This thesis has two parts. In the first part, we study some graph covering problems with a non-local covering rule that allows a "remote" node to be covered by repeatedly applying the covering rule. In the second part, we provide some results on the packing of Steiner trees. In the Propagation problem we are given a graph $G$ and the goal is to find a minimum-sized set of nodes $S$ that covers all of the nodes, where a node $v$ is covered if (1) $v$ is in $S$, or (2) $v$ has a neighbor $u$ such that $u$ and all of its neighbors except $v$ are covered. Rule (2) is called the propagation rule, and it is applied iteratively. Throughout, we use $n$ to denote the number of nodes in the input graph. We prove that the path-width parameter is a lower bound for the optimal value. We show that the Propagation problem is NP-hard in planar weighted graphs. We prove that it is NP-hard to approximate the optimal value to within a factor of $2^{\log^{1-\epsilon}{n}}$ in weighted (general) graphs. The second problem that we study is the Power Dominating Set problem. This problem has two covering rules. The first rule is the same as the domination rule as in the Dominating Set problem, and the second rule is the same propagation rule as in the Propagation problem. We show that it is hard to approximate the optimal value to within a factor of $2^{\log^{1-\epsilon}{n}}$ in general graphs. We design and analyze an approximation algorithm with a performance guarantee of $O(\sqrt{n})$ on planar graphs. We formulate a common generalization of the above two problems called the General Propagation problem. We reformulate this general problem as an orientation problem, and based on this reformulation we design a dynamic programming algorithm. The algorithm runs in linear time when the graph has tree-width $O(1)$. Motivated by applications, we introduce a restricted version of the problem that we call the $\ell$-round General Propagation problem. We give a PTAS for the $\ell$-round General Propagation problem on planar graphs, for small values of $\ell$. Our dynamic programming algorithms and the PTAS can be extended to other problems in networks with similar propagation rules. As an example we discuss the extension of our results to the Target Set Selection problem in the threshold model of the diffusion processes. In the second part of the thesis, we focus on the Steiner Tree Packing problem. In this problem, we are given a graph $G$ and a subset of terminal nodes $R\subseteq V(G)$. The goal in this problem is to find a maximum cardinality set of disjoint trees that each spans $R$, that is, each of the trees should contain all terminal nodes. In the edge-disjoint version of this problem, the trees have to be edge disjoint. In the element-disjoint version, the trees have to be node disjoint on non-terminal nodes and edge-disjoint on edges adjacent to terminals. We show that both problems are NP-hard when there are only $3$ terminals. Our main focus is on planar instances of these problems. We show that the edge-disjoint version of the problem is NP-hard even in planar graphs with $3$ terminals on the same face of the embedding. Next, we design an algorithm that achieves an approximation guarantee of $\frac{1}{2}-\frac{1}{k}$, given a planar graph that is $k$ element-connected on the terminals; in fact, given such a graph the algorithm returns $k/2-1$ element-disjoint Steiner trees. Using this algorithm we get an approximation algorithm with guarantee of (almost) $4$ for the edge-disjoint version of the problem in planar graphs. We also show that the natural LP relaxation of the edge-disjoint Steiner Tree Packing problem has an integrality ratio of $2-\epsilon$ in planar graphs.

