L'importance que la proportionnalité prend en dehors de l'école (dans la vie de tous les jours, en sciences, en économie, en sciences de la santé, en sciences humaines) est mentionnée par plusieurs auteurs, depuis quelques années (Nunes, Schliemann et Carraher, 1993; Soto et Rouche, 1994; Sokona, 1989). Elle constitue un enjeu important de la formation mathématique au niveau secondaire (MEQ, 1994, MELS, 2003). Les travaux de recherche réalisés en didactique des mathématiques sur la proportionnalité ont beaucoup porté jusqu'alors sur l'élève: ses raisonnements, ses stratégies de résolution, ses erreurs (Oliveira, 2000, 2001; Levain, 1997; Dupuis et Pluvinage 1981; Karplus, Karplus et Wollmann, 1974; Noelting, 1978) ou encore sur les problèmes et les variables susceptibles d'affecter l'engagement de l'élève (Vergnaud, 1991, René de Cotret, 1991). Ils ont également porté sur l'élaboration de séquences d'enseignement visant la construction du raisonnement proportionnel chez les élèves (Gnass, 2000; Vergnaud, 1991, Brousseau, 1981) ou sur l'analyse de pratiques d'enseignement de la proportionnalité dans des contextes particuliers : environnement technologique (Adjiade et Pluvinage, 2007), cours dialogué (Hersant, 2001, 2004). Toutefois, nous savons peu de choses sur les pratiques « ordinaires » d'enseignement de la proportionnalité, qui constituent pourtant un moment clé à considérer en lien avec la résolution de problèmes proportionnels par les élèves (Oliveira, 2000). C'est sur cet objet d'étude plus précis que s'est centrée notre étude. Nous avons cherché à mieux comprendre ces pratiques d'enseignement de la proportionnalité, au moment de l'introduction de ce contenu en classe de mathématiques au secondaire, du point de vue notamment de leur relation avec l'apprentissage des élèves. Cette compréhension passe par une prise en compte de différentes composantes de cette pratique, allant de la planification à l'action effective en classe, et par l'explicitation de ce qui guide l'enseignant. Pour atteindre cet objectif, nous avons suivi deux classes de secondaire 2 (13-14 ans) et leurs enseignants pendant toute une séquence d'enseignement portant sur l'introduction de la proportionnalité. Nous avons procédé à une observation systématique des séances en classe. Cette observation a été complétée par des entrevues avec chacun des deux enseignants, et par la passation d'un questionnaire écrit, portant sur la résolution de différents types de problèmes proportionnels et non proportionnels, passé aux élèves au début et à la fin de l'enseignement. Une analyse en profondeur, dans chacun des cas, des séances en classe et des entrevues, a permis de faire ressortir différentes caractéristiques des pratiques d'enseignement de la proportionnalité considérées, au niveau notamment de ce qui sous-tend celles-ci (ce qui guide la planification et la pratique en classe...), faisant ressortir la cohérence de cette pratique. L'analyse des séances en classe a par ailleurs permis de mettre en évidence une variété de gestes professionnels mobilisés par l'enseignant, qui s'organisent, dans l'action effective en classe, autour de différentes tâches. Finalement, les caractéristiques qui se dégagent de l'analyse de ces deux pratiques différentes d'enseignement de la proportionnalité, en lien avec l'analyse des questionnaires écrits, viennent éclairer le rôle de l'enseignant dans la construction d'apprentissages mathématiques par les élèves.

