Diese Doktorarbeit behandelt die bosonische Einbettung der geeichten N = 8 Supergravitation in elf Dimensionen. Die höher dimensionalen Felder müssen zuerst nichtlinear umdefiniert werden, sodass ihre supersymmetrischen Transformationen mit denen der vierdimensionalen Felder verglichen werden können. So wurden in der Literatur nichtlineare Beziehungen zwischen den neu definierten elfdimensionalen Feldern und den Feldern der N = 8 Supergravitation gefunden. Darauf basierend können nun direkte Ansätze gefunden werden, die eine vierdimensionale in eine elfdimensionale Lösung der Supergravitation einbetten. Die Arbeit präsentiert alle Ansätze für die skalaren internen Felder. Zuerst werden die schon bekannten Einbettungsformeln für die inverse Metrik, das Dreiform-Potential mit gemischter Indexstruktur sowie das Sechsform-Potential zusammengefasst. Danach werden neue Ansätze für die explizite interne Metrik, das vollständige Dreiform-Potential, den Warp Faktor, die Vierform Feldstärke sowie den Freund-Rubin Faktor gefunden. Die Einbettung der Vektorbosonen hängt dann nur von den skalaren Feldern ab. Der zweite Teil der Arbeit benutzt die gefundenen Einbettungsformeln, um gruppeninvariante Lösungen der elfdimensionalen Supergravitation zu finden. In solchen Fällen hängen die höherdimensionalen Felder ausschließlich von speziellen gruppeninvarianten Tensoren ab, die auf die jeweilige interne Geometrie angepasst sind. Als Beispiel wird zuerst die schon bekannte Einbettung der G2 invarianten Supergravitation zusammengefasst. Dann wird eine neue SO(3)×SO(3) invariante Löung der elfdimensionalen Supergravitation gefunden. Schließlich wird die Konsistenz der gefundenen Lösungen für eine maximal symmetrische Raumzeit überprüft. Die Ergebnisse können auf andere Kompaktifizierungen verallgemeinert werden, z.B. auf die nichtkompakten CSO(p,q,r) Eichungen oder auf die Reduzierung der Typ IIB Supergravitation zu fünf Dimensionen. / This thesis presents the complete embedding of the bosonic section of gauged N = 8 supergravity into 11 dimensions. The fields of 11-dimensional supergravity are reformulated in a non-linear way, such that their supersymmetry transformations can be compared to the four-dimensional ones. In this way, non-linear relations between the redefined higher-dimensional fields and the fields of N = 8 supergravity were already found in the literature. This is the basis for finding direct uplift Ansätze for the bosonic fields of 11-dimensional supergravity in terms of the four-dimensional ones. This work gives the scalar Ans¨atze for the internal fields. First, the well known uplift formulae for the inverse metric, the three-form potential with mixed index structure and the six-form potential are summarized. Secondly, new embedding formulae for the explicit internal metric, the full three-form potential and the warp factor are presented. Additionally, two subsequent non-linear Ansätze for the full internal four-form field strength and the Freund-Rubin term are found. Finally, the vector uplift can simply be found in terms of the obtained scalar fields. The second part of this thesis uses the obtained embedding formulae in order to construct group invariant solutions of 11-dimensional supergravity. In such cases, the higher-dimensional fields can be written solely in terms of certain group invariant tensors that are adapted to the particular geometry of the internal space. Two such examples are discussed in detail. The first one is the well-known uplift of G2 gauged supergravity. Furthermore, a new SO(3)×SO(3) invariant solution of 11-dimensional supergravity is found. In particular, the consistency of both solutions is explicitly checked for a maximally symmetric spacetime. The results may be generalized to other compactifications, e.g. the non-compact CSO(p, q, r) gaugings or the reduction from type IIB supergravity to five dimensions.