Un code identifiant est un ensemble de sommets d'un graphe tel que, d'une part, chaque sommet hors du code a un voisin dans le code (propriété de domination) et, d'autre part, tous les sommets ont un voisinage distinct à l'intérieur du code (propriété de séparation). Dans cette thèse, nous nous intéressons à des aspects combinatoires et algorithmiques relatifs aux codes identifiants.Pour la partie combinatoire, nous étudions tout d'abord des questions extrémales en donnant une caractérisation complète des graphes non-orientés finis ayant comme taille minimum de code identifiant leur ordre moins un. Nous caractérisons également les graphes dirigés finis, les graphes non-orientés infinis et les graphes orientés infinis ayant pour seul code identifiant leur ensemble de sommets. Ces résultats répondent à des questions ouvertes précédemment étudiées dans la littérature.Puis, nous étudions la relation entre la taille minimum d'un code identifiant et le degré maximum d'un graphe, en particulier en donnant divers majorants pour ce paramètre en fonction de l'ordre et du degré maximum. Ces majorants sont obtenus via deux techniques. L'une est basée sur la construction d'ensembles indépendants satisfaisant certaines propriétés, et l'autre utilise la combinaison de deux outils de la méthode probabiliste : le lemme local de Lovasz et une borne de Chernoff. Nous donnons également des constructions de familles de graphes en relation avec ce type de majorants, et nous conjecturons que ces constructions sont optimales à une constante additive près.Nous présentons également de nouveaux minorants et majorants pour la cardinalité minimum d'un code identifiant dans des classes de graphes particulières. Nous étudions les graphes de maille au moins 5 et de degré minimum donné en montrant que la combinaison de ces deux paramètres influe fortement sur la taille minimum d'un code identifiant. Nous appliquons ensuite ces résultats aux graphes réguliers aléatoires. Puis, nous donnons des minorants pour la taille d'un code identifiant des graphes d'intervalles et des graphes d'intervalles unitaires. Enfin, nous donnons divers minorants et majorants pour cette quantité lorsque l'on se restreint aux graphes adjoints. Cette dernière question est abordée via la notion nouvelle de codes arête-identifiants.Pour la partie algorithmique, il est connu que le problème de décision associés à la notion de code identifiant est NP-complet même pour des classes de graphes restreintes. Nous étendons ces résultats à d'autres classes de graphes telles que celles des graphes split, des co-bipartis, des adjoints ou d'intervalles. Pour cela nous proposons des réductions polynomiales depuis divers problèmes algorithmiques classiques. Ces résultats montrent que dans beaucoup de classes de graphes, le problème des codes identifiants est algorithmiquement plus difficile que des problèms liés (tel que le problème des ensembles dominants).Par ailleurs, nous complétons les connaissances relatives à l'approximabilité du problème d'optimisation associé aux codes identifiants. Nous étendons le résultat connu de NP-difficulté pour l'approximation de ce problème avec un facteur sous-logarithmique (en fonction de la taille du graphe instance) aux graphes bipartis, split et co-bipartis, respectivement. Nous étendons également le résultat connu d'APX-complétude pour les graphes de degré maximum donné à une sous-classe des graphes split, aux graphes bipartis de degré maximum 4 et aux graphes adjoints. Enfin, nous montrons l'existence d'un algorithme de type PTAS pour les graphes d'intervalles unitaires. / An identifying code is a set of vertices of a graph such that, on the one hand, each vertex out of the code has a neighbour in the code (domination property), and, on the other hand, all vertices have a distinct neighbourhood within the code (separation property). In this thesis, we investigate combinatorial and algorithmic aspects of identifying codes.For the combinatorial part, we first study extremal questions by giving a complete characterization of all finite undirected graphs having their order minus one as minimum size of an identifying code. We also characterize finite directed graphs, infinite undirected graphs and infinite oriented graphs having their whole vertex set as unique identifying code. These results answer open questions that were previously studied in the literature.We then study the relationship between the minimum size of an identifying code and the maximum degree of a graph. In particular, we give several upper bounds for this parameter as a function of the order and the maximum degree. These bounds are obtained using two techniques. The first one consists in the construction of independent sets satisfying certain properties, and the second one is the combination of two tools from the probabilistic method: the Lovasz local lemma and a Chernoff bound. We also provide constructions of graph families related to this type of upper bounds, and we conjecture that they are optimal up to an additive constant.We also present new lower and upper bounds for the minimum cardinality of an identifying code in specific graph classes. We study graphs of girth at least 5 and of given minimum degree by showing that the combination of these two parameters has a strong influence on the minimum size of an identifying code. We apply these results to random regular graphs. Then, we give lower bounds on the size of a minimum identifying code of interval and unit interval graphs. Finally, we prove several lower and upper bounds for this parameter when considering line graphs. The latter question is tackled using the new notion of an edge-identifying code.For the algorithmic part, it is known that the decision problem associated to the notion of an identifying code is NP-complete, even for restricted graph classes. We extend the known results to other classes such as split graphs, co-bipartite graphs, line graphs or interval graphs. To this end, we propose polynomial-time reductions from several classical hard algorithmic problems. These results show that in many graph classes, the identifying code problem is computationally more difficult than related problems (such as the dominating set problem).Furthermore, we extend the knowledge of the approximability of the optimization problem associated to identifying codes. We extend the known result of NP-hardness of approximating this problem within a sub-logarithmic factor (as a function of the instance graph) to bipartite, split and co-bipartite graphs, respectively. We also extendthe known result of its APX-hardness for graphs of given maximum degree to a subclass of split graphs, bipartite graphs of maximum degree 4 and line graphs. Finally, we show the existence of a PTAS algorithm for unit interval graphs.

