Orientador: Luiz Antonio Barreiro / Banca: Edson Denis Leonel / Banca: Emanuel Fernandes de Lima / Resumo: Esta dissertação teve por objetivo abordar os principais assuntos referentes a dinâmica não-linear de um pêndulo duplo, como estudo das trajetórias no espaço de fase obtidas para condições iniciais periódicas (modos normais do pêndulo duplo) e para condições iniciais que impliquem em trajetórias caóticas, estudo dos expoentes de Lyapunov e seções de Poincaré do sistema. Para esta análise utilizou-se de simulações numéricas realizadas no software Mathematica bem como estudo a partir de um pêndulo duplo experimental filmado a partir de imagens estroboscópicas digitais, as quais foram devidamente tratadas no software Tracker e posteriormente analisadas no software Mathematica. Efetuou-se o estudo da ação de uma força externa aplicada por um motor no pêndulo duplo experimental a partir da qual foi possível obter-se uma aproximação do experimento real sujeito a forças dissipativas com a dinâmica efetuada por um pêndulo duplo ideal, sendo este um dos fatores que justifica-se a utilização das equações que regem o pêndulo duplo ideal para o problema que estava sendo estudado (pêndulo real), devido a energia ser mantida consideravelmente constante durante os testes realizados / Abstract: This study aims to address the main issues regarding the nonlinear dynamics of the dissipative and forced double pendulum as well as the dissipative pendulum with ideal pendulum approximation at short time intervals (0 to 10s of lming).We investigate some properties of the phase space under di erent initial conditions, of the Lyapunov exponents indicativing Chaos of the system and of the Poincaré sections allowing us to obtain detailed information about the complex dynamics that occurs in the quadrimensional phase space of the double pendulum. We observed that for short time the dynamics of the double pendulum can be approximated by the ideal pendulum since the loss of energy was minimal moreover the introduction of an external force in the system compensated for the loss of energy by the action of the dissipative forces making it possible to a more complete analyzes of the dynamics as the study of the section of Poincaré in the system could be performed. It was noticed that the theoretical results widely studied are similar to the experimental results therefore emphasizing the importance of this methodology in the study of chaotic systems / Mestre

Orientador: Ricardo Egydio de Carvalho / Banca: Emanuel Fernandes de Lima / Banca: Leonardo Kleber Castelano / Resumo: O objetivo principal deste trabalho é utilizar a teoria de dinâmica não linear no controle da dissociação molecular através da introdução da dissipação em um modelo já bem conhecido na literatura, que consiste em um potencial de interação interatômico e uma perturbação na forma de interação dipolo - campo elétrico. Tal campo elétrico pode ser proveniente dos fótons, pois a incidência de fótons já mostrou ser uma ferramenta efetiva na dissociação molecular. Primeiramente, o estudo mostra a possibilidade de controle de dissociação sem dissipação para condições bastante específicas, em seguida tais condições são generalizadas com a introdução da dissipação, tais como condições iniciais, tempo de exposição à perturbação e possíveis valores dos parâmetros de controle (constantes nas equações de movimento), mostrando os benefícios que a dissipação pode trazer no controle e na descrição da dissociação molecular. O sistema é confinado em um atrator cuja energia seja suficiente para que haja dissociação caso o mesmo esteja submetido somente ao potencial de interação de Morse. É realizada também uma varredura nos parâmetros de controle, no intuito de mostrar que a dissociação também pode ser controlada em uma ampla gama de valores para estes parâmetros. Este trabalho ainda faz um estudo baseado na probabilidade de dissociação como função de cada parâmetro de controle, de maneira que os resultados deste são comparados com resultados de outros trabalhos já conhecidos na literatura / Abstract: The main objective of this work is to use the nonlinear dynamics theory in the control of the molecular dissociation through the introduction of dissipation in a literature well-known model that consists of an interatomic interaction potential and of a perturbation given by the interaction between the molecule dipole - electric field. This field may be from the photons, because the incidence of photons has already proved to be an effective tool in molecular dissociation. First of all, the study shows the possibility of the dissociation control without dissipation in very specific conditions. These conditions are generalized as the work makes the introduction of the dissipation, like the initial conditions, exposure time to the perturbation and possible values of the control parameters (constants in the motion equations), showing the benefits the dissipation can bring to the control and to the description of the molecular dissociation. The system is trapped in an attractor whose energy is enough to bring dissociation in case it is subjected to only the Morse potential interaction. This study also sweeps the parameters in order to show that the dissociation can also be controlled to a wide range of the values of the control parameters. This work makes a study based in the dissociation probability as a function of each control parameter so the results of this work can be compared with results of other works already known in the literature / Mestre