In dieser Arbeit untersuchen wir Gravitations- und Supergravitationssysteme, die in zwei Dimensionen vollständig integrabel sind. Dies sind Theorien, zu denen auch die einsteinsche Gravitation zählt, die bei dimensionaler Reduktion auf drei Dimensionen, die Form eines nichtlinearen $\s$-Models für den Materieteil annehmen und als Zielmannigfaltigkeit den Cosetraum $\mathrm{G}/\mathrm{K}$ haben. Ausgehend von der einsteinschen Gravitation betrachten wir insbesondere die Klasse der stationären und axialsymmetrischen Lösungen. Dabei untersuchen wir das lineare System (Lax-Paar), das den nichtlinearen Feldgleichungen der Vakuumsgravitation entspricht, wie es von Belinski-Zakharov (BZ) und Breitenlohner-Maison (BM) formuliert wurde. Die Existenz des linearen Systems zeigt die Integrabilität des zweidimensionalen Systems und ist inversen Streumethoden zugänglich, wie in zwei unterschiedlichen Ansätzen von BZ und BM gezeigt. Aus der unendlich-dimensionalen Symmetrie, die mit den zweidimensionalen Gleichungen assoziiert ist, ergibt sich die sogenannte Gerochgruppe. Der BM-Ansatz ermöglicht eine direkte Implementierung der Gerochgruppe und der Erzeugung von physikalisch interessanten Lösungen im Solitonensektor auf manifest gruppentheoretischer Weise. Aus diesem Grund ist zu erwarten, dass es in einem breiteren Spektrum von Cosetmodellen angewendet werden kann. In dieser Arbeit konzentrieren wir uns auf diesen Ansatz und erweitern ihn um die STU-Supergravitation, wobei entsprechende technische Änderungen im BM-Lösungserzeugungsalgorithmus erforderlich werden. Basierend auf diesen Änderungen, diskutieren wir auch eine Verallgemeinerung auf andere Fälle. Wir testen die Anwendbarkeit der BM inversen Streumethode, indem wir explizit folgende Lösungen konstruieren: die Kerr-NUT Lösung der einsteinschen Gravitation, die Vier-Ladungs-Lösung eines schwarzen Lochs innerhalb der STU Supergravitation von Cvetic und Youm und die einfach rotierende JMaRT Lösung. / In this thesis, we study gravity and supergravity systems that become completely integrable in two dimensions. Including Einstein gravity, these systems are theories that upon dimensional reduction to three dimensions assume the form of a non-linear $\s$-model for the matter part, with target manifold a coset space $\mathrm{G}/\mathrm{K}$. Starting from Einstein gravity and focusing on the class of stationary axisymmetric solutions, we study the linear system (Lax pair) associated with the non-linear field equations of vacuum gravity as formulated by Belinski - Zakharov (BZ) and Breitenlohner-Maison (BM). The existence of the linear system exhibits the integrability of the two-dimensional system and is amenable to inverse scattering methods as shown in two different approaches by BZ and BM. The infinite dimensional symmetry associated with the two-dimensional equations gives rise to the so-called Geroch group. The BM approach allows for a direct implementation of the Geroch group and the generation of physically interesting solutions in the soliton sector in a manifestly group theoretic way. For this reason, it is expected to apply to a broader set of coset models. Throughout this work, we concentrate on this approach and extend it to STU supergravity, where appropriate technical modifications were required in the BM solution generation algorithm. Based on these modifications, we also discuss a generalization to other set-ups. We test the applicability of the BM inverse scattering method by explicitly constructing the Kerr-NUT solution of Einstein gravity and within STU supergravity, the four-charge black hole solution of Cvetic and Youm as well as the singly rotating JMaRT solution.

