Se prueba que un problema de Dirichlet no local posee una solución débil. La demostración se realiza mediante el uso de un corolario del Teorema de Weierstrass Generalizado. Así mismo, se prueba un resultado de unicidad bajo una condición de pequeñez y se presenta la solución numérica del problema. / Tesis

El objetivo de esta memoria es el estudio de propiedades para una clase de operadores totalmente no lineales, modelados por el p-laplaciano. La ecuaci´on asociada que se analiza es F(∇u, D2u + b(x) · ∇u |∇(u(x))|α + c(x)u |u|α = f en Ω donde α > −1, Ω ⊆ R n es un dominio acotado, b y c son funciones continuas y acotadas, f ∈ L n (Ω), F : (R n \ {0} × S(n)) → R es continua. Además, para toda matriz simétrica X, F satisface una condición de homogeneidad F (tp, µX) =|t| α µF (p, X), ∀t ∈ R \ {0}, µ ∈ R + y cotas |p| α M− (X) ≤ F (p, X) ≤ |p| α M+ (X). Aquí M− y M+ son los operadores extremales de Pucci. Este tipo de operadores ya ha sido estudiado por Birindelli y Demengel y se conocen resultados de comparación, existencia para el problema de Dirichlet y existencia del primer valor propio. El marco teórico utilizado por Birindelli y Demengel es el de soluciones viscosas, el cual es particularmente apropiado cuando se consideran operadores totalmente no lineales no variacionales. El primer resultado que se prueba es el principio del máximo de AlexandroffBakelman-Pucci, siguiendo las técnicas utilizadas por Cafarelli, Crandall, Kocan y Swiech . A continuación, se prueba la desigualdad de Harnack en el caso α ∈ (−1, 0). Este resultado entrega regularidad interior de las soluciones. Inspirados por Esteban, Felmer y Quaas y a la compacidad obtenida en esta memoria se procede al estudio de existencia de soluciones globales y explosión en la frontera, para una ecuación superlineal asociada.

Publicación a texto completo no autorizada por el autor / Desde su publicacion, el modelo Black – Scholes ha tenido un uso satisfactorio que ayuda en la toma de decisiones en sistemas financieros y empresas. Dicho modelo sirve para estimar el valor de las acciones a tiempo futuro, tanto en compra como venta, resolviendo una igualdad que sigue un movimiento browniano. Se busca resolver la ecuación en derivadas parciales de Black-Scholes, reduciéndola a través de un cambio de variables a la forma de una ecuación de calor la cual facilitará su desarrollo. Se pasará a resolver dicha ecuación usando transformada de Fourier obteniendo así su solución. Por último, la solución de la ecuación podrá pasar a ser estudiada y aplicada en un caso real en el cual se podría escoger cualquier acción que cotice la bolsa de valores como activo. Una vez resuelta la ecuación se plantearan formas en las cuales se pueden aplicar en la acciones de las principales empresas que coticen en Perú y a través de estos datos se calcularan los valores para la call europea. Se concluirá teniendo en cuenta el beneficio que nos otorga el modelo en la predicción de estas opciones, y que tan preciso es. A su vez se encontrará sus posibles aplicaciones y usos en la bolsa de valores. / Trabajo de suficiencia profesional

Se considera un problema elíptico singular del tipo Kirchhoff. Bajo apropiadas condiciones sobre los datos se la existencia y unicidad de las soluciones positivas. El estudio de los sistemas elípticos no locales del tipo Kirchhoff ha cobrado particular interés, sobre todo después del trabajo de Lions, debido a que son modelos que representan una gran variedad de situaciones físicas en Ciencias e Ingeniería y que requiere herramientas nada triviales para resolverlos. / Tesis

