Ingeniero Civil Matemático / En la presente memoria se abordan a fondo los problemas de la interferometría y la síntesis de Fourier, tanto en términos teóricos como en términos prácticos, en el contexto de las aplicaciones de estas herramientas en ciencias como la astronomía, a través de proyectos como ALMA \emph(Atacama Large Milimeter Array), SKA \emph{(Square Kilometre Array)} y VLA \emph{(Very Large Array)}, que basan su funcionamiento en la radioastronomía, rama de la ciencia que utiliza la interferometría como herramienta clave de sus estudios. Todo esto se fundamenta principalmente en el Teorema de Van Cittert - Zernike, proposición que indica lo siguiente: \emph{Si se denomina $V$ a la función de visibilidades de un frente de ondas, $I$ a su intensidad y $A$ el área de recepción efectiva del instrumento utilizado para captar la señal, entonces} $$V(u,v) = \iint A(x,y) I(x,y) e^{-2\pi i(ux+vy)}\ dxdy.$$ En otras palabras, el teorema citado indica que salvo una constante correspondiente al instrumento utilizado, la función de visibilidades de una onda y su intensidad son un par transformada/antitransformada de Fourier. El problema de la síntesis de Fourier consiste en palabras simples al de la reconstrucción de la función de intensidad de una señal, a partir de información parcial de su función de visibilidad. Esta memoria aborda diferentes técnicas de resolución de este problema, que pese a ser un problema mal puesto, es posible regularizarlo para obtener soluciones aproximadas. El resultado principal de este trabajo consiste en la presentación e implementación numérica de una nueva propuesta de solución, utilizando un enfoque variacional, que busca reducir los cálculos y tiempos de computación de las técnicas utilizadas en la actualidad, tales como CLEAN (1974) y MEM (1985), además de estudiar el efecto que genera la regularización de esta solución en diferentes ámbitos que serán detallados cuando corresponda. Se presentan sus resultados y se realizan comparaciones entre distintas soluciones, dependientes de los parámetros modificados en cada ocasión. Se termina la presente memoria analizando los resultados numéricos obtenidos con diversas reconstrucciones de imágenes y se comenta posible trabajo futuro y temas aún pendientes al término de este trabajo, que pueden constituir un aporte importante al desarrollo actual de estas técnicas en astronomía y disciplinas afines como la imagenología médica, que utiliza técnicas similares a las aquí estudiadas para la obtención (por ejemplo) de resonancias magnéticas en los pacientes atendidos.

En el capitulo I hacemos un resumen de propiedades del análisis funcional indicando a los espacios de sobolev. En el capitulo II damos los principales resultados a utilizar, como lo son el Teorema de Lax-Milgram, el Teorema de Interpolación, así mismo el resultado de Ivo Babuska donde usamos la condición de inf - sup y el resultado de Bernstein. En el capitulo III realizamos la descripción matemática de los elementos finitos triangulares. En el capitulo IV se define el espacio HL (O) , hacemos un cambio de global de variables y aplicamos el teorema de Bemstein,encontrando que la solución global esta en HA (O) nHL (O) ,así mismo asumimos que existe un cambio loca1 de variables En el capitulo V estudiaremos tres métodos distintos de elementos finitos especiales.

Tesis para optar al grado de Magíster en Ciencias de la Ingeniería, Mención Matemáticas Aplicadas / Memoria para optar al título de Ingeniero Civil Matemático / En este trabajo se presenta y estudia un modelo para el campo de temperaturas en la cara superior de una pila de lixiviación en presencia de evaporación e irrigada de forma puntual.El modelo consiste en un sistema de ecuaciones en derivadas parciales deducido del balance de los flujos de calor y masa en la cara superior de la pila. En estas ecuaciones las incógnitas son el flujo de masa en la superficie de la cara superior de la pila y la temperatura de la pila.Se muestran distintos resultados acerca de la existencia de soluciones para estas ecuaciones evaluando tres casos: Modelo radial: La cara superior es un circulo. Modelo geometría general sin evaporación: La cara superior es una superficie plana con borde suave y evaporación nula. Modelo geometría general con evaporación: La cara superior es una superficie plana con borde suave, tomando en cuenta evaporación no nula. En cada uno de los modelos se estudian las condiciones bajo las cuales los sistemas de ecuaciones en derivadas parciales tienen solución y además que propiedades cumplen estas soluciones. En el modelo radial se demuestra la existencia y unicidad del campo bajo ciertas condi-ciones. También obtiene la existencia y unicidad de soluciones en el modelo con geometría general sin evaporación asumiendo que el riego no es puntual, en caso contrario solo se puede asegurar la existencia. En el modelo con geometría general y evaporación no nula, solo se logra demostrar la existencia de soluciones en un sentido débil. En todos los modelos se obtienen cotas que permiten entender el comportamiento del campo de temperaturas en función de las variables del problema. / CMM - Conicyt PIA AFB170001

El trabajo presenta el diseño e implementación de un software que tiene por nombre IntegraLAB el cual sirve como una herramienta para resolver problemas de integración de funciones y solución de ecuaciones diferenciales ordinarias aplicando métodos numéricos. / Tesis

