Darbe prisimenami jau esami rezultatai ir įrodoma ribinė teorema su svoriu analizinių funkcijų erdvėje bendrosioms Dirichlė eilutėms. / Work reminds existing results and proves a weighted limit theorem in the space of analytic functions for general Dirichlet series.

Nagrinėjamos dvi funkcijos. Darbe nustatyta, kad esant papildomiems reikalavimams, šios funkcijos turi be galo daug nulių atitinkamoje juostoje ir pusplokštumoje. / The two functions are analytically continuable to the whole complex plane. It is prove that the functions have infinitely many zeros in the strop and in the half-plane.

This work outcomes with the proof that Dirichlet L-functions are correct for two-dimensional limit theorem .

Šio magistro darbo tikslas yra pateikti pilną jungtinės universalumo teoremos Dirichlė L funkcijoms įrodymą. Darbas sudarytas iš keturių dalių. Pirmojoje, įvadinėje dalyje, yra aprašomi turimi duomenys ir suformuluojamas pagrindinis darbo rezultatas – teorema, kurią šiame darbe reikia įrodyti. Antrojoje dalyje suformuluojama ir įrodoma jungtinė ribinė teorema: P_T, kai T→∞, silpnai konverguoja į P_L_. Trečiojoje darbo dalyje pateikiama ribinio mato P_L_ atramos išraiška. Ketvirtojoje dalyje, remiantis jau gautais rezultatais bei pasitelkiant dar pora pagalbinių lemų, įrodomas pagrindinis magistro darbo rezultatas, kuris yra toks tvirtinimas: χ_1,...,χ_r yra poromis neekvivalentūs Dirichlė charakteriai. Su visais 1≤j≤r , tegul K_j⊂D yra kompaktinis poaibis, turintis jungųjį papildinį, o funkcija f_j (s) yra tolydi, nevirsta nuliu aibėje K_j ir yra analizinė aibės K_j viduje. Tuomet su kiekvienu ε>0 yra teisinga nelygybė, kuri reiškia, kad Dirichlė L funkcijų postūmių, aproksimuojančių duotą analizinių funkcijų rinkinį, aibė yra gana turtinga, ji turi teigiamą apatinį tankį. / The master‘s graduating work has been written by analyzing and presenting the joint universality theorem of Dirichlet L-functions. The work comprise 4 parts. A description of the available data has been made and the main purpose to prove the theorem has been formulated in the first part. The joint limit theorem (P_T converges weakly to P_L_ as T→∞) have been described and proved in the second part. The support of the limit measures P_L_ has been analyzed in the third part. Finally, by using some of the obtained results and a couple of auxiliary lemmas, the main result of this master’s graduating work has been proved, which is the assertion: suppose that χ_1,..., χ_r are pairwise non-equivalent Dirichlet characters. For all j=1,…,r, let K_j ⊂D be a compact subset with connected complement, and f_j (s) be a continuous non-vanishing functions on K_j which is analytic in the interior of K_j. Then, for every ε>0,we have an inequality which means, that the shifts of Dirichlet L-functions approximating the collection of given analytic function, the set is quite rich and it has a positive lover density.

Darbe įrodyta diskreti ribinė teorema bendrųjų Dirichlė eilučių poklasiui meromorfinių funkcijų erdvėje. Pateiktas ribinio mato išreikštinis pavidalas. / The discrete limit theorem for general Dirichlet series in the space of meromorphic functions was proved in this paper. Expressed shape of limit measue was provided.

Sudėtinės funkcijos universalumo įrodymas. / Bachelor thesis about universality of one composite function.

Tegul X dirichlė charakteris moduliu q, s=o+it kompleksinis skaičius. Dirichlė L funkcija L(s, X) pusplokštumėje o>1 yra apibrėžiama Dirichlė eilute. Gerai žinome, kad funkcija L(s, X) kai X nėra pagrindinis charakteris, yra analiziškai pratęsiama į visą kompleksinę plokštum, tai yra, ji yra sveikoji funkcija. Jei X yra pagrindinis, tai tuomet funkcija turi paparastąjį polių su reziduumu. 1975 m S. M. Voroninas atrado labai įdomią funkcijų L(s, X) universalumo savybę. Grubiai kalbant ši savybė reiškia, kad kiekviena analizinė funkcija tam tikroje srityje gali būti norimu tikslumu aproksimuojama L funkcijų postūmiais L(s+it, X). Pastaruoju metu yra žinomas šiek tiek bendresnis teoremos variantas, kai X_1,...,X_r yra Dirichlė charakteriai,tenkinantyts 1 teoremos sąlygas, tačiau šio variano įrodymas nėra niekur paskeltas. Todėl magistro darbo tikslas yra pateikti tokios jungtinės universalumo teoremos Dirichlė L funkcijoms įrodymą. / Let X be a Dirichlet character modulo q, and s=o+it be a complex variable. A Dirichlet L-function L(s,X) is defined, for o>1, by Dirichlet serie and is analitic continued to the whole comples plane. It is knowen that the function L(s,X) is universal in the sense that the shifts L(s+it, X) approximate any analytic function. Also, Dirichlet L-function are jointly collection of given analytic functions. The master work is devoted to the proof of a modern joint universality theorem for Dirichlet L-function. This theorem is knowen,howerver , its proof is not given in literature.We remove this gap, and prove the following theorem.

Rusų matematikas S. M. Voroninas įrodė, kad vienos funkcijos pagalba galima aproksimuoti norimu tikslumu tam tikros srities kompleksinėse aibėse bet kurią analizinę funkciją. Tačiau neįrodė 1 teoremos analogo Dirichlė L funkcijoms. Darbo tikslas pateikti šios teoremos pilną įrodymą. / Russian mathematician S.M. Voronin proved, that any function can be approximated to the desired accuracy by one function in a specific sets in complex plane. But failed to theorem 1 analogue Dirichlet L-functions. The aim of this to provide a complete proof of the theorem.

Sakykime, kad F yra normuota parabolinė tikrinė forma pilnosios modulinės grupės atžvilgiu, L(s, F) yra susieta su L funkcijos sąsūka L(s, F, χ) su Dirichlė charakteriu moduliu q, kai q yra pirminis skaičius. Bakalauro darbe įrodyta ribinė teorema L funkcijų sąsūkų argumentui arg L(s, F, χ). / Let F(z) a holomorfic normalized Hecke eigen cups form of weight κ for the full modular group, L(s, F), s = σ + it, be the L-function attached to the form F. Let L(s, F, χ) denote a twist of L(s, F) with a Dirichlet character χ modulo q, by the Dirichlet series and can be analytically continued to an entire function. It has an Euler product over prime numbers. We obtain the weak dinvergence for probability measures μQ(arg L(s, F, χ) ∈ A), A ∈ B(γ), where γ is the unit circle on the complex plane, as Q → ∞. For the proof, the method of characteristic transforms and the limit measures in limit theorems obtained are defined characteristic transforms.

Disertacijoje gautas Dirichlė L funkcijų modifikuotosios Melino transformacijos pratęsimas į visą kompleksinę plokštumą. / In the thesis a meremorphic continuation of Dirichlet L- functions to the whole complex plane have been obtained.