Orientador: Edson Denis Leonel / Banca: Juliano Antônio de Oliveira / Banca: Ana Paula Mijolaro / Resumo: Neste trabalho investigaremos o comportamento do decaimento e relaxação para os pontos de equilíbrio, em especial em pontos de bifurcação, para uma família de mapeamentos discretos unidimensionais do tipo logístic-like. Faremos uma análise para três tipos de bifurcação: (i) transcrítica; (ii) forquilha e; (iii) duplicação de período. Discutiremos algumas hipóteses de escala que conduzem a uma lei de escala envolvendo três expoentes críticos. Próximo ao ponto fixo, a variável dinâmica varia muito lentamente. Essa propriedade permite transformar uma equação de diferenças, natural do mapeamento discreto, em uma equação diferencial ordinária (EDO). Resolvemos esta equação que fornece a evolução para o estado estacionário. Nossas simulações numéricas confirmam a previsão teórica e valida a aproximação acima mencionada / Abstract: In this work we investigate the behavior of the decay and relaxation to the equilibrium,especially at the bifurcation, for a family of one-dimensional discrete mappings, logistic-like. Our investigation consider three types of bifurcation: (i) transcritical; (ii) pitchforkand; (iii) period doubling. We discuss some scaling hypotheses leading to a scaling lawinvolving three critical exponents. Near the fixed points, the dynamical variable variesvery slowly. This property allows us to transform the equation of differences, hencenatural from discrete mappings, into an ordinary differential equation (ODE). We solvesuch equation which furnishes the evolution towards the stationary state. Our numericalsimulations confirm the theoretical results validating the above mentioned approximation / Mestre

Cette thèse traite de la synchronisation et de la désynchronisation des systèmes dynamiques. Dans une première partie nous abordons, sous l’angle de la biologie systémique, le problème de la désynchronisation qui consiste à induire un comportement chaotique dans un système ayant une dynamique stable. Nous étudions ce problème sur un réseau génétique appelé V-système, inventé afin de coupler le plus simplement possible une bifurcation de Hopf et une hystérèse. Après avoir démontré qu’un champ de vecteurs de R^n présentant un tel couplage peut, sous certaines conditions, avoir un comportement chaotique, nous donnons un ensemble de paramètres pour lequel le V-système associé satisfait ces conditions et vérifions numériquement que le mécanisme responsable du chaos prend place dans ce système. Dans une deuxième partie, nous nous intéressons à la synchronisation de systèmes organisés hiérarchiquement. Nous commençons par définir une structure hiérarchique pour un ensemble de 2^n systèmes par une matrice représentant les étapes d’un processus de regroupement deux par deux. Cela nous amène naturellement au cas d’un ensemble de Cantor de systèmes, pour lequel nous obtenons un résultat de synchronisation globale généralisant le cas fini. Enfin nous traitons de la situation où certains défauts apparaissent dans la hiérarchie, i.e que certains liens entre les systèmes sont brisés. Nous montrons que l’on peut accepter un nombre infini de liens brisés, tout en gardant une synchronisation locale, à condition que ces liens soient uniquement présents aux N premiers étages de la hiérarchie (pour un N fixé) et qu’ils soient suffisamment espacés dans ces étages. / This thesis deals with the synchronization and desynchronization of dynamical systems. In a first part we tackle (under a biological viewpoint) the desynchronization problem, which consists in the induce- ment of a chaotic behavior in a stable dynamical system. We study this problem on a gene regulatory network called V-system, invented in order to couple in a very simple way, a Hopf bifurcation and a hysteresis-type dynamics. After having proved that a vector field on Rn admitting such a coupling may, under some condi- tions, show a chaotic dynamics, we give a set of parameters for which the associated V-system satisfies these conditions and verify numerically that the mechanism responsible of the chaotic motion occurs in this system. In a second part, we take interest in the synchronization of hierarchically organized dynamical systems. We first define a hierarchical structure for a set of 2^n systems by a matrix representing the steps of a matching process in groups of size two. This leads us naturally to the case of a Cantor set of systems, for which we obtain a global synchronization result generalizing the finite case. Finally, we deal with the situation where some defects appear in the hierarchy, that is to say when some links between certain systems are broken. We prove we can afford an infinite number of such broken links while keeping a local synchronization, providing they are only present at the first N stages of the hierarchy (for a fixed integer N) and they are enough spaced out in these stages.

