Contexte.<!--SEC END --><br /> Le but de ce travail est de proposer une contribution au traitement numérique de la detection d'obstacles rigides dans des domaines acoustiques tridimensionnels bornés dont la taille est grande relativement à la longueur d'onde. Ce contexte peut être considéré comme un problème modèle, représentatif de situations physiquement plus complexes associées au contrôle non destructif, et relevant pour ses aspects théoriques de la diffraction inverse. Le contexte de la diffraction inverse présente de nombreuses difficultés sur le plan des méthodes numériques, et une grande partie des références traitant de ce type d'inversion se placent dans l'hypothèse d'un milieu infini. Celle-ci est plus pertinente pour des applications en électromagnétisme, telles que la furtivité radar, que pour l'identification de défauts dans des structures.<BR><br /><br />Nous nous plaçons donc dans le cadre classique de l'acoustique linéaire avec un domaine éclairé par des sources monochromatiques. Par ailleurs, on part du principe, également classique, de poser le problème d'inversion (identification de la position et la taille des obstacles) en termes de l'optimisation d'une fonction coût. La procédure alors employée est itérative, elle consiste à résoudre le problème direct pour des obstacles hypothétiques d'essais. Vu le coût de résolution d'un problème direct, cette approche préfère en général les algorithmes utilisant le gradient que les approches type évolutionnaire.<BR><br /><br /><strong>1 -- Résolution du problème acoustique direct par la méthode multipôle rapide.</strong> Le premier aspect sur lequel ce travail s'est penché porte sur l'accélération du problème direct (calcul du champ acoustique pour une configuration donnée d'obstacle), indispensable pour évaluer la fonction-coût du problème inverse. Plusieurs méthodes numériques existent pour cela, chacune ayant des avantages et des inconvénients ; on citera les éléments finis, les différences finies et les éléments de frontière. La méthode des éléments de frontière, qui nécessite uniquement le maillage de la frontière du domaine, est bien adaptée à la résoution du problème inverse, le remaillage nécessité par un changement de configuration d'obstacle étant très simple. L'équation intégrale conduit à un système linéaire dont la matrice est pleine et complexe, ce qui limite sévèrement (besoin mémoire <I>O</I>(<I>N</I><SUP>2</SUP>) et temps de calcul <I>O</I>(<I>N</I><SUP>3</SUP>)) la taille numérique (nombre <I>N</I> d'inconnues nodales sur les éléments de frontière) des problèmes si un solveur direct est employé. Pour traiter les calculs de grande taille occasionnés par le contexte 3D, on est ainsi amené à faire appel à un solveur itératif, qui ne demande pas le stockage de la matrice. La rapidité de résolution dépend alors essentiellement de celle du calcul d'un produit matrice-vecteur. Cette opération est a priori de complexité <I>O</I>(<I>N</I><SUP>2</SUP>), rédhibitoire pour les cas de grande taille (domaine grand devant la longueur d'onde). La Fast Multipole Method (FMM), initialement proposée par Greengard et Rohklin vers 1985 et depuis étendue aux formulations intégrales de nombreux problèmes de la physique, permet d'accélérer cette phase cruciale du calcul et réduire la complexité d'un produit matrice-vecteur à <I>O(</I><I>N</I>log<I>N</I>) en dynamique.<BR><br /><br />La mise en oeuvre de la FMM pour l'acoustique linéaire en 3D est ainsi l'une des composantes importantes de ce travail. Elle s'appuie sur des études récentes (en particulier thèse Sylvand, ENPC, 2002; articles E. Darve, 2000s) effectuées dans le cadre de la résolution numérique des équations de Maxwell. Le code issu de ce travail de thèse vérifie en particulier la complexité <I>O</I>(<I>N</I>log<I>N</I>) théorique, et a été validé sur des solutions exactes de l'acoustique 3D.<BR><br /><br /><strong>2 -- Méthode d'identification approchée d'obstacles par sensibilité topologique.