El objetivo de este trabajo es hacer un estudio de las propiedades cualitativas de cierta clase de ecuaciones en diferencias de Volterra, se muestran algunos criterios de estabilidad, acotación y periodicidad para las soluciones, una de las principales formas através da cual haremos tal análisis es mediante el uso de funciones auxiliares apropiadas, las cuales son conocidas como funciones de Lyapunov. También se muestran algunos métodos de aproximación numérica para las soluciones de ecuaciones integrales de volterra y se estudia el error al aplicar el método de cuadratura de newton cotes, que nos conduce a una ecuación en diferencias de Volterra para el error, también se muestran algunos otros métodos como aproximación con polinomios ortogonales, polinomios de Bernstein y splines lineales y la simulación numérica correspondiente usando matlab. -- PALABRAS CLAVE: Ecuaciones en Diferencias, Ecuaciones en Diferencias de Volterra, Ecuaciones Integrales, Métodos de Cuadratura, Interpolación Polinomial / -- The objective of this work is do a study of the qualitative properties of certain kind of Volterra difference equations. We will show some criteria of stability, boundedness and periodicity for the solutions, One of the principal forms for means of whom we will do such analysis is using auxiliary function appropriate which is known and calls Lyapunov function. We will also show some methods of numerical approximation for solutions Volterra integral equations, we will study the error when using the method of quadrature of Newton cotes, this conducts us a Volterra difference equation for the error. We will also show methods approximation with orthogonal polynomials, polynomials of Bernstein and linear splines and the correspondent numerical simulation using matlab. . -- KEYWORDS : Difference equations Volterra Diference Equations Integral equations, Methods of Quadrature, Polynomial Interpolation / Tesis

Vincularemos Matemática y Ecología usando un sistema no lineal parabólico fuertemente acoplado el cual se presenta en din amicas poblacionales. Aquí demostramos la existencia de soluciones clásicas globales cuando la dimensión del espacio es n < 10. Con ciertas condiciones en los coeficientes de las funciones de reacción, la convergencia de soluciones es establecida por el sistema mediante una función de Liapunov. -- PALABRAS CLAVES: DIFUSION CRUZADA, ESPACIOS DE BANACH, ESPACIOS DE HOLDER, ESPACIOS DE SOBOLEV ESTIMATIVAS / -- We vinculate Mathematics and Ecology using a nonlinear parabolic strong coupled system which is presented in population dynamics. Here we demostrate the existence of classical global solutions when the space dimension is n < 10. Under certain conditions on the coe cients of the reaction functions, the convergence of solutions is established for the system with large di usion by constructing a Liapunov function. -- KEY WORDS: CROSS DIFFUSION, BANACH SPACES, HOLDER SPACES SOBOLEV SPACES, ESTIMATES / Tesis