La primera parte de la presente memoria busca encontrar la sucesi´on completa de valores propios asociados a funciones propias con simetr´ıa radial para el problema H(u00, u0, x) + hb(x), |ru| rui + c(x)|u| u = − |u| u en BR(0), u = 0 en @BR(0), donde H es un operador el´ıptico ( + 1)-homog´eneo y H, b y c presentan simetr´ıa radial. Para el caso unidimensional la elipticidad permite reformular este problema como un problema cuasilineal del tipo ( + 2)-Laplaciano. Esta reformulaci´on permite usar argumentos de ecuaciones diferenciales ordinarias para encontrar el primer valor propio en un intervalo. Posteriormente un argumento tipo Nehari, basado en teor´ıa del grado, posibilita localizar los k ceros de la k-´esima funci´on propia, construida al tomar la primera funci´on propia entre dos ceros consecutivos. Esta operaci´on puede hacerse un´ıvocamente gracias a un principio del m´aximo ad hoc. Finalmente, cotas apropiadas para las soluciones en dimensiones mayores permiten emplear los mismos argumentos del caso unidimensional. La segunda parte est´a enfocada a resolver una ecuaci´on con no linealidad no Lipschitziana y un operador integral: (− ) u = up − uq en RN, l´ım |x|!1 u(x) = 0, donde u > 0, 2 (0, 1), 0 < q < 1 < p < N+2 N−2 y N 3. Una t´ecnica basada en el principio variacional de Ekeland y el teorema del paso de la monta˜na permite demostrar la existencia de soluciones d´ebiles en H (RN)\Lq+1(RN). Mediante una iteraci´on basada en la teor´ıa Lp, el uso del n´ucleo de Bessel (al sumar u a ambos lados de la ecuaci´on) y un argumento de localizaci´on de Silvestre se prueba la regularidad de las soluciones en H (RN); en particular, que (− ) u puede evaluarse en cada punto de RN. El uso de subsoluciones y supersoluciones apropiadas permite encontrar la tasa de decaimiento de las soluciones cl´asicas del problema. Finalmente, empleando un resultado de simetr´ıa de Terracini para un problema con condici´on de borde Neumann en el semiespacio, junto al trabajo de Caffarelli y Silvestre, se muestra la simetr´ıa radial de las soluciones del problema.

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Realiza un estudio de la existencia y unicidad de soluciones para un problema semilineal aosciado a la ecuacipon similineal de Klein-Gordon. Las herramientas básicas que se utilizan son los espacios funcionales vectoriales y resultados de la teoría de semigrupos, como por ejemplo el teorema de Hille-Yosida. También se estudian la caracterización de las soluciones débiles asociadas a un problema semilineal bastante general modelado sobre un espacio de Banach X, probándose la existencia local de soluciones y el comportamiento general de las mismas. / Tesis

The present work focuses on Nodal Discontinuous Galerkin Method applied to the one-dimensional linear advection equation, which approximates the global solution, partitioning its domain into elements. In each element the local solution is approximated by using interpolation in such a way that the total numerical solution is a direct sum of those approximations (polynomials). This method aims at reaching a high order through a simple implementation. This model is studied by Hesthaven and Warburton [16], with the particularity of Joining the best of the Finite Volumes Method and the best of Finit Element Method . First, the main results are revised in detail concerning the Jacobi orthogonal polynomials; more precisely, its generation formula and other results which help implementing the method. Concepts regarding interpolation and best approximation are studied. Furthermore, some notions about Sobolev space interpolation is revised. Secondly, theoretical aspects of the method are explained in detail , as well as its functioning. Thirdly, both the two method consistency theorems (better approximation and interpolation), proposed by Canuto and Quarteroni [4], and error behavior theorem based on Hesthaven and Warburton [16] are explained in detail. Finally, the consistency theorem referred to the interpolation is veri ed numerically through the usage of the Python language as well as the error behavior. It is worth mentioning that, from our numerical results, we propose a new bound for the consistency (relation 4.2 (4.2)), whose demonstration will remain for a future investigation. / El presente trabajo consiste en el estudio del método numérico Galerkin Discontinuo Nodal aplicado a la ecuación de advección lineal unidimensional, el cual aproxima la solución global, particionando su dominio en elementos. En cada elemento se aproxima la solución local usando interpolación; de tal manera que la solución numérica total es una suma directa de dichas aproximaciones (polinomios). El método busca alcanzar un alto orden mediante una implementación sencilla. Este modelo es estudiado por Hesthaven y Warburton[16], con la particularidad de Fusionar lo mejor del método de Volúmenes Finitos con lo mejor del método de Elementos Finitos . Primero se revisan en detalle los principales resultados sobre los polinomios ortogonales de Jacobi; más precisamente, su fórmula de generación y otros resultados que ayudan en la implementación del método. Se estudian los conceptos de interpolación y mejor aproximación. Además, se revisan algunas nociones de interpolación de espacios de Sobolev. Segundo, se detallan aspectos teóricos del método, así como su funcionamiento. Tercero, se brinda en detalle tanto la demostración de los dos teoremas de consistencia del método (mejor aproximación e interpolación) propuestos en Canuto y Quarteroni[4] como el comportamiento del error basado en Hesthaven y Warburton [16] . Finalmente, se veri ca numéricamente, mediante el uso del lenguaje Python, el teorema de consistencia referido a interpolación, así como el comportamiento del error. Se propone una nueva cota para el consistencia (relación (4.2)) basados en los resultados numéricos, cuya demostración quedará para una futura investigación. / Tesis