Dada una 1-forma analítica real w = a(x,y)dx + b(x,y)dy. ¿Cómo reconocer si la ecuación w=0 posee una integral primera?. El Teorema del Centro nos da ciertas condiciones sobre la singularidad 0 E R cuadrado para que la ecuación Pfaff w=0 posea una integral primera analítica. Lo interesante en la demostración de este teorema (realizada por Robert Moussu en [11]) es como argumentos de la teoría de variable compleja son utilizados para demostrar este teorema de naturaleza real. Lo primero que hacemos es considerar la ecuación complejificada de w=0, esto es, consideramos los puntos (x,y) en el plano complejo C cuadrado. Como estamos interesados en la geometría de las soluciones (comportamiento cualitativo) surge la necesidad de la teoría de foliaciones. Pues, el complejificado de w induce una foliación singular de dimensión compleja 1, cuyas hojas localmente son las curvas solución del campo holomorfo (dual de la 1-forma holomorfa). El propósito siguiente es estudiar esta foliación asociada al campo holomorfo, pero lastimosamente no tenemos mucha información al respecto, sin embargo, mediante la técnica del Blow-up de la foliación en el punto 0 E C cuadrado, logramos obtener suficiente información acerca de esta foliación. Información que junto con el Grupo de Holonomía de una hoja y el Teorema de Mattei-Moussu nos conducen a la conclusión del teorema, la existencia de una integral primera para el campo holomorfo. Finalmente se sigue que la integral primera buscada para el campo analítico real es la parte real de la integral primera obtenida del campo holomorfo. / Tesis

The present work focuses on Nodal Discontinuous Galerkin Method applied to the one-dimensional linear advection equation, which approximates the global solution, partitioning its domain into elements. In each element the local solution is approximated by using interpolation in such a way that the total numerical solution is a direct sum of those approximations (polynomials). This method aims at reaching a high order through a simple implementation. This model is studied by Hesthaven and Warburton [16], with the particularity of Joining the best of the Finite Volumes Method and the best of Finit Element Method . First, the main results are revised in detail concerning the Jacobi orthogonal polynomials; more precisely, its generation formula and other results which help implementing the method. Concepts regarding interpolation and best approximation are studied. Furthermore, some notions about Sobolev space interpolation is revised. Secondly, theoretical aspects of the method are explained in detail , as well as its functioning. Thirdly, both the two method consistency theorems (better approximation and interpolation), proposed by Canuto and Quarteroni [4], and error behavior theorem based on Hesthaven and Warburton [16] are explained in detail. Finally, the consistency theorem referred to the interpolation is veri ed numerically through the usage of the Python language as well as the error behavior. It is worth mentioning that, from our numerical results, we propose a new bound for the consistency (relation 4.2 (4.2)), whose demonstration will remain for a future investigation. / El presente trabajo consiste en el estudio del método numérico Galerkin Discontinuo Nodal aplicado a la ecuación de advección lineal unidimensional, el cual aproxima la solución global, particionando su dominio en elementos. En cada elemento se aproxima la solución local usando interpolación; de tal manera que la solución numérica total es una suma directa de dichas aproximaciones (polinomios). El método busca alcanzar un alto orden mediante una implementación sencilla. Este modelo es estudiado por Hesthaven y Warburton[16], con la particularidad de Fusionar lo mejor del método de Volúmenes Finitos con lo mejor del método de Elementos Finitos . Primero se revisan en detalle los principales resultados sobre los polinomios ortogonales de Jacobi; más precisamente, su fórmula de generación y otros resultados que ayudan en la implementación del método. Se estudian los conceptos de interpolación y mejor aproximación. Además, se revisan algunas nociones de interpolación de espacios de Sobolev. Segundo, se detallan aspectos teóricos del método, así como su funcionamiento. Tercero, se brinda en detalle tanto la demostración de los dos teoremas de consistencia del método (mejor aproximación e interpolación) propuestos en Canuto y Quarteroni[4] como el comportamiento del error basado en Hesthaven y Warburton [16] . Finalmente, se veri ca numéricamente, mediante el uso del lenguaje Python, el teorema de consistencia referido a interpolación, así como el comportamiento del error. Se propone una nueva cota para el consistencia (relación (4.2)) basados en los resultados numéricos, cuya demostración quedará para una futura investigación. / Tesis

Analiza el comportamiento dinámico de una función analítica φ : (C, 0) → (C, 0) definida en una vecindad del origen con φ´ (0) ≠ 0 y sobre qué condiciones es linealizable. Como parte central de este trabajo, se muestra que toda función analítica con │φ´ (0)│ = 1, que satisface una condición que llamaremos Convergencia Cv es linealizable. Finalmente, se presenta como aplicación, un estudio sobre ecuaciones en diferencias, que permite estudiar los puntos de equilibrio y estabilidad de fenómenos asociados a logística y economía. / Tesis

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En esta exposición presentaremos una introducción a las principales ideas que permiten una construcción de atractores de sistemas dinámicos, utilizando para tal efecto, las denominadas gráficas de retardo establecidas en base a series de tiempo. Este método es de especial importancia en estudios de sistemas, en los cuales es muy difícil establecer las ecuaciones que rigen el proceso en estudio; teniendo muchas veces sólo como base para el análisis, datos obtenidos mediante métodos experimentales.

Se presenta el modelo de Black-Scholes, a través del más popular de los contratos financieros, esto es, la opción de compra europea. Se establece la fórmula de valuación martingala para reclamos contingentes en general y se muestra una aplicación de ella mediante la obtención del precio del contrato call. Al final se establece también la ecuación de Black-Scholes, que es una ecuación diferencial parcial no lineal de segundo orden, y que constituye una forma alternativa para la preciación de activos derivados.