Cette thèse concerne deux systèmes d'équations différents utilisés dans la modélisation mathématique des semi-conducteurs et des plasmas.<br />Dans une première partie, nous considérons un modèle hydrodynamique appelé système d'Euler-Poisson. En utilisant une technique de développement asymptotique, nous étudions les limites en zéro, dans le cas stationnaire pour un flot potentiel, des trois paramètres physiques de ce système : la masse d'électrons, le temps de relaxation et la longueur de Debye. Pour chacune de ces limites, nous démontrons l'existence et l'unicité des profils ainsi que des estimations d'erreur.<br />Dans une seconde partie, nous considérons le système de dérive-diffusion quantique. Nous démontrons dans un premier temps l'existence de solutions (pour un profil de dopage général) ainsi que la limite de quasi-neutralité (pour un profil de dopage nul), dans le modèle évolutif bipolair uni-dimensionnel. Dans un second temps, nous montrons de nouvelles propriétés de régularité des solutions de l'équation obtenue dans la limite de quasi-neutralité. Ces nouvelles propriétés nous permettent de démontrer, de plus, la stricte positivité des solutions de cette équation pour des temps suffisamment grands.

Ce travail théorique est consacré à l'étude du transport électronique dans des solides apériodiques. Nous nous sommes placés dans l'approximation des électrons indépendants et à température nulle. Le calcul de la conductivité se ramène alors au problème de la diffusion quantique des électrons dans un potentiel apériodique. Nous avons mis au point des méthodes numériques permettant de calculer cette diffusion quantique dans des modèles de liaisons fortes de grande taille (environ un million d'orbitales) et de géométrie quelconque. Puis ces méthodes ont été appliquées à deux types de systèmes : les quasicristaux et les nanotubes de carbone. Les quasicristaux sont intrinsèquement apériodiques et leurs propriétés de transport particulières pourraient s'expliquer par des lois de diffusion quantique anormales. Nous avons étudié des modèles quasipériodiques à 2 et 3 dimensions et nous avons observé de telles lois. Nous avons aussi mis en évidence une dépendance particulière de ces lois par rapport à l'énergie du paquet d'ondes et par rapport aux éventuels défauts structuraux introduits dans le modèle. Les nanotubes de carbone multifeuillets peuvent, eux aussi, présenter une apériodicité intrinsèque dont nous avons étudié les conséquences possibles sur le transport. Nous avons étudié en particulier les oscillations de la magnétoconductance en présence d'un champ magnétique parallèle à l'axe du tube, et mis en évidence un effet de l'apériodicité sur ces oscillations.

Le sujet de la thèse porte sur l'étude d'une nouvelle classe de modèles de transport quantique: les modèles fluides quantiques issus du principe de minimisation d'entropie. Ces modèles ont été dérivés dans deux articles publiés en 2003 et 2005 par Degond, Méhats et Ringhofer dans Journal of Statistical Physics en adaptant au cadre de la théorie quantique la méthode des moments développée par Levermore dans le cadre classique. Cette méthode consiste à prendre les moments de l'équation de Liouville quantique et à fermer ce système par un équilibre local (ou Maxwellienne quantique) défini comme minimiseur d'une certaine entropie quantique sous contrainte de conservation de certaines quantités physiques comme la masse, le courant, et l'énergie. Le principal intérêt des modèles quantiques ainsi obtenus provient du fait qu'étant macroscopiques, ils sont biens moins coûteux numériquement que des modèles microscopiques comme l'équation de Schrödinger ou l'équation de Wigner, et de plus, ils prennent en compte implicitement des effets de collision bien plus difficiles à modéliser à un niveau microscopique. Le but de cette thèse est donc de proposer des méthodes numériques pour implémenter ces modèles et de les tester sur des dispositifs physiques adéquats.<br />Nous avons donc commencé dans le chapitre I par proposer une discrétisation du plus simple de ces modèles qu'est le modèle de Dérive-Diffusion Quantique sur un domaine fermé. Puis nous avons décidé dans le chapitre II et III d'appliquer ce modèle au transport d'électrons dans les semiconducteurs en choisissant comme dispositif ouvert la diode à effet tunnel résonnant. Ensuite nous nous sommes intéressés au chapitre IV à l'étude et l'implémentation du modèle d'Euler Quantique Isotherme, avant de s'attaquer aux modèles non isothermes dans le chapitre V avec l'étude des modèles d'Hydrodynamique Quantique et de Transport d'Énergie Quantique. Enfin, le chapitre VI s'intéresse à un problème un petit peu différent en proposant un schéma asymptotiquement stable dans la limite semi-classique pour l'équation de Schrödinger écrite dans sa formulation fluide: le système de Madelung.

Les travaux réalisés au cours de cette thèse portent sur la dynamique quantique de diffusion d'atomes d'hydrogène sur une surface de palladium (111). L'étude du système 3D a permis de détailler le spectre infrarouge de H/Pd(111) en mettant en évidence l'existence sur différents sites d'adsorption d'états localisés fortement couplés (résonance de Fermi). Ce phénomène gouverne la diffusion des atomes d'hydrogène sur une échelle de temps ultra-rapide (fs).L'étude du système 6D (H2/Pd(111)) a montré que les transitions observées sont, en fait, des bandes de transition entre plusieurs états d'adsorption quasi-dégénérés. L'accord entre les valeurs calculées et mesurées est, par contre, significativement moins bon qu'entre celles calculées pour le système 3D et les données mesurées. Est-ce que l'hydrogène adsorbé sur le palladium existe sous la forme d'une molécule diatomique faiblement lié? Cette thèse a fourni certains éléments de réponse à cette question, qui reste cependant encore ouverte. / The work carried out during this thesis focuses on the quantum dynamics of the diffusion of hydrogen atoms on a surface of palladium (111). The study of the 3D system allowed us to detail the infrared spectrum of H/Pd (111), showing the existence of different adsorption sites on which localized states exist that are strongly coupled (Fermi resonance). This phenomenon governs the diffusion of hydrogen atoms in an ultra-fast time scale (fs).The study of the (6D) H2/Pd(111) system has shown that the transitions observed are in fact transition bands between several quasi-degenerate adsorption states. The agreement between the calculated and measured values is significantly less good than that between the data calculated for the 3D system and the measured data. Does adsorbed hydrogen on palladium exist in the form of a weakly bound H2 molecule? This thesis has provided some answers to this question, which remains open, hovewer, to some extent.