This work describes the design and implementation of a generic architecture to provide a collective solution for power-aware routing to a wide range of problems in wireless sensor network environments. Power aware-routing is integral to the proposed solutions for different problems. These solutions try to achieve power-efficient routing specific to the problem domain. This can lead to challenging technical problems and deployment barriers when attempting to integrate the solutions. This work extracts various factors to be considered for a range of problems in wireless sensor networks and provides a generic framework for efficient power-aware routing. The architecture aims to relieve researchers from considering power management in their design. We have identified coupling between sources and sinks as the main factor for different design choices for a range of problems. We developed a core-based hierarchical routing framework for efficient power-aware routing that is used to decouple the sources from sinks. The architecture uses only local interaction for scalability and stability in a dynamic network. The architecture provides core-based query forwarding and data dissemination. It uses data aggregation and query aggregation at core nodes to reduce the amount of data to be transmitted. The architecture can be easily extended to incorporate protocols to provide QoS and security to the applications. We use network simulations to evaluate the performance of cluster formation and energy efficiency of the algorithm. Our results show that energy efficiency of the algorithm is better when the transmission range is kept to a minimum for network connectivity as compared to adjustable transmission range.

[pt] Esta tese faz um estudo do problema do Conjunto Dominante, um problema NP-difícil de grande relevância em aplicações relacionadas ao projeto de rede sem fio, mineração de dados, teoria de códigos, dentre outras. O conjunto dominante mínimo em um grafo é um conjunto mínimo de vértices de modo que cada vértice do grafo pertence a este conjunto ou é adjacente a um vértice que pertence a ele. Três variantes do problema foram estudadas; primeiro, uma variante na qual considera pesos nos vértices, buscando um conjunto dominante com menor peso total; segundo, uma variante onde o subgrafo induzido pelo conjunto dominante está conectado; e, finalmente, a variante que engloba essas duas características. Para resolver esses três problemas, propõe-se um algoritmo híbrido baseado na meta-heurística busca tabu com componentes adicionais de programação matemática, resultando em um método por vezes chamado de mateurística, (matheuristic, em inglês). Diversas técnicas adicionais e vizinhanças largas foram propostas afim de alcançar regiões promissoras no espaço de busca. Análises experimentais demonstram a contribuição individual de todos esses componentes. Finalmente, o algoritmo é testado no problema do código de cobertura mínima, que pode ser visto como um caso especial do problema do conjunto dominante. Os códigos são estudados na métrica Hamming e na métrica Rosenbloom-Tsfasman. Neste último, diversos códigos menores foram encontrados. / [en] This thesis addresses the Dominating Set Problem, an NP- hard problem with great relevance in applications related to wireless network design, data mining, coding theory, among others. The minimum dominating set in a graph is a minimal set of vertices so that each vertex of the graph belongs to it or is adjacent to a vertex of this set. We study three variants of the problem: first, in the presence of weights on vertices, searching for a dominating set with smallest total weight; second, a variant where the subgraph induced by the dominating set needs to be connected, and,finally, the variant that encompasses these two characteristics. To solve these three problems, we propose a hybrid algorithm based on tabu search with additional mathematical-programming components, leading to a method sometimes called matheuristic. Several additional techniques and large neighborhoods are also employed to reach promising regions in the search space. Our experimental analyses show the good contribution of all these individual components. Finally, the algorithm is tested on the covering code problem, which can be viewed as a special case of the minimum dominating set problem. The codes are studied for the Hamming metric and the Rosenbloom-Tsfasman metric. For this last case, several shorter codes were found.

