Motiviert durch neuere Vorschläge zur experimentellen Untersuchung von Quantengravitationseffekten werden in der vorliegenden Arbeit Annahmen und Methoden untersucht, die für die Vorhersagen solcher Effekte im Rahmen der Loop-Quantengravitation verwendet werden können. Dazu wird als Modellsystem ein skalares Feld, gekoppelt an das Gravitationsfeld, betrachtet. <br /> Zunächst wird unter bestimmten Annahmen über die Dynamik des gekoppelten Systems eine Quantentheorie für das Skalarfeld vorgeschlagen. Unter der Annahme, dass sich das Gravitationsfeld in einem semiklassischen Zustand befindet, wird dann ein &quot;QFT auf gekrümmter Raumzeit-Limes&quot; dieser Theorie definiert. Im Gegensatz zur gewöhnlichen Quantenfeldtheorie auf gekrümmter Raumzeit beschreibt die Theorie in diesem Grenzfall jedoch ein quantisiertes Skalarfeld, das auf einem (klassisch beschriebenen) Zufallsgitter propagiert. <br /> Sodann werden Methoden vorgeschlagen, den Niederenergieliemes einer solchen Gittertheorie, vor allem hinsichtlich der resultierenden modifizierten Dispersonsrelation, zu berechnen. Diese Methoden werden anhand von einfachen Modellsystemen untersucht. <br /> Schließlich werden die entwickelten Methoden unter vereinfachenden Annahmen und der Benutzung einer speziellen Klasse von semiklassischen Zuständen angewandt, um Korrekturen zur Dispersionsrelation des skalaren und des elektromagnetischen Feldes im Rahmen der Loop-Quantengravitation zu berechnen. Diese Rechnungen haben vorläufigen Charakter, da viele Annahmen eingehen, deren Gültigkeit genauer untersucht werden muss. Zumindest zeigen sie aber Probleme und Möglichkeiten auf, im Rahmen der Loop-Quantengravitation Vorhersagen zu machen, die sich im Prinzip experimentell verifizieren lassen. / Motivated by recent proposals on the experimental detectability of quantum gravity effects, the present thesis investigates assumptions and methods which might be used for the prediction of such effects within the framework of loop quantum gravity. To this end, a scalar field coupled to gravity is considered as a model system. <br /> Starting from certain assumptions about the dynamics of the coupled gravity-matter system, a quantum theory for the scalar field is proposed. Then, assuming that the gravitational field is in a semiclassical state, a &quot;QFT on curved space-time limit&quot; of this theory is defined. In contrast to ordinary quantum field theory on curved space-time however, in this limit the theory describes a quantum scalar field propagating on a (classical) random lattice. <br /> Then, methods to obtain the low energy limit of such a lattice theory, especially regarding the resulting modified dispersion relations, are discussed and applied to simple model systems. <br /> Finally, under certain simplifying assumptions, using the methods developed before as well as a specific class of semiclassical states, corrections to the dispersion relations for the scalar and the electromagnetic field are computed within the framework of loop quantum gravity. These calculations are of preliminary character, as many assumptions enter whose validity remains to be studied more thoroughly. However they exemplify the problems and possibilities of making predictions based on loop quantum gravity that are in principle testable by experiment.

Ausgehend von der Forderung, dass die Dynamik klassischer Materiefelder auf einer glatten Mannigfaltigkeit prädiktiv und quantisierbar sein muss, leiten wir einen Satz von „Mastergleichungen“ her, deren Lösungen die Dynamik (in Form einer Lagrangedichte) der den Materiegleichungen zugrundeliegenden Geometrie beschreiben. Es gelingt also das physikalische Problem der Suche nach geeigneten Gravitationsdynamiken für eine beliebige tensorielle Raumzeitgeometrie, die physikalische Materie tragen kann, in die bloß noch mathematische Frage nach der Lösung eines Systems von linearen partiellen Differentialgleichungen zu reformulieren. Dieses Ergebnis fußt auf der Einsicht, dass die Forderung nach der Prädiktivität und Quantisierbarkeit einer Materietheorie zunächst die möglichen Klassen der zugrundeliegenden Raumzeitgeometrien auf solche beschränkt, die bi-hyperbolisch sind und die Unterscheidung von positiven und negativen Energien zulassen. Gleichzeitig stellen solche Materietheorien bereits alle kinematischen Strukturen zur Verfügung, die nötig sind, um die Dynamik der Geometrie als Anfangswertproblem zu formulieren. Die Mastergleichungen stellen dann einen Ausdruck dafür dar, dass die Lagrangefunktion der Gravitationsdynamik, die die zeitliche Entwicklung von geometrischen Anfangsdaten beschreibt, eine Darstellung der Hyperflächendeformationsalgebra sein muss, welche sich ausgehend von der Dynamik der Materietheorie direkt berechnen lässt. Wir geben eine allgemeine Vorgehensweise an, mit der sich die Mastergleichungen für eine beliebige tensorielle Raumzeitgeometrie herleiten lassen und illustrieren dieses Verfahren anhand von vier physikalisch relevanten Beispielen. Die Arbeit wird abgerundet durch ein Studium von Energie-Impuls-Tensoren von Materie auf tensoriellen Raumzeiten. / Starting from classical matter dynamics on a smooth manifold that are required to be predictive and quantizable, we derive a set of `gravitational master equations'' that determine the Lagrangian describing the dynamics of the geometry on which the matter dynamics are defined. We thus convert the physical problem of finding admissible gravitational dynamics for any tensorial geometry that can support physical matter equations into the clear mathematical task of solving a system of linear partial differential equations. This result builds on the insight that predictive and quantizable matter dynamics, on the one hand, restrict the class of admissible spacetime geometries to those that are bi-hyperbolic and energy-distinguishing, and, on the other hand, provide the necessary kinematical structure needed to formulate spacetime geometry dynamics as an initial value problem. The gravitational master equations then express the fact that the Lagrangian of the gravitational dynamics must arise as a representation of the algebra of hypersurface deformations---which can be calculated from the kinematical structure imprinted on the geometry by the matter field dynamics---on a suitable geometric phase space. We provide a general prescription of how to obtain the gravitational master equations for any candidate geometry and illustrate our procedure by way of four instructive examples. We solve the master equations for metric geometry supporting Maxwell theory, finding Einstein-Hilbert dynamics as the unique solution, and for a non-trivial composite geometry supporting modified Dirac dynamics. We also discuss generalized energy-momentum tensors of matter fields and their role as sources of the gravitational dynamics obtained from the gravitational master equations.