Conselho Nacional de Desenvolvimento CientÃfico e TecnolÃgico / O estudo de propriedades caÃticas de alguns sistemas complexos vem se desenvolvendo amplamente a partir do avanÃo tecnolÃgico proporcionado pelos computadores. Dentre esses sistemas, podemos ressaltar os bilhares, que devido à sua simplicidade e enorme aplicabilidade vem se destacando dentre os demais modelos. Neste trabalho, estudamos as propriedades de alguns bilhares sujeitos à aÃÃo de um campo externo. Aqui, o campo externo à representado por meio de um campo de velocidade que à obtido a partir do escoamento de um fluido. Este fluido exerce uma forÃa de arrasto sobre a partı́cula que encontra-se confinada pela fronteira que define o bilhar. Ao contrÃrio dos outros trabalhos realizados com bilhares, propomos uma abordagem totalmente numÃrica levandoem consideraÃÃo vÃrios fatores que poderiam influenciar na dinÃmica da partı́cula, como por exemplo, a forÃa elÃstica que a partı́cula sofre ao colidir com a fronteira, o regime de escoamento do fluido e o efeito do arraste na trajetÃria da partı́cula, causado por uma forÃa que à proporcinal a uma potÃncia da velocidade na forma F ∝ v γ . A partir desta abordagem, foi possı́vel observar um decaimento na energia da partı́cula, que se deu de forma linear (γ = 1.0), polinomial do segundo grau (γ = 1.5) e exponencial (γ = 2.0). AlÃm disso, quando analisamos o espaÃo de fase dos sistemas (bilhares), o efeito do parÃmetro dissipativo contribuiu para o surgimento de um mar de caos em alguns casos, e ainda, para o surgimento de um atrator, cujo efeito à oriundo tambÃm da aÃÃo do campo externo. / The study of the chaotic properties of some complex systems has been largely developed from the technological advancement provided by computers. Among these systems, we can highlight the billiards, which, due to their simplicity and enormous applicability, they have stood out among the other models. In this work, we study the properties of some billiards, when subject to the action of an external field. Here the external field is represented by a velocity field, wich is obtained from the flow of a fluid. Such fluid exerts a drag force on the particle bounded by the boundary defining the billiard. In contrast to the other works done with billiards, we propose a totally numerical approach, taking into account several factors that could exercise influence on the particle dynamics, such as the elastic force that the particle suffers when it collides with the boundary, the outflow regime of the fluid, and the drag effect on the trajectory of the particle, caused by a force that is proportional to a potential of the velocity in the form F ∝ v γ . From this aproach we could observe a decay on the energy of the particle, which occurred in a linear form (γ= 1.0), polynomial of the second degree (γ = 1.5) and exponential (γ = 2.0). Moreover, as we analyzed the phase space of the systems (billiards), the effect of the dissipation parameter contributed to the emerging of a sea of chaos in some cases, and also to the appearance of an attractor, whose effect also originates from the action of the external field.