Ingeniero Civil Matemático / Los resultados obtenidos en esta memoria pertenecen al área de problemas inversos en ecuaciones en derivadas parciales. El objetivo principal fue estudiar la estabilidad de parámetros en dos modelos de placas provenientes de la elasticidad lineal, en función de los datos en la frontera. Más especificamente, se estudiaron dos modelos de placas provenientes de la teoría de elasticidad lineal, para los cuales se encontraron desigualdades de estabilidad sobre potenciales en $L^\infty(\Omega)$ y $W^{1,\infty}(\Omega)$ respectivamente. La herramienta fundamental que se utilizó en las demostraciones y que también forman parte de los resultados principales son dos estimaciones de Carleman. Este tipo de desigualdades son ampliamente utilizadas en problemas inversos para probar estabilidad de parámetros y también en control para obtener desigualdades de observabilidad. Para $\Omega$ un dominio acotado de $\RR^N$ con frontera regular, $N\geq 2$ y $T>0$, se consideró la ecuación de placas de Kirchhoff-Love: $$ \begin{array}{l l} w_{tt} - \gamma_0\Delta w_{tt} + \Delta^2w + q(x)w= {g(x,t)} & \mbox{en } \Omega\times(0,T),\\ \end{array} $$ con condiciones de borde Navier (i.e. sobre $w|_{\partial\Omega}$ y $\Delta w|_{\partial\Omega}$). Aquí, $g$ es la fuente, $\gamma_0$ es una constante positiva, $q$ es un potencial en $L^\infty(\Omega)$ y en el caso $N=2$, $w$ representa la flexura de una placa delgada con respecto al plano horizontal. Para este problema se construyó una desigualdad de Carleman para funciones regulares, con observaciones en un segmento de la frontera del dominio. Como aplicación de lo anterior, se obtuvo una desigualdad de estabilidad Lipschitz, en donde se logró acotar la diferencia de dos potenciales en norma $L^2$ por la diferencia de las observaciones en norma $H^2(0,T;L^2(\partial\Omega))$ y $H^1(0,T;L^2(\partial\Omega))$. El segundo problema abordado en esta memoria fue el modelo de placas de Reissner-Mindlin: \begin{equation*} \left\{ \begin{array}{l l} \theta_{tt} - \mbox{div}(\sigma(\theta)) -\displaystyle \mu^*(x)\,h_0^{-2}(\nabla w - \theta) = f(x,t) & \mbox{en } \Omega\times(0,T) \\ w_{tt} - \mbox{div}(\mu(x)(\nabla w - \theta)) + q(x)w = g(x,t) & \mbox{en } \Omega\times(0,T),\\ \end{array}\right. \end{equation*} con condiciones de borde Dirichlet y donde suponemos $\Omega$ dominio acotado en $\RR^2$ con frontera regular. El operador $\sigma(\cdot)$ est\'a relacionado con el tensor de esfuerzos de la elasticidad, $f$ y $g$ son fuentes, $h_0$ es una constante positiva que representa el espesor de la placa, $\mu^*$ se relaciona con los parámetros de Lamé y $q$ es un potencial en $W^(\Omega)$. Análogamente a los primeros resultados, se construyó una desigualdad de Carleman para este sistema, también con observaciones en la frontera y suponiendo funciones suficientemente regulares, la que luego fue aplicada en la obtención de la estabilidad H\"older del potencial $q$ en norma $L^2$ en función de las observaciones sobre el borde de $\Omega$ con normas $H^2(0,T;(L^2(\partial\Omega))^3)$ y $H^2(0,T;(H^1(\partial\Omega))^3)$. Se probó además la existencia, unicidad y regularidad de las soluciones para el sistema de Reissner-Mindlin, utilizando un método clásico que permite obtener resultados de este tipo. Este resultado resulta orignal ya que se consideran los parámetros de Lamé variables.

Estudia la existencia y unicidad de la solución débil para una ecuación de evolución de segundo orden, presentados en dos casos, semi lineal y lineal, obteniendo regularización de la solución débil para el caso semi lineal y la dependencia continua sobre los datos iniciales para el caso lineal. Para se utiliza el método de Faedo-Galerkin y la igualdad de la Energía, esta última está basada del libro Problemas Aux Limites non Homogéneas et Applications, volumen 1, de Lions J. y Magenes E. Finalmente, se abordan algunas aplicaciones a las ecuaciones diferenciales parciales. / Tesis