</strong> Le second point étudié porte sur l'initialisation des algorithmes d'inversion utilisant la minimisation de la fonction coût. Les algorithmes globaux (par exemple de type évolutionnaire) ne sont pas réalistes en raison du très grand nombre de simulations directes nécessaires. Les algorithmes plus classiques utilisant le gradient dépendent des choix initiaux (position, taille, forme, nombre) sur les obstacles à identifier et peuvent ne pas converger pour des choix inadéquats. Des travaux récents (Bonnet et Guzina, 2005, entre autres) ont montré que le calcul du champ de sensibilité topologique associé à la fonction coût du problème inverse (une notion initialement proposée vers 1995 pour l'optimisation topologique des structures) permet d'obtenir de bonnes informations qualitatives sur la localisation d'obstacles à identifier. Le champ de sensibilité topologique, donnant le comportement asymptotique de la fonction-coût sous l'effet de l'apparition d'un obstacle de taille infinitésimale en un point spécifié du milieu, s'exprime comme une combinaison du champ direct et du champ adjoint associé à la fonction-coût, tous deux définis en l'absence d'obstacle. Le calcul de ce champ de sensibilité repose ainsi sur l'évaluation des formules de représentation intégrale donnant les champs direct et adjoint aux points d'une grille d'échantillonnage de la région 3D dans laquelle on cherche à identifier un défaut. Ce calcul, également coûteux a priori (<I>O</I>(<I>NM</I>) pour <I>O</I>(<I>N</I>) DDLs sur la frontière et<br /><I>O</I>(<I>M</I>) points d'échantillonnage), est lui aussi considérablement accéléré par l'emploi de la FMM. La FMM constitue donc au total une approche numérique bien adaptée à cette méthode d'exploration globale approchée reposant sur la sensibilité topologique. Le calcul FMM du champ de sensibilité topologique a été mis en oeuvre, et son intérêt testé sur des exemples synthétiques d'inversion. En particulier, pour une fonction-coût de type moindres carrés, la sensibilité topologique dépend linéairement des erreurs de mesure, et son calcul est donc moins sensible à ces erreurs que d'autres méthodes d'inversion.<BR><br /><br />Ce travail débouche donc sur une méthode approchée et rapide, utilisant les deux aspects présentés, qui donne des indications sur le nombre d'obstacles et leurs positions dans le domaine.

Pour simuler numériquement un contrôle non destructif par courants de Foucault (CND-CF), la réponse du capteur peut être modélisée via une approche semi-analytique par intégrales de volume. Plus rapide que la méthode des éléments finis, cette approche est cependant limitée à l'étude de pièces planes ou cylindriques (sans prise en compte des effets de bords) du fait de la complexité de l'expression de la dyade de Green pour des configurations plus générales. Or, il existe une forte demande industrielle pour étendre les capacités de la modélisation CF à des configurations complexes (plaques déformées, bords de pièce...). Nous avons donc été amenés à formuler différemment le problème électromagnétique, en nous fixant comme objectif de conserver une approche semi-analytique. La formulation intégrale surfacique (SIE) permet d'exprimer le problème volumique en un problème de transmission équivalent à l'interface (2D) entre sous-domaines homogènes. Ce problème est ramené à la résolution d'un système linéaire (par la méthode des moments) dont le nombre d'inconnues est réduit du fait du caractère surfacique du maillage. Dès lors, ce système peut être résolu par un solveur direct pour de petites configurations. Cela nous a permis de traiter plusieurs seconds membres (ie. différentes positions de capteurs) pour une seule inversion de la matrice d'impédance. Les résultats numériques obtenus au moyen de cette formulation concernent des plaques avec la prise en compte des effets de bords tels que l'arête et le coin. Ils sont en accord avec des résultats obtenus par la méthode des éléments finis. Pour des configurations de grandes tailles, nous avons mené une étude préliminaire à l'adaptation d'une méthode d'accélération du produit matrice-vecteur intervenant dans un solveur itératif (méthode multipôle rapide, ou FMM) afin de définir les conditions dans lesquelles le calcul FMM fonctionne correctement (précision, convergence...) dans le contexte CND. Lors de l'assemblage du système linéaire, une attention particulière a été portée sur le choix des fonctions de bases (qui doivent respecter la conformité Hdiv) ainsi que sur l'évaluation des interactions proches (faiblement singulières).