In dieser Arbeit beschäftigen wir uns mit zwei Ansätzen zur Quantengravitation (QG), die einander konträr gegenüberstehen: - Erstens mit der Loop Quantum Gravity (LQG), einem eher konservativen Ansatz zur QG, dessen Startpunkt eine Hamiltonsche Formulierung der klassischen Allgemeinen Relativitätstheorie (ART) ist, - zweitens mit der sogenannten Topos-Theorie, angewandt auf die Allgemeine Relativitätstheorie, die die mathematischen Konzepte der Quantentheorie (und möglicherweise auch der ART) radikal umformuliert, was eine immense Redefinition von Konzepten wie Raum, Zeit und Raumzeit zur Folge hätte. Der Grund für die Wahl zweier so verschiedener Ansätzen als Gegenstand dieser Arbeit liegt in der Hoffnung begründet, dass sich diese beiden Ansätze auf einen gemeinsamen Ursprung zurückführen lassen können und somit gegenseitig ergänzen können. Im ersten Teil dieser Arbeit führen wir den allgemeinen Formalismus der LQG ein und gehen dabei insbesondere auf den semiklassischen Sektor der Theorie ein; insbesondere untersuchen wir die semiklassischen Eigenschaften des Volumenoperators. Dieser Operator spielt in der Quantendynamik der LQG eine tragende Rolle, da alle bekannten dynamischen Operatoren auf den Volumenoperator zurückgeführt werden können. Aus diesem Grund ist es auerordentlich wichtig zu überprüfen, dass der klassische Limes des Volumenoperators wirklich mit dem klassischen Volumen übereinstimmt. Anschließend beschäftigen wir uns mit sogenannten Spin Foam Modellen (SFM), welche als ein kovarianter oder Pfadintegralzugang zur kanonischen LQG angesehen werden können. Diese Spin Foam Modelle beruhen auf einer Langrange-Formulierung der LQG mittels einer kovarianten sum-over-histories Beschreibung. Die Entwicklung eines Lagrange-Zuganges zur LQG wurde motiviert durch die Tatsache, dass es in der kanonischen Formulierung der LQG überaus schwierig ist, Übergangsamplituden auszurechnen. Allerdings weichen die Spin Foam Modelle, die wir in dieser Arbeit behandeln in einem entscheidenden Punkt von den bisher in der Literatur diskutierten ab, da wir die Holst-Wirkung Holst [1996] und nicht die Palatini-Wirkung als Ausgangspunkt nehmen. Dies ermöglicht es uns, explizit gewisse Zwangsbedingungen zu lösen, was in den gegenwärtig diskutierten SFM problematisch scheint. Im zweiten Teil dieser Arbeit führen wir in die Topos-Theorie ein und rekapitulieren, wie diese Theorie benutzt werden kann, um die Quantentheorie derart umzuformulieren, dass eine konsistente Quanten-Logik definiert werden kann. Darüber hinaus definieren wir auch eine Topos-Beschreibung der Quantentheorie in der sum-over-histories Formulierung. Unser Ansatz entscheidet sich vom gegenwärtigen consistent-histories Ansatz vor allem dadurch, dass das Konzept der konsistenten Menge (eine Menge von Historien, die nicht mit sich selbst interferieren) keine zentrale Rolle spielt, während es in letzterem grundlegend ist. Diese Tatsache bietet einen interessanten Ausgangspunkt, da eine der Hauptschwierigkeiten im consistent-histories Ansatz darin besteht, die richtige konsistente Menge der Propositionen von Historien zu finden: Im allgemeinen gibt es viele solcher Mengen, und die meisten davon sind nicht miteinander kompatibel. Wir zeigen, dass in unserer Topos-Beschreibung der sum-over-histories Quantentheorie jeder Proposition von Historien Wahrheitswerte zugeteilt werden können; daher ist das Konzept einer konsistenten Menge von Propositionen redundant. Dies bedeutet, dass es im Rahmen einer Quantengravitationstheorie möglich sein könnte, jeder Proposition von vierdimensionalen Metriken (welche als allgemein relativistisches Analogon einer Historie angesehen werden können) einen Wahrheitswert zuzuweisen. / One of the main challenges in theoretical physics over the last five decades has been to reconcile quantum mechanics with general relativity into a theory of quantum gravity. However, such a theory has been proved to be hard to attain due to i) conceptual difficulties present in both the component theories (General Relativity (GR) and Quantum Theory); ii) lack of experimental evidence, since the regimes at which quantum gravity is expected to be applicable are far beyond the range of conceivable experiments. Despite these difficulties, various approaches for a theory of Quantum Gravity have been developed. In this thesis we focus on two such approaches: Loop Quantum Gravity and the Topos theoretic approach. The choice fell on these approaches because, although they both reject the Copenhagen interpretation of quantum theory, their underpinning philosophical approach to formulating a quantum theory of gravity are radically different. In particular LQG is a rather conservative scheme, inheriting all the formalism of both GR and Quantum Theory, as it tries to bring to its logical extreme consequences the possibility of combining the two. On the other hand, the Topos approach involves the idea that a radical change of perspective is needed in order to solve the problem of quantum gravity, especially in regard to the fundamental concepts of `space'' and `time''. Given the partial successes of both approaches, the hope is that it might be possible to find a common ground in which each approach can enrich the other.