La teoría de Floquet estudia las soluciones de una ecuación diferencial no autónoma del tipo x ′ = A(t)x, donde A(t) es una función matricial continua, de periodo T > 0 (T−periódica) y mediante un cambio de variable conveniente transforma la ecuación original en un sistema lineal[9, 3]; de este modo se reduce la dificultad del problema y es posible obtener alguna información sobre la estabilidad de las soluciones por medio del teorema de Hartman–Grobman, según el cual el comportamiento cualitativo de la ecuación diferencial y la de su parte lineal son localmente equivalentes cuando en la matriz jacobiana, todos sus autovalores tienen la parte real distinta de cero. Pero ¿qué sucede cuando algún autovalor es imaginario puro, cómo en el sistema diferencial x ′ = −y, y′ = x, donde sus soluciones llenan el plano con circunferencias concéntricas, centradas en el origen? Por ejemplo, la expansión de una aplicación de Poincaré para una perturbación sin parte lineal de x ′ = −y, y′ = x permite ver que el origen o bien es un foco débil o continua siendo un centro. Sin embargo, nos gustaría saber si después de una perturbación particular de x ′ = −y, y′ = x es posible encontrar una ´orbita periódica aislada (ciclo límite). En otras palabras, se estudiará la bifurcación de un centro para entender si el comportamiento de las soluciones cambian drásticamente con respecto a las soluciones del sistema sin perturbar y acotar el número de ciclos límites, pequeños que aparecen en la perturbación. En este trabajo se usa la teoría del promedio (Averaging Theory), clásica y la más reciente variante que usa el grado de Brouwer. La teoría del promedio vía el grado de Brouwer, [1] relaciona el número de soluciones T−periódicas de un sistema diferencial, cuyo campo de vectores depende de un parámetro pequeño ǫ > 0, y el número de ceros de una función a la que se denomina función promedio o función de bifurcación. De este modo, el problema de acotar las soluciones T−periódicas se reduce a estudiar los ceros de alguna función entre espacios euclidianos. El presente trabajo está dividido en tres capítulos, en el primero se presentan algunos conceptos preliminares, como por ejemplo el teorema de existencia y unicidad de ecuaciones diferenciales ordinarias, los sistemas lineales de dos dimensiones, el mencionado teorema de Hartman–Grobman y el teorema de Poincar´e–Bendixson que brinda una clasificación de muchos conjuntos α−límite y ω−límite, en el plano. El capítulo dos empieza con un resumen de la teoría de Floquet, seguido de la versión clásica de la teoría del promedio que usa conceptos como función orden y los símbolos de Landau: o y O, [12]. Este segundo capítulo incluye una breve introducción del concepto de grado para funciones en espacios de dimensión finita, el cual se usa para probar el teorema del promedio vía el grado de Brouwer [1], y concluye con una aplicación de la teoría del promedio para sistemas autónomos en el plano. El capítulo tres comienza con el teorema de reducción de Lyapunov– Schmidt que permite obtener el clásico teorema del promedio como el corolario de un resultado general y presenta una perturbación de los sistemas que admiten un centro isócrono. Este capítulo termina con algunas aplicaciones como la bifurcación de Hopf (cero) del sistema de Michelson y el número de ´orbitas periódicas para la ecuación diferencial de tercer grado de tipo x ′′′ − µx′′ + x ′ − µx = ǫF(x, x′ , x′′). / Tesis

La teoría cuántica puede ser generada a partir de un conjunto de ecuaciones estocásticas. Estas ecuaciones se obtienen a partir del hecho de que las soluciones de las ecuaciones de Schrodinger y Bloch están relacionadas entre sí por extensión analítica en el tiempo. En el presente trabajo, las ecuaciones estocásticas se construyen a partir de variables cuánticas, a diferencia del método de Feynman. Como resultado del análisis de estas ecuaciones, se muestra que solo una de sus soluciones está definida positivamente, todas las demás soluciones necesariamente cambian de signo y no pueden ser interpretadas como densidad de probabilidades.