Notre recherche vise l'enseignement de la géométrie au secondaire, en particulier le passage de la géométrie plane (2D) à la géométrie de l'espace (3D). À cet effet nous avons fait une courte analyse du programme d'étude visant l'enseignement de la géométrie de l'espace. Le cadre théorique développé par Houdement et Kuzniak (2005, 2006, 2007) nous a permis de réaliser l'analyse du programme d'étude. Nous avons constaté un manque de continuité à cet égard dans l'enseignement de la géométrie. Le référentiel théorique de la géométrie plane est construit dans l'esprit de la géométrie euclidienne du type GII - 2D, alors que le référentiel théorique de la géométrie de l'espace, qui est une géométrie du type GI - 3D, n'est pas un référentiel organisé selon un modèle mathématique. Nous avons constaté que l'espace de travail de la géométrie plane est un espace du type ETG -GII -2D, alors que pour la géométrie de l'espace, l'espace de travail correspond à un ETG -GI -3D, construit sans égard à un éventuel ETG - GII -3D. À partir de ces constats, nous nous sommes surtout intéressés à l'articulation 2D - 3D. Nous avons construit une séquence qui s'intéresse spécifiquement au passage de la géométrie plane à la géométrie de l'espace. Un autre cadre théorique, plus flexible, s'avérait nécessaire dans l'analyse de la situation-problème proposée à tous les élèves du secondaire. Brousseau et Galvez (1985) ont développé une théorie qui montre la pertinence de l'étude entre un sujet et trois types d'espaces: micro, méso et macro. Ensuite, Berthelot et Salin (2000) développent cette théorie en adaptant aux trois types d'espace les concepts élémentaires de la géométrie qui correspondent en grand partie aux conceptions des élèves dans leur pratique de la géométrie. L'analyse de la situation-problème nous a permis de remarquer que le passage du micro-espace, l'espace de la feuille de papier, au méso-espace, l'espace qui nous entoure, n'est pas fait de façon spontanée. Un ancrage dans l'espace de la feuille de papier, l'espace micro, ne permet pas une bonne articulation avec l'espace méso. Nous remarquons l'importance de développer dans la conscience de l'élève la connaissance « espace » pour développer un vrai sens spatial. Nous allons donc conclure par l'importance de choisir un espace de travail pour la géométrie de l'espace qui soit en continuité avec la géométrie plane: ETG -GII - 2D passant par un ETG - GI - 3D construit de façon à mener plus naturellement et logiquement vers un ETG - GII - 3D. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : Enseignement de mathématiques, Secondaire, Géométrie, Espace de travail.

Cette recherche a pour objectif l'étude du raisonnement proportionnel chez des élèves cris de 2e secondaire confrontés à des situations de proportionnalité. Notre recherche de type exploratoire livre d'abord, dans la problématique, un portrait de plusieurs aspects des mathématiques dans la culture crie et de l'enseignement de cette discipline à la Commission scolaire crie qui gère l'éducation pour la Première Nation crie, depuis sa fondation en 1978. Le cadre théorique, pour sa part, expose les principaux résultats de recherches en didactique des mathématiques portant sur le raisonnement proportionnel. L'expérimentation est effectuée auprès de 12 élèves de 2e secondaire d'une classe française de l'école Willie J. Happyjack Memorial School à Waswanipi, une des neuf communautés cries situées dans le Grand Nord québécois. Au cours de cette expérimentation, sont présentés 13 problèmes de proportionnalité à 5 équipes de 2 ou 3 élèves chacune. Trois variables didactiques ont été retenues pour l'élaboration de ces problèmes: le facteur de présentation (texte, tableau, dessin); le type de rapport entre les données (entier, fractionnaire) ainsi que le nombre de données différentes (4 ou 6 données). L'analyse des productions des élèves est conduite de manière à dégager, pour chacun des problèmes, les calculs numérique et relationnel engagés par chacune des équipes. Sur la base de l'analyse des productions verbales et écrites des élèves, des hypothèses sont formulées quant à l'influence des 3 variables didactiques contrôlées a priori, sur les stratégies déployées pour traiter des problèmes portant sur des thèmes proportionnels. Les résultats de cette étude confortent en grande partie les écrits recensés dans le cadre théorique. En effet, les résultats rendent compte de la variété des calculs relationnels ainsi que de la diversité des calculs numériques (additifs et multiplicatifs) mis en oeuvre par les élèves pour résoudre les problèmes soumis. De plus, ces résultats permettent de préciser les limites de notre recherche tout en élaborant des hypothèses de travail pour des études ultérieures. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : Enseignement secondaire, Mathématique, Proportionnalité, Culture crie.