Investigaremos algumas propriedades dinâmicas e de transporte para um conjunto de partículas clássicas não interagentes em diversos sistemas físicos. Os sistemas descritos aqui, em sua maioria, apresentam estrutura mista no espaço de fase no sentido de que curvas invariantes do tipo spanning, mares de caos e ilhas periódicas estão presentes. A descrição de cada sistema será feita utilizando mapeamentos discretos não lineares. Detalharemos a forma de obter os mapeamentos assim como discutiremos algumas de suas propriedades dinâmicas. Expoentes de Lyapunov serão utilizados para caracterizar a região de caos nos sistemas. Hipóteses de escala são usadas para provar que certos observáveis, por exemplo a energia média ao longo de mares de caos, são invariantes de escala. Consideraremos também que quando uma partícula, ou de forma equivalente um conjunto delas atinge uma determinada altura no espaço de fases, ela pode escapar. Ao estudar o escape de partículas, vemos que o histograma do número de partículas que atingem uma certa altura (ou energia) h no espaço de fases em uma dada iterada n, ao qual observamos ser invariante de escala, cresce rapidamente até atingir um máximo e então tende à zero para n grande. Quando a altura h varia proporcionalmente a posição da primeira curva invariante spanning, podemos confirmar uma invariância de escala do histograma de frequências. O mesmo ocorre para a probabilidade de sobrevivência da partícula à dinâmica. Neste contexto, abordaremos os seguintes problemas: (1) Um guia de ondas senoidalmente corrugado; (2) Uma família de mapas Hamiltonianos bidimensionais que recupera diversos modelos; (3) Partículas confinadas em uma caixa com potenciais infinitos nas bordas e contendo em seu interior um poço de potencial dependente periodicamente do tempo; (4) Analisaremos um bilhar ovóide com dependência temporal introduzida através de giro, onde para certas condições observamos que este não apresenta um aparente crescimento ilimitado de energia (aceleração de Fermi), desta forma sendo um possível contra-exemplo da conjectura LRA. Esta tese é um resumo de 8 artigos que foram publicados em revistas internacionais. / We investigate some dynamical and transport properties for a set of non-interacting classical particles. The systems here described, for the most part, present mixed structure in the phase space in the sense that invariant spanning curves, chaotic seas and periodic islands are present. The dynamics of each model is described by using non-linear mappings. We show all the details to construct the mappings and discuss some of their dynamical properties including fixed points stability among others. Lyapunov exponents will be obtained to characterize the chaotic dynamics observed in the phase space. Moreover some scaling hypotheses are used to prove that certain observables, including the average energy, are scaling invariant. We consider also that when a particle or an ensemble of them reach a certain portion of the phase space, they can escape. When studying the escape, we see that the histogram for the number of particles that reach certain height (or energy) h in the phase space for the iteration n, for which we observe to be scaling invariant, grows quickly until reaching a maximum and then goes towards zero for large enough n. When changing the height h proportionally to the position of the first invariant spanning curve, we can confirm the scaling invariance. The same happens for the survival probability for a particle in the chaotic dynamics. In this way, we will discuss the following problems: (1) A corrugated waveguide; (2) A family of two-dimensional Hamiltonian mappings which can reproduce different scaling exponents; (3) Particles confined to bounce in the interior of a time-dependent potential well; (4) We will analyse a rotating oval billiard, where for certain conditions we observed that this system does not present the unbounded energy growth (Fermi acceleration), in this way it is a possible counterexample of the LRA conjecture. This thesis is as summary of eight papers already published.