Ausgehend von der Forderung, dass die Dynamik klassischer Materiefelder auf einer glatten Mannigfaltigkeit prädiktiv und quantisierbar sein muss, leiten wir einen Satz von „Mastergleichungen“ her, deren Lösungen die Dynamik (in Form einer Lagrangedichte) der den Materiegleichungen zugrundeliegenden Geometrie beschreiben. Es gelingt also das physikalische Problem der Suche nach geeigneten Gravitationsdynamiken für eine beliebige tensorielle Raumzeitgeometrie, die physikalische Materie tragen kann, in die bloß noch mathematische Frage nach der Lösung eines Systems von linearen partiellen Differentialgleichungen zu reformulieren. Dieses Ergebnis fußt auf der Einsicht, dass die Forderung nach der Prädiktivität und Quantisierbarkeit einer Materietheorie zunächst die möglichen Klassen der zugrundeliegenden Raumzeitgeometrien auf solche beschränkt, die bi-hyperbolisch sind und die Unterscheidung von positiven und negativen Energien zulassen. Gleichzeitig stellen solche Materietheorien bereits alle kinematischen Strukturen zur Verfügung, die nötig sind, um die Dynamik der Geometrie als Anfangswertproblem zu formulieren. Die Mastergleichungen stellen dann einen Ausdruck dafür dar, dass die Lagrangefunktion der Gravitationsdynamik, die die zeitliche Entwicklung von geometrischen Anfangsdaten beschreibt, eine Darstellung der Hyperflächendeformationsalgebra sein muss, welche sich ausgehend von der Dynamik der Materietheorie direkt berechnen lässt. Wir geben eine allgemeine Vorgehensweise an, mit der sich die Mastergleichungen für eine beliebige tensorielle Raumzeitgeometrie herleiten lassen und illustrieren dieses Verfahren anhand von vier physikalisch relevanten Beispielen. Die Arbeit wird abgerundet durch ein Studium von Energie-Impuls-Tensoren von Materie auf tensoriellen Raumzeiten. / Starting from classical matter dynamics on a smooth manifold that are required to be predictive and quantizable, we derive a set of `gravitational master equations'' that determine the Lagrangian describing the dynamics of the geometry on which the matter dynamics are defined. We thus convert the physical problem of finding admissible gravitational dynamics for any tensorial geometry that can support physical matter equations into the clear mathematical task of solving a system of linear partial differential equations. This result builds on the insight that predictive and quantizable matter dynamics, on the one hand, restrict the class of admissible spacetime geometries to those that are bi-hyperbolic and energy-distinguishing, and, on the other hand, provide the necessary kinematical structure needed to formulate spacetime geometry dynamics as an initial value problem. The gravitational master equations then express the fact that the Lagrangian of the gravitational dynamics must arise as a representation of the algebra of hypersurface deformations---which can be calculated from the kinematical structure imprinted on the geometry by the matter field dynamics---on a suitable geometric phase space. We provide a general prescription of how to obtain the gravitational master equations for any candidate geometry and illustrate our procedure by way of four instructive examples. We solve the master equations for metric geometry supporting Maxwell theory, finding Einstein-Hilbert dynamics as the unique solution, and for a non-trivial composite geometry supporting modified Dirac dynamics. We also discuss generalized energy-momentum tensors of matter fields and their role as sources of the gravitational dynamics obtained from the gravitational master equations.