Dans cette thèse, nous étudions les aspects structurels et algorithmiques de différents problèmes de théorie des graphes. Rappelons qu’un graphe est un ensemble de sommets éventuellement reliés par des arêtes. Deux sommets sont adjacents s’ils sont reliés par une arête.<p>Tout d’abord, nous considérons les deux problèmes suivants :le problème de vertex cover et celui de dominating set, deux cas particuliers du problème de hitting set. Un vertex cover est un ensemble de sommets qui rencontrent toutes les arêtes alors qu’un dominating set est un ensemble X de sommets tel que chaque sommet n’appartenant pas à X est adjacent à un sommet de X. La version connexe de ces problèmes demande que les sommets choisis forment un sous-graphe connexe. Pour les deux problèmes précédents, nous examinons le prix de la connexité, défini comme étant le rapport entre la taille minimum d’un ensemble répondant à la version connexe du problème et celle d’un ensemble du problème originel. Nous prouvons la difficulté du calcul du prix de la connexité d’un graphe. Cependant, lorsqu’on exige que le prix de la connexité d’un graphe ainsi que de tous ses sous-graphes induits soit borné par une constante fixée, la situation change complètement. En effet, pour les problèmes de vertex cover et de dominating set, nous avons pu caractériser ces classes de graphes pour de petites constantes.<p>Ensuite, nous caractérisons en termes de dominating sets connexes les graphes Pk- free, graphes n’ayant pas de sous-graphes induits isomorphes à un chemin sur k sommets. Beaucoup de problèmes sur les graphes sont étudiés lorsqu’ils sont restreints à cette classe de graphes. De plus, nous appliquons cette caractérisation à la 2-coloration dans les hypergraphes. Pour certains hypergraphes, nous prouvons que ce problème peut être résolu en temps polynomial.<p>Finalement, nous travaillons sur le problème de Pk-hitting set. Un Pk-hitting set est un ensemble de sommets qui rencontrent tous les chemins sur k sommets. Nous développons un algorithme d’approximation avec un facteur de performance de 3. Notre algorithme, basé sur la méthode primal-dual, fournit un Pk-hitting set dont la taille est au plus 3 fois la taille minimum d’un Pk-hitting set. / Doctorat en Sciences / info:eu-repo/semantics/nonPublished

This master thesis discusses various mathematical problems related to the placement of chess pieces. Solutions to the problems are mostly elementary (yet sometimes quite inventive), in some cases rely on basic knowledge of graph theory. We successively focus on different chess pieces and their tours on rectangular boards, and then examine the "independence" and "domination" of chess pieces on square boards. The text is complemented with numerous pictures illustrating particular solutions to given problems.

Dans ce travail, nous nous intéressons à une topologie pour les réseaux de capteurs sans fil. Un réseau de capteurs sans fil peut être modélisé comme un graphe non orienté G = (V,E). Chaque sommet de V représente un capteur et une arête e = {u, v} dans E indique une transmission directe possible entre deux capteurs u et v. Contrairement aux dispositifs filaires, les capteurs sans fil ne sont pas a priori agencé en réseau. Une topologie doit être créée en sélectionnant des noeuds "dominants" qui vont gérer les transmissions. Les architectures qui ont été examinées dans la littérature reposent essentiellement sur les ensembles dominants connexes et les ensembles dominants faiblement connexes. Cette étude est consacrée aux ensembles indépendants faiblement connexes. Un indépendant S ⊂ V est dit faiblement connexe si le graphe GS = (V, [S, V \S]) est connexe, où [S, V \S] est l’ensemble des arêtes e = {u, v} de E avec u ∈ S et v ∈ V \S. Une topologie basée sur les ensembles faiblement connexes permet de partitionner l’ensemble des capteurs en trois groupes, les esclaves, les maîtres et les intermédiaires. Les premiers effectuent les mesures, les seconds rassemblent les données collectées et les troisièmes assurent les communications inter-groupes. Nous donnons d’abord quelques propriétés de cette structure combinatoire lorsque le graphe non orienté G est connexe. Puis nous proposons des résultats de complexité pour le problème de la recherche de l’indépendant faiblement connexe de cardinalité minimale (MWCISP). Nous décrivons également un algorithme d’énumération exact de complexité O∗(1.4655|V |) pour le MWCISP. Des