Nesta dissertação é explorado o comportamento emergente de uma população heterogênea de jogadores negociando segundo o jogo do ultimato: dois jogadores recebem uma oferta; um deles (o proponente) propõe a sua divisão, enquanto o outro jogador (o aceitador) pode aceitar ou rejeitar a proposta. A rejeição é prejudicial a ambos jogadores, pois nenhum deles recebe sua parcela dos possíveis ganhos. Neste contexto, o ganho e seus momentos são calculados a partir de métodos analíticos simples e várias simulações computacionais corroboram os resultados obtidos. Também são analisadas as flutuações estatísticas da distribuição do ganho. Além disso, é apresentada uma abordagem simples evolucionária que considera mudanças em estratégias baseadas em ganhos anteriores. Para este caso, é demonstrado que o tempo médio de permanência (idade) de uma estratégia de uma população de "justos" convergepara um valor constante enquanto t se aproxima do ∞ e o cutoff médio decai segundouma lei de potência em tempos altos, após uma queda inicial. Também foram observadas transições entre comportamentos de alto e baixo ganho. Adicionalmente foi estudadauma versão espacial desse modelo. Para tanto são consideradosjogadores interagindo com seus primeiros vizinhos em reticulados 2D de acordo com duas dinâmicas estocáticas: (1) morte e nascimento com amostragem seletiva (MNAS), (2) Gibbs sampling sobre a vizinhança (GS). Estes resultados trazem importantes considerações sobre o projeto de simulaçõesno contexto da teoria dos jogos evolucionários, em particular na simulação dos aspectos relevantes quando modelando grandes populações. / Weexplore the emergent behavior of a heterogeneous population of players negotiating via an ultimatum game: two players are offered a gift; one of them (the proposer) suggestshow to divide the offer while the other player (the responder) can either agree or reject the deal. Rejection is detrimental to both players as it results in no eamings. In this context, the payoff and its moments are calculated from simple analytical methods and several computer simulations corroborate the obtained results. Wealso analyze statistical fluctuationson payoff distribution. In addition,we present a simple evolutionaryapproach that considers changes in strategies based on previous eamings. For this case, we show that average permanence time (age) in a strategy of a fair population converges to a constant value when t approaches ∞ and the cutoff average decays as a power law for large times after a initial deterministic slip. We have also observed transitions between highlow payoffbehaviors. Additionallywe studied a spatial version ofthis model. For this we consider players interacting with their nearest neighbors in 2D lattices according to two different stochastic dynamics: (1) Death and birth with selective sampling (MNAS), (2) Gibbs sampling on neighborhood (GS) Webelieve that these results can bring important considerationsto the design of simulations in the context ofthe evolutionary game theory, in particular in the simulation of relevant features when modeling large populations.

abstract: A continuously and stably stratified fluid contained in a square cavity subjected to harmonic body forcing is studied numerically by solving the Navier-Stokes equations under the Boussinesq approximation. Complex dynamics are observed near the onset of instability of the basic state, which is a flow configuration that is always an exact analytical solution of the governing equations. The instability of the basic state to perturbations is first studied with linear stability analysis (Floquet analysis), revealing a multitude of intersecting synchronous and subharmonic resonance tongues in parameter space. A modal reduction method for determining the locus of basic state instability is also shown, greatly simplifying the computational overhead normally required by a Floquet study. Then, a study of the nonlinear governing equations determines the criticality of the basic state's instability, and ultimately characterizes the dynamics of the lowest order spatial mode by the three discovered codimension-two bifurcation points within the resonance tongue. The rich dynamics include a homoclinic doubling cascade that resembles the logistic map and a multitude of gluing bifurcations. The numerical techniques and methodologies are first demonstrated on a homogeneous fluid contained within a three-dimensional lid-driven cavity. The edge state technique and linear stability analysis through Arnoldi iteration are used to resolve the complex dynamics of the canonical shear-driven benchmark problem. The techniques here lead to a dynamical description of an instability mechanism, and the work serves as a basis for the remainder of the dissertation. / Dissertation/Thesis / Supplemental Materials Description File / zip file containing 10 mp4 formatted video animations, as well as a text readme and the previously submitted Supplemental Materials Description File / Doctoral Dissertation Mathematics 2019

At the large watershed scale, we emphasize the effects of flow through a river network on streamflow under dry conditions. An immediate consequence of assuming dry conditions is that evapotranspiration causes flow in the river network to exhibit oscillations. When all links in the river network combine their flow patterns, the oscillations interact in ways that change the timing and amplitude of the streamflow waves at the watershed outlet. The geometric shape of the river network is particularly important, so we develop an analytic solution for streamflow which emphasizes that importance. Doing hydrology backward is a strategy recently developed by several researchers to deal with uncertainty in measurements of forcing terms applied to hydrologic models. The strategy has also been applied to resolve the assumption of homogeneity on realistic catchments that exhibit many heterogeneous properties. In this work, we demonstrate hydrology in the backward direction applied to two examples: using streamflow at the catchment scale to determine runoff at the hillslope scale and using the hillslope runoff to infer the applied evapotranspiration forcing under the assumption of dry conditions. In order to work across scales, we utilize the analytic solution for streamflow at the outlet of a river network. At the hillslope scale, we develop a soil model to create fluxes consistent with observed soil processes.

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