Ce mémoire relate une recherche qualitative concernant l'utilisation de textes anciens dans l'enseignement du calcul différentiel au niveau collégial. Basée sur des expériences positives associées à ce type d'activités dans le cadre d'un cours d'histoire des mathématiques, cette étude explore les éléments méthodologiques entourant l'utilisation de l'histoire dans l'enseignement des mathématiques. Cette question de la méthodologie d'utilisation reste peu explorée. Dans ce mémoire, nous tenterons d'aller au-delà des expériences pratiques rapportées généralement de façon positive par de nombreuses études et nous nous pencherons plus précisément sur les éléments méthodologiques qui amènent ces expériences intéressantes en classe. Trois questions feront l'objet de ce mémoire. D'abord, est-il possible de recréer ces expériences positives au travers d'une activité de lecture d'un texte ancien en classe en suscitant des réflexions métamathématiques chez l'étudiant pré universitaire dans le cadre du cours de calcul différentiel? Si tel est le cas, jusqu'à quel point ces réflexions peuvent-elles s'avérer profondes? Et surtout, quels éléments particuliers à la lecture de textes et au design de l'activité sont susceptibles de susciter ces réflexions? Une activité de lecture d'un texte a été construite et menée en classe. Elle était suivie d'entrevues individuelles avec une vingtaine d'étudiants. L'analyse de ces entrevues nous aura permis d'observer les nombreuses réflexions métamathématiques qu'a suscitées l'atelier. Entre autres, nous avons noté des réflexions autour de l'historicité des notions abordées, de la rigueur ainsi que de la notation. Cependant, ces réflexions nous sont apparues peu profondes. Les participants nous ont semblé trop peu détachés de la prestation. Certains problèmes d'ordre méthodologique expliquent ce constat. À partir de l'expérimentation, il a été di fficile de déterminer rigoureusement les éléments du design qui ont suscité les réflexions métamathématiques chez les étudiants. Il aurait été intéressant de reprendre l'activité sans la présentation du contexte sociohistorique ou encore sans la phase de lecture. Ce qui nous a amenés à nous questionner sur les liens étroits qu'entretiennent les phases de présentation du contexte sociohistorique et de lecture du texte ancien. Liens qui pourraient faire l'objet d'une étude ultérieure. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : Enseignement, Mathématiques, Lecture, Textes anciens, Calcul différentiel, Méthodologie.

Cette recherche a pour but de décrire et de dégager les stratégies d'enseignement favorisant l'apprentissage d'habiletés de résolution de problèmes mathématiques représentatifs de la vie quotidienne par des élèves ayant des incapacités intellectuelles légères avec des troubles associés. Nous avons conçu et mis à l'essai pendant une période de sept semaines un cadre d'enseignement adapté auprès de quatre sujets en nous appuyant sur une démarche de résolution de problèmes en sept étapes conçue pour les besoins de la présente recherche. Ce cadre d'enseignement adapté préconise l'utilisation de différentes stratégies d'enseignement au cours de douze situations d'enseignement-apprentissage dont la première a permis à l'enseignant de procéder par modelage pour verbaliser devant les élèves la façon d'utiliser une histoire illustrée et un modèle illustré qui décortique en sept étapes les actions à poser pour résoudre le problème de l'histoire illustrée. Au cours des douze situations d'enseignement-apprentissage, l'enseignant a estompé graduellement son soutien en respectant le rythme d'apprentissage de chaque sujet. Le recours à l'étude multicas a permis de comparer le niveau de base et le niveau atteint des quatre sujets. Nous avons également analysé leur progression en cours d'apprentissage en nous penchant plus précisément sur les résultats obtenus lors de la 3e et de la 10e situations d'enseignement-apprentissage portant sur la procédure additive. Un traitement qualitatif a permis de décrire et de dégager les stratégies d'enseignement les plus efficaces pour favoriser une progression des sujets dans leur apprentissage d'habiletés de résolution de problèmes avec une procédure additive. Les résultats de cette recherche suggèrent que le modèle illustré, l'adaptation des situations-problèmes présentées sous forme d'histoires illustrées et l'aide gestuelle combinée à un soutien visuel (modèle illustré ou histoire illustrée) constituent des stratégies pouvant aider ces élèves à progresser dans leur apprentissage de la résolution de problèmes. Ces stratégies semblent davantage prendre en compte les caractéristiques cognitives des quatre sujets ayant des incapacités intellectuelles légères avec des troubles associés. De plus, un enseignement explicite et direct au cours duquel une pratique guidée permet à l'enseignant de faire un choix judicieux de stratégies d'enseignement et de les estomper en fonction des besoins et capacités de chacun des élèves est à préconiser dans ce contexte d'apprentissage. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : Incapacités intellectuelles légères, Résolution de problèmes, Mathématiques, Stratégies d'enseignement, Apprentissage.