tests numériques de cette procédure exacte sont présentés. Nous formulons ensuite le MWCISP comme un programme linéaire en nombres entiers. Le polytope associé aux solutions de ce problème est complètement caractérisé lorsque G est un cycle impair. Nous étudions des opérations de composition de graphes et leurs conséquences polyédrales. Nous introduisons des inégalités valides notamment les contraintes dites de multibord. Par la suite, nous développons un algorithme de coupes et branchement sous CPLEX pour résoudre ce problème en utilisant des heuristiques pour la séparation de nos familles de contraintes. Des résultats expérimentaux de ce programme sont exposés. / In this work, we focus on a topology for Wireless Sensor Networks (WSN). A wireless sensor network can be modeled as an undirected graph G = (V,E). Each vertex of V represents a sensor and an edge e = {u, v} in E implies a direct transmission between the two sensors u and v. Unlike wired devices, wireless sensors are not a priori arranged in a network. Topology should be made by selecting some sensor as dominators nodes who manage transmissions. Architectures that have been studied in the literature are mainly based on connected dominating sets and weakly connected dominating sets.This study is devoted to weakly connected independent sets. An independent set S ⊂ V is said Weakly Connected if the graph GS = (V, [S, V \S]) is connected, where [S, V \S] is the set of edges with exactly one end in S. A sensor network topology based on weakly connected sets is partition into three groups, slaves, masters and bridges. The first performs the measurements, the second gathers the collected data and the later provides the inter-group communications. We first give some properties of this combinatorial structure when the undirected graph G is connected. Then we provide complexity results for the problem of finding the minimum weakly connected independent set problem (MWCISP). We also describe an exact enumeration algorithm of complexity O∗(1.4655|V |) (for the (MWCISP)). Numerical tests of this exact procedure are also presented. We then present an integer programming formulation for the minimum weakly connected independent set problem and discuss its associated polytope. Some classical graph operations are also used for defining new polyhedra from pieces. We give valid inequalities and describe heuristical separation algorithms for them. Finally, we develop a branch-and-cut algorithm and test it on two classes of graphs.

L'objet de cette thèse sur les réseaux de capteurs est l'étude du déploiement minimal de capteurs lorsque ceux-ci doivent couvrir un ensemble discret de cibles plutôt que des superficies. Après la présentation des caractéristiques d'un réseau de capteurs, et l'intérêt d'un déploiement minimal, nous en proposons une modélisation en théorie des graphes. Nous présentons ensuite un état de l'art décrivant certaines techniques de résolution par la programmation mathématique de diverses problématiques dans ce type de réseau. Nous utilisons plusieurs programmes linéaires en variables mixtes afin de résoudre le problème du déploiement minimal des capteurs sous des contraintes de couverture de toutes les cibles et de connectivité des capteurs entre eux. Finalement, nous concevons une nouvelle heuristique de calcul de placement de capteurs lorsque les cibles sont placées sur une grille à motif carré et nous conjecturons que cette heuristique retourne une solution optimale dans tous les cas. / The objectif of this thesis on wireless sensor networks is to study the deployment of a minimal number of sensors to cover specific targets instead of continuous areas. After a presentation of the characteristics of wireless sensor networks, and after justifying the interest of an optimal sensor deployment, we propose a graph-theory based model for wireless sensor networks. We then present a state of the art describing various mathematical programming models and resolution techniques regarding a number of optimization problems in such networks. We formulate several Mixed Integer Linear programs to solve the optimal sensor deployment problem under contraints related to the coverage of all targets and connectivity between sensors. Finally, we conceive a new heuristic for sensor placement when targets are placed in a square grid graph, and we conjecture that this heuristic returns an optimal solution in all cases.