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En esta tesis se presenta un estudio de los vínculos de Dirac asociados a una teoría de campos desde el punto de vista de sistemas diferenciales exteriores (EDS).Con este fin en mente, se estudió una clase mayor de problemas variacionales, deno-minadosproblemas variacionales no estándar, que permiten tratar en pie de igualdad tanto sistemas mecánicos como teorías de campos. Para ello se recurrió al concepto de problema variacional Lepage equivalente (tal como se define en [Got91b]), a través del cual fue posible representar las ecuaciones para las extremales del problema original como un sistema diferencial exterior ZH-C. Este sistema diferencial exterior resulta ser un objeto central en la búsqueda de los vínculos de Dirac de la teoría: introduciendo una descomposi-ción del espacio de campos en hojas de tiempo constante, se muestra que ZH-C permite dar dos versiones equivalentes para dichos vínculos, la usual, en término de funciones sobre un espacio de fases de dimensión infinita, y la novedosa, que los representa como un conjunto de generadores de un siste-ma diferencial exterior asociado a IH-C y la foliación introduci-da.Se aplicó el esquema desarrollado al estudio de una serie de ejemplos, algunos físicamente motivados, como el campo electromagnético, el campo de Yang-Mills y el sistema Toda, como así también para el cálculo de las consecuencias dife-renciales de un sistema de ecuaciones en derivadas parciales. Además fue posible construir un ejemplo de juguete en el cual el método de Dirac falla en alcanzar su culminación, permitién-donos entender fenómenos presentes en teorías de campo más realistas [Got]. / In this thesis, a study of the Dirac constraints arising in the canonical treatment of a field theory, from exterior differential system (EDS) viewpoint, is presented.Keeping this in mind, a bigger class of variational problems, the so called non standard variational problems, was studied, allowing us to deal with both mechanical systems and field theories. In order to achieve this task, it was necessary to use Lepage-equiva-lent variational problems, as defined by [Got91b], permitting us to give a representation of the equations for the extremals in terms of an exterior differential system IH-C.This exterior differential system then becomes a central object in searching the Dirac constraints of the field theory: in fact, by intro-ducing a decomposition of the field space into constant-time slices, it is shown here that IH-C gives two equivalent ver-sions for these constraints, namely,the usual, written in terms of functions on an infinite-dimensional phase space, and the new one, where they are represented as generators of an exterior differential system closely related with IH-C and the slicing. This scheme was applied in a number of examples, some of them physically motivated, such as the electromag-netic field, the Yang-Mills field and the Toda system, and also for the calculation of the differential consequences of a system of partial differential equations. Moreover, it was possible to formulate a toy model where the Dirac method fails in reaching a successful termination, in order to improve our understanding of more realistic field theories [Got].

Se considera un problema elíptico singular del tipo Kirchhoff. Bajo apropiadas condiciones sobre los datos se la existencia y unicidad de las soluciones positivas. El estudio de los sistemas elípticos no locales del tipo Kirchhoff ha cobrado particular interés, sobre todo después del trabajo de Lions, debido a que son modelos que representan una gran variedad de situaciones físicas en Ciencias e Ingeniería y que requiere herramientas nada triviales para resolverlos. / Tesis

Esta memoria fue concebida con el objetivo de ser un aporte tanto a la matemática como a la neurociencia computacional. En el capítulo 1 se proveen los antecedentes bibliográficos necesarios. El capítulo 2 es una investigación sobre ecuaciones diferenciales estocásticas reflejadas en el caso multidimensional con drift dado por y matriz de difusión . Se obtiene una expresión explícita para la medida estacionaria primero cuando el dominio de reflexión es acotado y de clase , y posteriormente para dominios no necesariamente suaves ni acotados, pero que son aproximables por estos últimos. También se obtienen algunos resultados de convergencia a la medida estacionaria. En el capítulo 3 se propone un nuevo modelo para la toma de decisiones, que busca conciliar las discusiones de la literatura cognitiva con los hallazgos neurobiológicos recientes. En este modelo, se utiliza el proceso de Ornstein-Uhlenbeck con reflexiones en el primer cuadrante para dar cuenta de la dinámica aleatoria de las poblaciones de neuronas que están involucradas en la toma de una decisión. A través de simulaciones computacionales se muestra que el modelo es capaz de representar varios hechos empíricos asociados a la toma de decisiones. Cabe mencionar que aunque el capítulo 2 sea una investigación independiente, ésta fue motivada absolutamente por el interés de estudiar el modelo del capítulo 3. Finalmente, en el capítulo 4 se propone un mecanismo, basado en un algoritmo de aproximación estocástica, para dar cuenta de algunos fenómenos de aprendizaje. Este mecanismo implementa las ideas que recientemente se han propuesto en el campo de la neurociencia computacional, y tiene buenas propiedades matemáticas en tanto que garantiza la convergencia casi segura a una constante. Los resultados de simulación muestran que efectivamente se logra explicar el aprendizaje aunque la lentitud de la convergencia exige que se hagan mejoras, lo que queda propuesto como una línea de trabajo futuro.