Dans ce mémoire, nous tentons de déterminer si l'utilisation de l'histoire dans l'enseignement a la capacité d'humaniser les mathématiques au secondaire. Tout au long de ce mémoire, la préoccupation enseignante est présente. Elle guide plusieurs décisions prises lors de la création et de la réalisation de l'activité. Nous avons créé une activité pour des élèves suivant le cours Mathématique 536. Nous avons expérimenté cette activité dans une classe d'une vingtaine d'élèves. L'activité utilise des textes anciens. Elle porte sur les démonstrations. L'objectif pédagogique est de montrer qu'il y a plusieurs façons de faire. Un questionnaire, plutôt axé sur les mathématiques et portant sur les textes, guide les élèves dans une analyse de ces textes. Un second questionnaire nous permet de collecter des données pour répondre à nos questions. Nous constatons que les textes anciens suscitent la curiosité des élèves. De plus, les élèves trouvent ce type d'activité moins intéressant que ce qu'ils font ordinairement en classe. Cependant, la majorité de ces élèves aimeraient entendre parler davantage des mathématiciens du passé. L'analyse nous a permis de déterminer deux types d'élèves en regard des réponses qu'ils ont données au second questionnaire. À travers leurs réponses, les élèves indiquent des indices d'humanisation, mais aussi des informations sur la perception qu'ils ont des mathématiques. Nous constatons que l'utilisation des textes anciens humanise les mathématiques. Nous ne pouvons déterminer de façon précise les éléments de l'histoire des mathématiques qui intéressent les élèves. Cependant, nous avons pu déterminer deux types d'informations qui ont particulièrement intéressés les élèves lors de l'activité. Une réflexion sur le processus de création et de réalisation de l'activité a permis de garder à l'esprit la préoccupation enseignante. Nous avons constaté qu'il serait difficile pour un enseignant de créer de telles activités. Bien que les activités à caractère historique semblent bénéfiques pour l'enseignement des mathématiques, les enseignants n'ont pas suffisamment de connaissances historiques et de temps pour les créer. Finalement, l'utilisation de l'histoire dans l'enseignement des mathématiques semble propice à l'humanisation des mathématiques. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : humanisation, textes anciens, enseignement des mathématiques au secondaire, démonstration

Dans cette recherche, nous avons pour but d'étudier l'utilisation des représentations par des enseignants pour l'introduction du concept de dérivée. Pour ce faire, nous avons observé deux enseignantes du cours de calcul différentiel au cégep pendant les séances d'introduction de la dérivée. Nous avons ensuite effectué une analyse du point de vue de la théorie des représentations de Duval et des représentations fonctionnelles de diSessa et al., et Hitt. Nous voulons, non seulement, connaître quels types de représentations les deux enseignantes utilisent, mais également de quelles façons elles les gèrent. Nous remarquons une prédominance des registres verbal et algébrique et une présence sporadique du registre graphique. De plus, nous observons un grand nombre d'actions implicites sur les représentations. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : Didactique des mathématiques, calcul différentiel, pratique d'enseignement, représentations.