La théorie des graphes est considérée comme un vaste champ qui permet d'explorer différentes techniques de preuve des mathématiques discrètes. Ainsi, les différents problèmes traités dans cette théorie ont plein d'applications dans d'autres domaines scientifiques tels que l'informatique, la physique, la sociologie, la théorie des jeux, etc. Dans cette optique, nous proposons, dans cette thèse, de mettre l'accent sur trois problèmes de graphes, à savoir la multidécomposition de multigraphes, la [1, 2]-domination et le monitoring des arêtes. Ainsi, le fait d'explorer, dans ce travail de thèse, trois problèmes de graphes relativement distincts dans des classes de graphes différentes, nous a permis de développer plusieurs techniques de preuve ainsi qu'une multitude de façon d'aborder un problème. La première partie de cette thèse touche un aspect très important de la théorie des graphes, appelé la décomposition des graphes. Intuitivement, une décomposition en sous-graphe permet de représenter le graphe d'origine par un ensemble de copies du sous-graphe, où chaque arête du graphe initial appartient à une et une seule copie du sous-graphe. Dans cette partie, on s'intéresse plus particulièrement à la décomposition multiple d'un multigraphe complet en étoiles et cycles de même taille, c.à.d. générer à partir d'un multigraphe, plusieurs composantes disjointes (étoiles et cycles). Dans ce sens, des preuves formelles sont présentées pour déterminer les conditions nécessaires et suffisantes que doit avoir le multigraphe complet pour qu'une telle décomposition existe. Les deux autres parties de cette thèse, les parties les plus consistantes, abordent un problème suscitant beaucoup d'attention actuellement, qui est l'étude de la domination dans les graphes. Le problème original de domination consiste à trouver un ensemble de sommets (de taille minimum) dominant le reste des sommets d'un graphe. De nombreuses variantes d'intérêts à la fois théoriques et pratiques ont été proposées et étudiées dans la littérature. Dans cette partie de thèse et celle qui suit, nous nous sommes intéressés à deux variantes de domination. La première variante, appelée [i, j]-domination dans les graphes, a été introduite par Chellali et al. en 2013. En plus de ses propriétés de domination, la particularité de cette variante est que chaque sommet non dominant doit être adjacent à au moins i et au plus j sommets dominants. Plus particulièrement, nous nous somme intéresses à la [1, 2]-domination. Il convient de souligner qu'il a été démontré que le problème reste NP-complet. Dans ce sens, nous avons étudié ce paramètre dans des graphes particuliers, tels que les graphes de Petersen généralisés, ce qui rend ce problème tout aussi intéressant. Introduite par Watkins, cette famille de graphes possède un nombre de propriétés très intéressantes. D'ailleurs, plusieurs paramètres de graphes ont été étudiés sur cette classe de graphes de par sa structure qui est assez particulière. De plus, une étude de la [1, 2]-total domination sur cette classe de graphes est aussi menée dans cette thèse. La deuxième et dernière variante étudiée, aussi une variante de la domination, appelée monitoring des arêtes, a été introduite par Dong et al. en 2008. Elle consiste à trouver un ensemble de sommets qui surveille (domine) l'ensemble des arêtes dans un graphe sachant qu'un sommet surveille une arête s'il forme un triangle avec les deux extrémités de l'arête. Une arête peut être monitorée par un ou plusieurs sommets. Dans ce contexte, plusieurs variantes du monitoring des arêtes sont considérées dans cette partie à savoir monitoring des arêtes, monitoring uniforme des arêtes et monitoring pondéré des arêtes. L'essence de ce problème réside dans sa nature combinatoire ainsi que son domaine d'application, plus particulièrement dans les réseaux de capteurs sans fil. De plus, il a été prouvé que trouver un ensemble minimum pour ce problème est NP-difficile [etc....] / Graph theory is considered as a field exploring a large variety of proof techniques in discrete mathematics. Thus, the various problems treated in this theory have applications in a lot of other scientific fields such as computer science, physics, sociology, game theory, etc. In this thesis, three major problems are considered: the multidecomposition of multigraphs, the [1, 2]- domination and the edge monitoring. The fact that these three problems are of different nature allowed us to explore several proof techniques in this thesis. The first part of this thesis deals with a popular aspect of research in graph theory called graph decomposition. Intuitively, a decomposition into subgraphs allows us to describe the original graph with a set of copies of these subgraphs. In this part, we give a particular interest to the multidecomposition of a complete multigraph into edge disjoint stars and cycles. Thus, we investigate the problem of (Sk, Ck)-multidecomposition of the complete multigraph and give necessary and sufficient conditions for such a multidecomposition to exist. The second and third parts are the most important parts in terms of effort and spent time. They are devoted to problems related to domination in graphs. The original domination problem is to find a minimum set of vertices such that every vertex outside the dominating set is adjacent to at least one vertex from the dominating set. Many variants of theoretical and practical interest have been studied in the literature. The second studied problem is called the [i, j]-domination in graphs. This problem was introduced by Chellali et al. in 2013. In addition to the properties of domination, this variant has the particularity that each non-dominating vertex should be adjacent to at least i dominating vertices but also to at most j of them. We particularly focus on the [1, 2]-domination. It has been shown that the problem remains NP-complete. We are interested to study this problem on a particular graph namely the generalized Petersen graph. This graph was introduced by Watkins and has a lot of interesting properties. Moreover, several graph theoretical parameters have been studied on this graph class because of it unique structure. In addition, a study of the [1, 2]-total domination is also proposed at the end of this part. The last problem is a new variant called edge monitoring problem and was introduced by Dong et al. in 2008. It consists to find a set of vertices that monitors (dominates) the edge set of a graph such as a vertex monitors an edge if it forms a triangle with it i.e. it dominates both extremities of the edge. An edge can be monitored by one or more vertices. Three variants of the problem are considered in this part namely the edge monitoring, uniform edge monitoring and weighted edge monitoring. The essence of this problem lies on its combinatorial aspect and its range of applications in networks; especially wireless sensor networks. This problem is known to be NP-hard. Given the complexity of this kind of problems, we are first interested by a theoretical study: variants of the problem, bounds, characterizations, etc. We give more in depth studies of the problem for several graph classes

Cette thèse s'intéresse à la construction auto-stabilisante de structures couvrantes dans un système réparti. L'auto-stabilisation est un paradigme pour la tolérance aux fautes dans les algorithmes répartis. Plus précisément, elle garantit que le système retrouve un comportement correct en temps fini après avoir été perturbé par des fautes transitoires. Notre modèle de système réparti se base sur des mémoires localement partagées pour la communication, des identifiants uniques pour briser les symétries et un ordonnanceur inéquitable, c'est-à-dire le plus faible des ordonnanceurs. Dans la mesure du possible, nous nous imposons d'utiliser les plus faibles hypothèses, afin d'obtenir les constructions les plus générales de structures couvrantes réparties. Nous présentons quatre algorithmes auto-stabilisants originaux pour le k-partitionnement, la construction d'une (f,g)-alliance et l'indexation. Pour chacun de ces problèmes, nous prouvons la correction de nos solutions. De plus, nous analysons leur complexité en temps et en espace à l'aide de preuves formelles et de simulations. Enfin, pour le problème de (f,g)-alliance, nous prenons en compte la notion de convergence sûre qui vient s'ajouter à celle d'auto-stabilisation. Elle garantit d'abord que le comportement du système assure rapidement un minimum de conditions, puis qu'il continue de converger jusqu'à se conformer à une spécification plus exigeante. / This thesis deals with the self-stabilizing construction of spanning structures over a distributed system. Self-stabilization is a paradigm for fault-tolerance in distributed algorithms. It guarantees that the system eventually satisfies its specification after transient faults hit the system. Our model of distributed system assumes locally shared memories for communicating, unique identifiers for symmetry-breaking, and distributed daemon for execution scheduling, that is, the weakest proper daemon. More generally, we aim for the weakest possible assumptions, such as arbitrary topologies, in order to propose the most versatile constructions of distributed spanning structures. We present four original self-stabilizing algorithms achieving k-clustering, (f,g)-alliance construction, and ranking. For every of these problems, we prove the correctness of our solutions. Moreover, we analyze their time and space complexity using formal proofs and simulations. Finally, for the (f,g)-alliance problem, we consider the notion of safe convergence in addition to self-stabilization. It enforces the system to first quickly satisfy a specification that guarantees a minimum of conditions, and then to converge to a more stringent specification.