes.