Des inclusions de petits encombrements sont sources de perturbations pour les champs électromagnétiques ambiants (ceux qui existeraient en leurs absences, par exemple). Il est facilement imaginable que la mesure de ces perturbations puisse fournir des informations permettant l'identification des inclusions, où par iden- tification l'on signifie au minimum leur localisation, mais où l'on pourrait aussi signifier quantifocation de leurs paramètres électriques, voire dans la meilleure des hypothèses, caractérisation de leurs encombrements et formes. Récemment, une théorie mathématique a été développée pour préciser de petites inclusions à partir de mesures de frontière, voir [7] et références citées. Cette thèse porte principalement sur l'identication d'inclusions homogènes (de nombre inconnu a priori) d'un milieu donné à partir de mesures d'amplitudes de diraction lors de l'éclairement approprié de ce milieu. Premièrement, nous four- nissons de nouvelles formules asymptotiques, tant robustes que précises, des champs électromagnétiques résultant du phénomène de diffraction. Ensuite, nous les ex- ploitons pour la construction d'algorithmes d'identification non itératifs pertinents. Le problème est traité en trois grandes parties, chacune étant dédiée à une géométrie spécique : 1) Le milieu d'enfouissement de la collection est homogène, l'espace libre. 2) Le milieu est constitué de deux demi-espaces séparés par une interface plane, la collection étudiée se situant dans le demi-espace inférieur et sources et capteurs se situant dans le demi-espace supérieur. 3) Le milieu est un guide d'ondes, et la collection est dans le coeur de ce guide d'ondes.

Cette thèse s'inscrit dans le domaine de l'imagerie non-destructive en électromagnétisme. L'originalité du travail réside, tout d'abord, dans sa forte connotation expérimentale. Celle-ci a abouti à la construction d'un prototype RADAR capable d'acquérir des données multisources-multistatiques dans la gamme de fréquence [2-4] GHz. De plus, ce système implémente la formation de voies au moyen d'un réseau d'atténuateurs/déphaseurs commandé numériquement.Les expériences menées relèvent, d'une part, de l'imagerie qualitative. Le Retournement Temporel, ainsi que les méthodes DORT et TR-MUSIC, ont été appliqués afin de détecter et localiser des cibles diffractantes. Le cas des milieux réverbérants a notamment été abordé.D'autre part, le prototype a été utilisé dans le cadre de la diffraction inverse quantitative sur des données très limitées en ouverture. Un algorithme itératif non-linéarisé prenant en compte l'aspect multi-fréquentiel des données a été adapté à la configuration expérimentale notamment grâce à une procédure de calibration performante.Enfin, la possibilité de greffer les avantages du Retournement Temporel sur ces techniques quantitatives a été étudiée. L'objectif est l'amélioration des résultats dans des milieux aléatoires proches de ceux rencontrés notamment en imagerie médicale (détection de tumeurs) ou en sondage du sous-sol (détection de mines, de nappes de pétrole). / This thesis deals with non-destructive electromagnetic imaging. Its originality lies, primarily, in a marked experimental approach, which has led to the realization of a RADAR prototype able to acquire multisource-multistatic data within the [2-4] GHz frequency band. Furthermore, the system implements beamforming through a numerically-controlled attenuator/phase shifter array.On the one hand, qualitative imaging experiments have been performed. Time Reversal, as well as DORT and TR-MUSIC methods, have been applied to detect and localize scattering objects. In particular, the case of reverberating media has been dealt with.On the other hand, the prototype has been used for quantitative inverse scattering with very aspect-limited data. A non-linearized iterative algorithm taking into account the multi-frequency nature of the data has been adapted to the experimental configuration through a performing calibration procedure.Finally, the possibility of exploiting the features of Time Reversal within the quantitative frame has been studied. The goal is the improvement of the results in random media mimicking those typical of medical imaging (tumor detection) or sub-surface probing (land mine or oil detection) applications.

Dans une première partie, une méthode de reconstruction du profil de permittivité et de conductivité -- basée sur une méthode de bigradient conjugué et une technique de préservation des discontinuités, précédemment développée dans le cas d'une illumination par ondes planes -- est étendue de façon à prendre en compte le champ proche arbitraire d'antennes émettrices. La robustesse de l'algorithme est étudiée en simulant des erreurs de mesure du champ diffracté. Le choix des différents paramètres est examiné de façon à appréhender la quantité d'information nécessaire pour une reconstruction optimale. Dans une deuxième partie, on développe une méthode de différences finies pour la résolution des équations de Maxwell en régime harmonique, en deux et trois dimensions. Le maillage est terminé par des couches parfaitement adaptées et l'intégrale de Kirchhoff est appliquée à la transformation champ proche - champ lointain. Cette méthode se prête à une utilisation en imagerie tridimensionnelle.

Contexte.<!--SEC END --><br /> Le but de ce travail est de proposer une contribution au traitement numérique de la detection d'obstacles rigides dans des domaines acoustiques tridimensionnels bornés dont la taille est grande relativement à la longueur d'onde. Ce contexte peut être considéré comme un problème modèle, représentatif de situations physiquement plus complexes associées au contrôle non destructif, et relevant pour ses aspects théoriques de la diffraction inverse. Le contexte de la diffraction inverse présente de nombreuses difficultés sur le plan des méthodes numériques, et une grande partie des références traitant de ce type d'inversion se placent dans l'hypothèse d'un milieu infini. Celle-ci est plus pertinente pour des applications en électromagnétisme, telles que la furtivité radar, que pour l'identification de défauts dans des structures.<BR><br /><br />Nous nous plaçons donc dans le cadre classique de l'acoustique linéaire avec un domaine éclairé par des sources monochromatiques. Par ailleurs, on part du principe, également classique, de poser le problème d'inversion (identification de la position et la taille des obstacles) en termes de l'optimisation d'une fonction coût. La procédure alors employée est itérative, elle consiste à résoudre le problème direct pour des obstacles hypothétiques d'essais. Vu le coût de résolution d'un problème direct, cette approche préfère en général les algorithmes utilisant le gradient que les approches type évolutionnaire.<BR><br /><br /><strong>1 -- Résolution du problème acoustique direct par la méthode multipôle rapide.</strong> Le premier aspect sur lequel ce travail s'est penché porte sur l'accélération du problème direct (calcul du champ acoustique pour une configuration donnée d'obstacle), indispensable pour évaluer la fonction-coût du problème inverse. Plusieurs méthodes numériques existent pour cela, chacune ayant des avantages et des inconvénients ; on citera les éléments finis, les différences finies et les éléments de frontière. La méthode des éléments de frontière, qui nécessite uniquement le maillage de la frontière du domaine, est bien adaptée à la résoution du problème inverse, le remaillage nécessité par un changement de configuration d'obstacle étant très simple. L'équation intégrale conduit à un système linéaire dont la matrice est pleine et complexe, ce qui limite sévèrement (besoin mémoire <I>O</I>(<I>N</I><SUP>2</SUP>) et temps de calcul <I>O</I>(<I>N</I><SUP>3</SUP>)) la taille numérique (nombre <I>N</I> d'inconnues nodales sur les éléments de frontière) des problèmes si un solveur direct est employé. Pour traiter les calculs de grande taille occasionnés par le contexte 3D, on est ainsi amené à faire appel à un solveur itératif, qui ne demande pas le stockage de la matrice. La rapidité de résolution dépend alors essentiellement de celle du calcul d'un produit matrice-vecteur. Cette opération est a priori de complexité <I>O</I>(<I>N</I><SUP>2</SUP>), rédhibitoire pour les cas de grande taille (domaine grand devant la longueur d'onde). La Fast Multipole Method (FMM), initialement proposée par Greengard et Rohklin vers 1985 et depuis étendue aux formulations intégrales de nombreux problèmes de la physique, permet d'accélérer cette phase cruciale du calcul et réduire la complexité d'un produit matrice-vecteur à <I>O(</I><I>N</I>log<I>N</I>) en dynamique.<BR><br /><br />La mise en oeuvre de la FMM pour l'acoustique linéaire en 3D est ainsi l'une des composantes importantes de ce travail. Elle s'appuie sur des études récentes (en particulier thèse Sylvand, ENPC, 2002; articles E. Darve, 2000s) effectuées dans le cadre de la résolution numérique des équations de Maxwell. Le code issu de ce travail de thèse vérifie en particulier la complexité <I>O</I>(<I>N</I>log<I>N</I>) théorique, et a été validé sur des solutions exactes de l'acoustique 3D.<BR><br /><br /><strong>2 -- Méthode d'identification approchée d'obstacles par sensibilité topologique.</strong> Le second point étudié porte sur l'initialisation des algorithmes d'inversion utilisant la minimisation de la fonction coût. Les algorithmes globaux (par exemple de type évolutionnaire) ne sont pas réalistes en raison du très grand nombre de simulations directes nécessaires. Les algorithmes plus classiques utilisant le gradient dépendent des choix initiaux (position, taille, forme, nombre) sur les obstacles à identifier et peuvent ne pas converger pour des choix inadéquats. Des travaux récents (Bonnet et Guzina, 2005, entre autres) ont montré que le calcul du champ de sensibilité topologique associé à la fonction coût du problème inverse (une notion initialement proposée vers 1995 pour l'optimisation topologique des structures) permet d'obtenir de bonnes informations qualitatives sur la localisation d'obstacles à identifier. Le champ de sensibilité topologique, donnant le comportement asymptotique de la fonction-coût sous l'effet de l'apparition d'un obstacle de taille infinitésimale en un point spécifié du milieu, s'exprime comme une combinaison du champ direct et du champ adjoint associé à la fonction-coût, tous deux définis en l'absence d'obstacle. Le calcul de ce champ de sensibilité repose ainsi sur l'évaluation des formules de représentation intégrale donnant les champs direct et adjoint aux points d'une grille d'échantillonnage de la région 3D dans laquelle on cherche à identifier un défaut. Ce calcul, également coûteux a priori (<I>O</I>(<I>NM</I>) pour <I>O</I>(<I>N</I>) DDLs sur la frontière et<br /><I>O</I>(<I>M</I>) points d'échantillonnage), est lui aussi considérablement accéléré par l'emploi de la FMM. La FMM constitue donc au total une approche numérique bien adaptée à cette méthode d'exploration globale approchée reposant sur la sensibilité topologique. Le calcul FMM du champ de sensibilité topologique a été mis en oeuvre, et son intérêt testé sur des exemples synthétiques d'inversion. En particulier, pour une fonction-coût de type moindres carrés, la sensibilité topologique dépend linéairement des erreurs de mesure, et son calcul est donc moins sensible à ces erreurs que d'autres méthodes d'inversion.<BR><br /><br />Ce travail débouche donc sur une méthode approchée et rapide, utilisant les deux aspects présentés, qui donne des indications sur le nombre d'obstacles et leurs positions dans le domaine.

L'objectif de ce travail de thèse est de détecter et de caractériser des cibles tridimensionnelles dans un milieu désordonné. Ce domaine de recherche est d'intérêt pour de nombreuses applications, telles que le sondage du sous-sol, l'imagerie médicale, la détection non-destructive et l'exploration géophysique, etc. Afin de distinguer les cibles des hétérogénéités du milieu, nous proposons d'utiliser l'une des techniques de retournement temporel, à savoir la méthode DORT (Décomposition de l'Opérateur de Retournement Temporel). La méthode DORT permet de générer des ondes focalisant sélectivement sur chaque cible présente dans un environnement fortement hétérogène. Par ailleurs, la richesse de ces ondes focalisantes est combinée avec un algorithme d'inversion non-linéaire. Ceci nous permet non seulement de localiser, mais aussi de caractériser les cibles (forme et permittivité). La résolution obtenue à l'aide de cette approche est bien meilleure que celles obtenues avec la méthode DORT ou la méthode d'inversion seules, en particulier dans la direction d'illumination. Cette résolution est d'autant meilleure que les données utilisées sont vectorielles. Dans le cas spécifique d'une configuration d'objets enfouis impliquant deux semi-espaces infinis, la caractérisation s'avère problématique. Une solution est apportée en appliquant l'approche de marche récurrente en fréquences. Ces développements théoriques sont également confrontés aux données expérimentales mesurées dans le domaine optique. Une nouvelle Microscopie Tomographique par Diffraction (MTD) est mise en œuvre dans le cadre de cette thèse en tenant compte du caractère vectoriel de la lumière. Ce faisant, une résolution d'environ un quart de la longueur d'onde a été obtenue sur des échantillons en résine déposés sur un substrat de silicium. De plus, nous avons aussi appliqué avec succès la méthode DORT à la MTD afin de focaliser et caractériser de manière sélective plusieurs diffuseurs de tailles différentes.Lors de ce travail de thèse nous avons également développé des méthodes de caractérisation en régime transitoire. Les différentes méthodes d'inversion élaborées dans ce cadre ont été validées sur des données synthétiques et expérimentales dans le domaine des radio-fréquences. / The objective of this thesis work is to detect and to characterize three-dimensional targets in a disordered medium, using electromagnetic excitations. This research domain is of great interest in many applications, such as subsoil probing, medical imaging, non-destructive testing and geophysical exploration, etc. In order to extract the target information from the heterogeneities of the medium, we propose to use one of the time reversal technique, namely the DORT method (French acronym for Décomposition de l'Opérateur de Retournement Temporel). This method permits us to generate different waves that focus selectively on each target in high noisy environment. Moreover, this method is also combined with a non-linear inversion algorithm, which permits not only to localize but also to characterize the targets. The reconstruction resolution appears to be better than the ones obtained with the DORT or the inversion procedure alone, especially in the illumination direction. It is also shown that using full-polarized data is indispensable for achieving better performances rather than in scalar configuration. Moreover, in the half-space configuration, it is mandatory to use the frequency-diversity data to get an accurate reconstruction. These theoretical developments are also confronted to experimental data measured in the optical domain. A full-polarization Tomographic Diffractive Microscopy (TDM) is implemented and a resolution about one-fourth of the wavelength is thus obtained. Furthermore, the DORT method is applied in TDM to realize selective focalization and characterization. In the presence of multiple targets, selective characterization of each scatterer is achieved.This thesis work also deals with the characterization problem using transient data. Different inversion algorithms are validated using synthetic and experimental hyper-frequency data.

Contexte. Les problèmes inverses, qui font l'objet de nombreuses études aujourd'hui, apparaissent dans une large gamme d'applications : imagerie et tomographie, identification de propriétés matérielles, contrôle non destructif,... L'étude présentée s'inscrit dans le cadre de ce dernier exemple. Elle a pour objet la recherche de nouvelles méthodes, numériquement rapides, permettant une identification qualitative d'objets (inclusions, cavités, fissures,...) enfouis dans des milieux élastiques linéaires, en connaissant (au moins partiellement) la réponse en surface à une sollicitation dynamique. La plupart des méthodes classiquement utilisées pour traiter ce type de problèmes sont fondées sur des algorithmes itératifs de minimisation qui requièrent un grand nombre de simulations directes. Dans le contexte considéré pour cette étude (propagation d'ondes dans des solides élastiques tridimensionnels), ces simulations sont très coûteuses numériquement. L'émergence récente de techniques permettant de sonder, numériquement, de façon non-itérative un milieu donné, a permis d'aborder ces problèmes sous un nouveau jour. Un ensemble d'études a en particulier montré, dans le cadre des hypothèses adoptées pour cette thèse, l'intérêt de méthodes telles que la Sensibilité Topologique ou le Linear Sampling, pour une détection approchée mais rapide. Objectifs de la thèse. L'étude qui est présentée ici, s'inscrit dans la perspectives du développement des deux méthodes mentionnées, dans le contexte de la mécanique des solides déformables, c'est-à-dire pour des problèmes de diffraction inverse en acoustique et en élasticité. Les différents point abordés dans ce travail sont les suivants : • Appréciation des capacités et des performances respectives des deux méthodes, en particulier lorsqu'elles sont mises en œuvre dans des codes numériques usuels, fondés par exemple sur la méthode des éléments finis. • Utilisation de ces développements pour une identification qualitative combinant géométrie et propriétés matérielles des défauts diffractants inconnus. • Extension de ces méthodes, ainsi que démonstration de leurs pertinences, pour des problèmes de diffraction inverse dans le domaine temporel ou utilisation des mesures multi-fréquentielles des champs diffractés. • Etude de quelques problèmes théoriques fondamentaux pour la justification et la mise en œuvre rigoureuse de ces méthodes. • Compréhension des liens théoriques pouvant exister entre la méthode de sensibilité topologique et la méthode de ”linear sampling”.