In dieser Doktorarbeit werden wir das Renormierungsproblem von Gravitationstheorien im Kontext der Renormierungsgruppe (RG) unter Anwendung von perturbativen und nicht-perturbativen Methoden untersuchen. Insbesondere werden wir uns auf verschiedene Gravitationsmodelle und Näherungen konzentrieren, in welchen die zentrale Rolle von einem skalaren Freiheitsgrad eingenommen wird. Wir konzentrieren uns besonders auf zwei Ansätze für Quantengravitation, die in letzter Zeit viel Aufmerksamkeit erhalten haben, nämlich den asymptotisch sicheren Fall der Gravitation und die Hořava-Lifshitz Quantengravitation. Das Prinzip der Asymptotischen Sicherheit beruht auf der Annahme, dass das hochenergetische Gravitationsregime von einem nicht-Gaußschen Fixpunkt bestimmt wird, der nicht-perturbative Renormierung und Endlichkeit der Korrelationsfunktionen sicherstellt. Wir werden die Existenz eines solchen nicht-trivialen Fixpunktes mit Hilfe der funktionalen Renormierungsgruppe untersuchen. Insbesondere werden wir den einzigen konformen Freiheitsgrad quantisieren. Die Frage nach der Existenz eines nicht-Gaußschen Fixpunktes in einem unendlich- dimensionalen Parameterraum, das heißt für eine generische f(R)-Theorie, kann jedoch nicht mit einem solchen konform reduzierten Model analysiert werden. Deshalb werden wir es untersuchen, indem wir eine skalare dynamische Äquivalentstheorie, das heißt eine generische Brans-Dicke Theorie in der lokal-Potential Näherung mit ω = 0, quantisieren. Schließlich werden wir mittels einer perturbativen RG Methode die asymptotische Freiheit der Hořava-Lifshitz Gravitationstheorie analysieren. Diese Gravitationstheorie beruht auf der Entstehung einer Anisotropie zwischen Raum und Zeit, die Newtons Konstante zu einer marginalen Koppelung werden lässt und explizit die Unitarität bewahrt. Insbesondere werden wir die Einschleifenkorrektur in 2+1 Dimensionen berechnen, indem wir nur den konformen Freiheitsgrad quantisieren. / In this Ph.D. thesis we will study the issue of renormalizability of gravitation in the context of the renormalization group (RG), employing both perturbative and non-perturbative techniques. In particular, we will focus on different gravitational models and approximations in which a central role is played by a scalar degree of freedom, since their RG flow is easier to analyze. We restrict our interest in particular to two quantum gravity approaches that have gained a lot of attention recently, namely the asymptotic safety scenario for gravity and the Hořava-Lifshitz quantum gravity. In the so-called asymptotic safety conjecture the high energy regime of gravity is controlled by a non-Gaussian fixed point which ensures non-perturbative renormalizability and finiteness of the correlation functions. We will then investigate the existence of such a non trivial fixed point using the functional renormalization group, a continuum version of the non-perturbative Wilson’s renormalization group. In particular we will quantize the sole conformal degree of freedom, which is an approximation that has been shown to lead to a qualitatively correct picture. The question of the existence of a non-Gaussian fixed point in an infinite-dimensional parameter space, that is for a generic f(R) theory, cannot however be studied using such a conformally reduced model. Hence we will study it by quantizing a dynamically equivalent scalar-tensor theory, i.e. a generic Brans-Dicke theory with ω = 0 in the local potential approximation. Finally, we will investigate, using a perturbative RG scheme, the asymptotic freedom of the Hořava-Lifshitz gravity, that is an approach based on the emergence of an anisotropy between space and time which lifts the Newton’s constant to a marginal coupling and explicitly preserves unitarity. In particular we will evaluate the one-loop correction in 2+1 dimensions quantizing only the conformal degree of freedom.