La combinatoire élémentaire ou le dénombrement évoque pour beaucoup d'élèves de nombreuses expériences négatives, lorsqu'elle est un objet explicite d'enseignement, l'accent étant souvent mis dans cet enseignement sur le recours à des formules de dénombrement que les élèves ne peuvent rattacher à des modèles de situations (Grenier et Payan, 1998). Dans cette recherche nous sommes intéressé à explorer des voies et moyens permettant d'associer des expériences plus positives à la résolution de problèmes combinatoires, et ce dès les premières années du secondaire. Un tel pari apparaît d'autant plus pertinent que plusieurs études soulignent d'une part non seulement des caractéristiques intéressantes des problèmes combinatoires, soit le fait qu'ils n'exigent presque aucun prérequis notionnel de la part des élèves (Kapur, 1970) et qu'ils sont très peu mathématisés (Grenier et Payan, 1998). Elles soulignent également les accomplissements des élèves qui sont capables, lorsque les situations qu'on leur propose sont bien choisies, de développer des heuristiques puissantes, d'inventer des méthodes de justification ou de validation (Maher, Martino et Alston, 1993; Powell et Maher, 2002). Les problèmes combinatoires apparaissent ainsi intéressants à travailler à différents niveaux d'enseignement et se prêtent au développement de plusieurs processus mathématiques tels la mathématisation, la preuve, le raisonnement inductif (Kapur, 1970; Dubois, 1984; Batanero, Godino et Navarro-Pelayo, 1994; Sriraman et English, 2004). C'est à l'un de ces processus, la modélisation que nous nous sommes plus particulièrement attardé, rejoignant en cela d'autres chercheurs comme Grenier et Payan (1998), mais aussi le nouveau programme de mathématiques du premier cycle du secondaire de l'école québécoise (MELS, 2003) dans lequel la modélisation est associée à la compétence à résoudre des situations-problèmes. Dans la perspective théorique particulière que nous retenons sur la modélisation, celle d'une « modélisation émergente » (Gravemeijer, 2007), l'accent est mis sur l'activité informelle des élèves à qui il faut donner l'opportunité de créer des « modèles spontanés » et par la suite de les revisiter, les raffiner et au besoin de les généraliser (Gravemeijer, 1999). L'élaboration d'une approche d'enseignement mettant l'accent sur l'exploitation de problèmes de dénombrement et le développement du processus de modélisation exige toutefois que le chercheur se donne également une perspective particulière pour aborder la conceptualisation de ces scénarios d'enseignement. Plusieurs recherches ont contribué à développer des situations et séquences sur l'exploration de la combinatoire. Dans ce cas, les séquences ont pour l'essentiel été élaborées par les chercheurs, à partir d'analyses didactiques préalables, et ce, pour les apprentissages potentiels qu'elles favorisent chez les élèves (Glaymann et Varga, 1975; Fischbein et Gazit, 1988; Batanero, Godino et Navarro-Pelayo, 1994). Bien sûr, dans le cas de ces différents travaux portant sur la combinatoire et son exploitation, des expérimentations ont été réalisées en classe auprès d'élèves, et des enseignants ont souvent été impliqués dans l'implantation de ces situations. Toutefois, le rôle qu'y jouent ces enseignants demeure limité à ces expérimentations. Leurs visions quant à la manière dont un tel sujet peut se développer et fonctionner en pratique, leurs connaissances, leur savoir d'expérience n'est pas vraiment pris en compte dans la conceptualisation des situations élaborées, qui demeurent donc ici sous l'entière responsabilité des chercheurs. La perspective adoptée par les chercheurs dans ce cas, vis-à-vis de l'enseignant, s'inscrit dans le courant plus global de la recherche en didactique des mathématiques au plan international dans les années 1990 (Hoyles, 1992; Ponte, 1994; Jaworski, sous presse). Cette prise en compte de l'enseignant, de la complexité du travail auquel il fait face dans la pratique, des connaissances