Les radars millimétriques en bande W (75-110 GHz) sont en plein essor, grâce notamment aux progrès des circuits intégrés, permettant de réaliser des systèmes compacts à bas coût et haute résolution due à la courte longueur d’onde. Dans un premier temps, ces systèmes ont été utilisés à des fins de détection et de localisation, avec à terme, pour objectif l’identification. Ainsi, des systèmes d’imagerie radar ont été développés, notamment grâce à l’imagerie qualitative, basée par exemple sur l’imagerie radar par synthèse d’ouverture (SAR). Cependant, afin de reconstruire les propriétés électromagnétiques des objets pour une identification complète, il est nécessaire de développer des algorithmes de reconstruction quantitatifs. Le travail présenté dans ce manuscrit est de poser les bases d’un système d’imagerie qualitative et quantitative en gamme millimétrique pour la détection et l’identification des objets sur les pistes d’aéroport par tomographie, tenant compte de la polarisation de l’onde incidente. Au cours de cette thèse, un outil de simulation permettant de la résolution des problèmes direct et inverse, pour les deux types de polarisation à deux dimensions 2D-TE et 2D-TM, basé sur la méthode des moments (MoM) a été développé. La première étape a consisté en la validation du problème direct en effectuant des comparaisons numériques avec des solutions analytiques pour des cibles canoniques. Ensuite, des mesures expérimentales ont été effectuées et comparées aux résultats numériques. Enfin, les résultats des reconstructions obtenus ont permis de valider l’algorithme de reconstruction 2D développé pour l’imagerie quantitative. / Millimeter-wave radar systems in W-band (75-110 GHz) are booming, due to advances in integrated circuits, allowing the fabrication of low-cost and high-resolution compact systems, thanks to the short wavelength. First, these systems were used for detecting and localizing purposes, with the aim of identification. Thus, imaging radar systems have been developed, especially using qualitative imaging, based for example, on Synthetic Aperture Radar (SAR). Nevertheless, in order to reconstruct the electromagnetic properties of objects, for a complete identification, we must develop quantitative reconstruction algorithms. The work presented in this manuscript is to give the basis of a qualitative and quantitative millimeter wave imaging system for detecting and identifying foreign debris on airport runways using tomography, taking into account the polarization of the incident wave. In this thesis, a simulation tool for solving forward and inverse problems, for the two-dimensional polarization cases 2D-TM and 2D-TE, based on the method of moments (MoM) has been developed. The first step was to study the validation of the direct problem by comparing numerical results with analytical solutions for canonical targets. Then, experimental measurements have ben carried out and compared with numerical results. Finally, reconstruction results obtained have validated the reconstruction algorithm developed for quantitative imaging.