Se estudian los efectos de la convección de Marangoni en los frentes de onda de la reacción de Belousov-Zhabotinsky (BZ) en una región bidimensional rectangular con condiciones periódicas para diferentes dimensiones de dicha región rectangular. El modelo matemático utilizado en la descripción de BZ es el del Oregonador de dos variables [2], que describe la evolución de la concentración de las sustancias químicas involucradas, referidas como inhibidor y activador. Sin embargo, este modelo no toma en cuenta los cambios en las propiedades del fluido a causa de la propagación de la onda química, como es el caso de la densidad de masa o la tensión superficial. Es necesario incorporar al Oregonador las ecuaciones hidrodinámicas que describen el movimiento del fluido. En la presente tesis nos enfocaremos en los cambios referidos a la tensión superficial durante la reacción BZ. La convección de Marangoni depende del gradiente de tensión superficial. Esta puede ocurrir a favor o en contra del movimiento de la onda química, por lo que en la presente tesis se estudiarán ambos casos para diferentes dimensiones del dominio rectangular. Se espera que la tensión superficial generada por las diferentes contribuciones de las concentraciones del inhibidor y el activador de lugar a la convección de Marangoni. Esto se verá reflejado en la forma de los pulsos, la velocidad de propagación y la energía cinética.

En general, encontrar una solución analítica de una ecuación diferencial parcial no es fácil, y más aún cuando ésta ecuación es no lineal. Debido a esto, surgieron varios métodos numéricos para encontrar una solución aproximada a la deseada. Los métodos numéricos más conocidos son: • Métodos de Diferencias Finitas que tuvo su gran auge en la década de 1950. • Métodos de Elementos Finitos que tuvo su gran auge en la década de 1960. • Métodos Espectrales que tuvo su gran auge en la década de 1970. Mientras que los métodos de diferencias finitas dan soluciones aproximadas en los puntos de la malla computacional elegida, los métodos de elementos finitos dan aproximaciones polinomiales continuas o continuas por partes en regiones poligonales (generalmente triangulares en dos dimensiones), mientras que los métodos espectrales brindan soluciones aproximadas en la forma de polinomios sobre todo su dominio. Los métodos espectrales son una clase de discretización espacial para ecuaciones diferenciales. Las componentes claves para su formulación son las funciones base (llamadas también funciones de aproximación o expansión) y las funciones de prueba. Las funciones base se usan para dar una representación aproximada de la solución. Las funciones de prueba se usan para asegurar que la ecuación diferencial y quizás algunas condiciones de frontera se cumplan tanto como sea posible por la serie truncada de expansión. Esto se consigue minimizando, con respecto a una norma adecuada, el residuo producido por el uso de la expansión truncada en lugar de la solución exacta. Los métodos espectrales tienen un amplio uso en diferentes áreas como: teoría cuántica ([31], [36]) basado en la ecuación Schrödinger que proporciona la descripción teórica de numerosos sistemas en química y física; teoría cinética basada en la ecuación de Boltzmann ([27], [32]) o en la ecuación de Fokker-Planck ([5], [45]); problemas en mecánica de fluidos ([4], [20], [42]). También hay importantes aplicaciones en el escape átomos de la atmósfera del planeta ([14], [51]) como la pérdida de carga de partículas de la tierra ([33], [43]) y del sol [11]. El presente trabajo pretende contribuir en sentar los fundamentos sobre métodos espectrales, para que sean aplicados en futuras investigaciones más elaboradas, así como brindar los códigos de implementación (en Matlab), los cuales raramente se encuentran en forma explícita en la literatura. Este trabajo está organizado de la siguiente manera: el Capítulo 1 abarca las propiedades más importantes de los polinomios ortogonales; en particular, los polinomios de Chebyshev, los cuales son adecuados para representar funciones de dominio finito y sus relaciones de recurrencia asociadas. Además, se presenta un breve repaso de las fórmulas de cuadratura gaussiana. En el Capítulo 2, se presenta en forma detallada los métodos espectrales polinomiales, útiles para problemas con condiciones de frontera no periódicas. Presentamos los métodos de Galerkin, Tau y de Colocación. En el Capítulo 3 se da ejemplos de la implementación numérica de la ecuación del calor usando los métodos de diferencias finitas y los métodos espectrales, usando los polinomios de Chebyshev. Además, se brindan los detalles necesarios para implementar la ecuación de Burger usando los métodos espectrales. / Tesis