La simulation de la propagation d'ondes pour des configurations 3D est un domaine de recherche très actif. Le principal avantage de la BEM est de ne discrétiser que les frontières du domaine. Elle est ainsi bien adaptée aux domaines infinis. Cependant, la BEM classique conduit à des matrices pleines et donc à des coûts de calcul et mémoire importants.<br />La FMM a permis d'augmenter de manière significative les capacités de la BEM dans beaucoup de domaines d'application. <br />Dans ce travail, la FMM est étendue aux équations de l'élastodynamique 3D dans le domaine fréquentiel, pour des domaines homogènes puis, grâce à une stratégie de couplage BE-BE, aux problèmes multi-domaines. D'autres améliorations de la méthode sont aussi présentées: préconditionnement, réduction du nombre de moments, développement multipôle pour les fonctions de Green du demi-espace. Des applications en sismologie sont présentées pour des modèles canoniques ainsi qu'au modèle de la vallée de Grenoble.

Cette thèse porte sur la méthode dite « méthode multipôle rapide » qui résout hiérarchiquement le problème à N-corps avec une complexité linéaire pour n'importe quelle précision. Dans le cadre de l'équation de Laplace, nous souhaitons pouvoir traiter efficacement toutes les distributions de particules rencontrées en astrophysique et en dynamique moléculaire.<br /> Nous étudions tout d'abord deux expressions distinctes du principal opérateur (« multipôle-to-local ») ainsi que les bornes d'erreur associées. Pour ces deux expressions, nous présentons une formulation matricielle dont l'implémentation avec des routines BLAS (Basic Linear Algebra Subprograms) permet d'améliorer fortement l'efficacité de calcul. Dans la gamme de précisions qui nous intéresse, cette approche se révèle plus performante que les améliorations existantes (FFT, rotations et ondes planes), pour des distributions uniformes ou non.<br /> Outre une nouvelle structure de données pour l'octree sous-jacent et des contributions algorithmiques à la version adaptative, nous avons aussi efficacement parallélisé notre méthode en mémoire partagée et en mémoire distribuée. Enfin, des comparaisons avec des codes dédiés justifient l'intérêt de notre code pour des simulations en astrophysique.

Le travail réalisé durant cette thèse vise à offrir à un code de simulation en dynamique des dislocations les composantes essentielles pour permettre le passage à l’échelle sur les calculateurs modernes. Nous abordons plusieurs aspects de la simulation numérique avec tout d’abord des considérations algorithmiques. Pour permettre de réaliser des simulations efficaces en terme de complexité algorithmique pour des grandes simulations, nous explorons les contraintes des différentes étapes de la simulation en offrant une analyse et des améliorations aux algorithmes. Ensuite, une considération particulière est apportée aux structures de données. En prenant en compte les nouveaux algorithmes, nous proposons une structure de données pour bénéficier d’accès performants à travers la hiérarchie mémoire. Cette structure est modulaire pour faire face à deux types d’algorithmes, avec d’un côté la gestion du maillage nécessitant une gestion dynamique de la mémoire et de l’autre les phases de calcul intensifs avec des accès rapides. Pour cela cette structure modulaire est complétée par un octree pour gérer la décomposition de domaine et aussi les algorithmes hiérarchiques comme le calcul du champ de contrainte et la détection des collisions. Enfin nous présentons les aspects parallèles du code. Pour cela nous introduisons une approche hybride, avec un parallélisme à grain fin à base de threads, et un parallélisme à gros grain de type MPI nécessitant une décomposition de domaine et un équilibrage de charge.Finalement, ces contributions sont testées pour valider les apports pour la simulation numérique. Deux cas d’étude sont présentés pour observer et analyser le comportement des différentes briques de la simulation. Tout d’abord une simulation extrêmement dynamique, composée de sources de Frank-Read dans un cristal de zirconium est utilisée, avant de présenter quelques résultats sur une simulation cible contenant une forte densité de défauts d’irradiation. / This research work focuses on bringing performances in 3D dislocation dynamics simulation, to run efficiently on modern computers. First of all, we introduce some algorithmic technics, to reduce the complexity in order to target large scale simulations. Second of all, we focus on data structure to take into account both memory hierachie and algorithmic data access. On one side we build this adaptive data structure to handle dynamism of data and on the other side we use an Octree to combine hierachie decompostion and data locality in order to face intensive arithmetics with force field computation and collision detection. Finnaly, we introduce some parallel aspects of our simulation. We propose a classical hybrid parallelism, with task based openMP threads and domain decomposition technics for MPI.