L'objectif de ce travail fut le développement de nouvelles méthodes pour aborder certainsproblèmes inverses en élasticité, en tirant parti de la présence d'un petit paramètre dans ces problèmespour construire des approximation asymptotiques d'ordre élevé.La première partie est consacrée à l'identification de la taille et la position d'une inhomogénéité$BTrue$ enfouie dans un domaine élastique tridimensionnel. Nous nous concentrons sur l'étude defonctions-co^uts $Jbb(Br)$ quantifiant l'écart entre $BTrue$ et une hétérogénéité ``test'' $Br$. Unetelle fonction-co^ut peut en effet être minimisée par rapport à tout ou partie des caractéristiques del'inclusion ``test'' $Br$ (position, taille, propriétés mécaniques ...) pour établir la meilleurecorrespondance possible entre $Br$ et $BTrue$. A cet effet, nous produisons un développement asymptotique de $Jbb$en la taille $incsize$ de $Br$, qui en constitue une approximation polynomiale plus aisée à minimiser. Cedéveloppement, établi jusqu'à l'ordre $O(incsize^6)$, est justifié par une estimation du résidu. Uneméthode d'identification adaptée est ensuite présentée et illustrée par des exemples numériques portant surdes obstacles de formes simples dans l'espace libre $Rbb^3$.L'objet de la seconde partie est de caractériser une inclusion microstructurée de longueur $ltot$, modéliséeen une dimension, composée de couches de deux matériaux alternés périodiquement, en supposant que les plusbasses de ses fréquences propres de transmission (TEs) sont connues. Ces fréquences sont les valeurs propres d'unproblème dit de transmission intérieur (ITP). Afin de disposer d'un modèle propiceà l'inversion, tout en prenant en compte les effets de la microstructure, nous nous reposons sur des approximationsde l'ITP exact obtenues par homogénéisation. A partir du modèle homogénéisé d'ordre 0, nous établissonstout d'abord une méthode simple pour déterminer les paramètres macroscopiques ($ltot$ et contrastes matériaux)d'une telle inclusion. Pour avoir accès à la période de la microstructure, nous nous intéressons ensuite àdes modèles homogénéisés d'ordre élevé, pour lesquels nous soulignons le besoin de conditions aux limitesadaptées. / The purpose of this work was to develop new methods to address inverse problems in elasticity,taking advantage of the presence of a small parameter in the considered problems by means of higher-order asymptoticexpansions.The first part is dedicated to the localization and size identification of a buried inhomogeneity $BTrue$ in a 3Delastic domain. In this goal, we focused on the study of functionals $Jbb(Br)$ quantifying the misfit between $BTrue$and a trial homogeneity $Br$. Such functionals are to be minimized w.r.t. some or all the characteristics of the trialinclusion $Br$ (location, size, mechanical properties ...) to find the best agreement with $BTrue$. To this end, weproduced an expansion of $Jbb$ with respect to the size $incsize$ of $Br$, providing a polynomial approximationeasier to minimize. This expansion, established up to $O(incsize^6)$ in a volume integral equations framework, isjustified by an estimate of the residual. A suited identification procedure is then given and supported by numericalillustrations for simple obstacles in full-space $Rbb^3$.The main purpose of this second part is to characterize a microstructured two-phases layered1D inclusion of length $ltot$, supposing we already know its low-frequency transmission eigenvalues (TEs). Thoseare computed as the eigenvalues of the so-called interior transmission problem (ITP). To provide a convenient invertiblemodel, while accounting for the microstructure effects, we then relied on homogenized approximations of the exact ITPfor the periodic inclusion. Focusing on the leading-order homogenized ITP, we first provide a straightforward method torecover the macroscopic parameters ($ltot$ and material contrast) of such inclusion. To access to the period of themicrostructure, higher-order homogenization is finally addressed, with emphasis on the need for suitable boundaryconditions.

Cette thèse s'inscrit dans le domaine de l'imagerie non-destructive en électromagnétisme. L'originalité du travail réside, tout d'abord, dans sa forte connotation expérimentale. Celle-ci a abouti à la construction d'un prototype RADAR capable d'acquérir des données multisources-multistatiques dans la gamme de fréquence [2-4] GHz. De plus, ce système implémente la formation de voies au moyen d'un réseau d'atténuateurs/déphaseurs commandé numériquement.Les expériences menées relèvent, d'une part, de l'imagerie qualitative. Le Retournement Temporel, ainsi que les méthodes DORT et TR-MUSIC, ont été appliqués afin de détecter et localiser des cibles diffractantes. Le cas des milieux réverbérants a notamment été abordé.D'autre part, le prototype a été utilisé dans le cadre de la diffraction inverse quantitative sur des données très limitées en ouverture. Un algorithme itératif non-linéarisé prenant en compte l'aspect multi-fréquentiel des données a été adapté à la configuration expérimentale notamment grâce à une procédure de calibration performante.Enfin, la possibilité de greffer les avantages du Retournement Temporel sur ces techniques quantitatives a été étudiée. L'objectif est l'amélioration des résultats dans des milieux aléatoires proches de ceux rencontrés notamment en imagerie médicale (détection de tumeurs) ou en sondage du sous-sol (détection de mines, de nappes de pétrole).