In einigen Ansätzen zu einer Quantentheorie der Gravitation wie Gruppenfeldtheorie und Schleifenquantengravitation zeigt sich, dass Zustände und Entwicklungen der geometrischen Freiheitsgrade auf einer diskreten Raumzeit basieren. Die dringendste Frage ist dann, wie die glatten Geometrien der Allgemeinen Relativitätstheorie, beschrieben durch geeignete geometrische Beobachtungsgrößen, aus solch diskreten Quantengeometrien im semiklassischen und Kontinuums-Limes hervorgehen. Hier nehme ich die Frage geeigneter Beobachtungsgrößen mit Fokus auf die effektive Dimension der Quantengeometrien in Angriff. Dazu gebe ich eine rein kombinatorische Beschreibung der zugrunde liegenden diskreten Strukturen. Als Nebenthema erlaubt dies eine Erweiterung der Gruppenfeldtheorie, so dass diese den kombinatorisch größeren kinematischen Zustandsraum der Schleifenquantengravitation abdeckt. Zudem führe ich einen diskreten Differentialrechnungskalkül für Felder auf solch fundamental diskreten Geometrien mit einem speziellen Augenmerk auf dem Laplace-Operator ein. Dies ermöglicht die Definition der Dimensionsobservablen für Quantengeometrien. Die Untersuchung verschiedener Klassen von Quantengeometrien zeigt allgemein, dass die spektrale Dimension stärker von der zugrunde liegenden kombinatorischen Struktur als von den Details der zusätzlichen geometrischen Daten darauf abhängt. Semiklassische Zustände in Schleifenquantengravitation approximieren die entsprechenden klassischen Geometrien gut ohne Anzeichen für stärkere Quanteneffekte. Dagegen zeigt sich im Kontext eines allgemeineren, auf analytischen Lösungen basierenden Modells für Zustände, die aus Überlagerungen einer großen Anzahl von Komplexen bestehen, ein Fluss der spektralen Dimension von der topologischen Dimension d bei kleinen Energieskalen hin zu einem reellen Wert zwischen 0 und d bei hohen Energien. Im Spezialfall 1 erlauben diese Resultate, die Quantengeometrie als effektiv fraktal aufzufassen. / In several approaches towards a quantum theory of gravity, such as group field theory and loop quantum gravity, quantum states and histories of the geometric degrees of freedom turn out to be based on discrete spacetime. The most pressing issue is then how the smooth geometries of general relativity, expressed in terms of suitable geometric observables, arise from such discrete quantum geometries in some semiclassical and continuum limit. In this thesis I tackle the question of suitable observables focusing on the effective dimension of discrete quantum geometries. For this purpose I give a purely combinatorial description of the discrete structures which these geometries have support on. As a side topic, this allows to present an extension of group field theory to cover the combinatorially larger kinematical state space of loop quantum gravity. Moreover, I introduce a discrete calculus for fields on such fundamentally discrete geometries with a particular focus on the Laplacian. This permits to define the effective-dimension observables for quantum geometries. Analysing various classes of quantum geometries, I find as a general result that the spectral dimension is more sensitive to the underlying combinatorial structure than to the details of the additional geometric data thereon. Semiclassical states in loop quantum gravity approximate the classical geometries they are peaking on rather well and there are no indications for stronger quantum effects. On the other hand, in the context of a more general model of states which are superposition over a large number of complexes, based on analytic solutions, there is a flow of the spectral dimension from the topological dimension d on low energy scales to a real number between 0 and d on high energy scales. In the particular case of 1 these results allow to understand the quantum geometry as effectively fractal.