qu'il construit -en pratique, est en effet un phénomène relativement récent (Jaworski, sous presse). C'est dans cette dernière perspective que se place notre travail. Pour construire des situations fécondes sur le plan des apprentissages des élèves, mais aussi viables dans les pratiques des enseignants, tenant compte des contraintes et de la complexité de leur pratique, il nous apparaît en effet nécessaire de prendre en compte le point de vue des enseignants, leur savoir d'expérience, leurs connaissances dans la construction même de scénarios visant le développement du processus de modélisation. Nous avons cherché à documenter, de l'intérieur d'une démarche conjointe d'élaboration d'un tel scénario, les apports respectifs du chercheur et de l'enseignant sous l'angle: des problèmes de dénombrement élaborés; du processus de modélisation développé par les élèves en lien avec ces problèmes et leur exploitation; de l'enseignement visant le développement de ce processus. Une recherche collaborative a été menée à cette fin, impliquant le chercheur et un enseignant de mathématique au secondaire qui ont eu à élaborer et expérimenter dans deux classes de secondaire 1 d'une école de la région de Montréal deux scénarios, un premier en novembre 2006 et un second en mai 2007. La démarche de recherche a pris la forme de rencontres réflexives d'élaboration des scénarios et de retour sur les scénarios expérimentés (le dialogue initié lors de ces rencontres se poursuivant sous une forme virtuelle). Le matériau engrangé puis analysé est donc constitué principalement des verbatims des rencontres réflexives de construction des scénarios et de retour sur les scénarios (bilans et récits d'expérimentation). Une analyse par théorisation ancrée (Glaser et Strauss, 1967) nous a permis de dégager de multiples ressources mobilisées par l'enseignant et le chercheur, nous édifiant ainsi sur leur éclairage respectif sur : les problèmes de dénombrement en jeu, le processus de modélisation par les élèves et l'enseignement visant le développement de ce processus. Ces ressources sont de deux sortes: des ressources interprétatives, c'est-à-dire permettant de donner un sens, de proposer une certaine lecture des aspects abordés dans ce travail conjoint d'élaboration de scénarios, et des ressources d'action, c'est-à-dire des ressources prenant la forme de suggestions de manières de faire, de propositions d'aménagement ou d'animation. Ces ressources, interprétatives et d'action, puisent aux cadres de référence du chercheur et de l'enseignant, mais elles montrent une certaine sensibilité théorique et une capacité d'interprétation. Selon le cas, la lecture interprétative de l'enseignant confirme, réfute, nuance ou étend celle du chercheur qui, au demeurant, témoigne d'une certaine sensibilité pratique, sensibilités théorique et pratique n'étant en définitive l'apanage ni de l'un ni de l'autre. Notre étude permet donc d'élargir la notion de ressources interprétatives telle que l'envisage la sociologie de l'expérience qui la définit surtout en termes de ressources argumentatives et critiques permettant aux acteurs de prendre position par rapport aux élaborations, théories proposées par les chercheurs (Dubet, 1994). Dans une telle perspective, le croisement est vu de façon dichotomique, en termes uniquement des accords et des désaccords entre les acteurs et les chercheurs. Entre les deux, l'accord et la réfutation, avons-nous montré, il y a l'espace d'une nuance, d'une extension. Enfin, dans l'optique du développement du processus de modélisation en début secondaire, l'analyse nous a permis de mettre en évidence des caractéristiques que l'on gagnerait à retrouver dans des problèmes combinatoires, d'identifier des routines d'appui et d'échanges à installer puis à maintenir dans la classe et ce pour installer une culture de modélisation (Tanner et Jones, 1994). Ce travail sur la modélisation s'inscrlt dans une pragmatique de la résolution de problèmes questionnant à la fois la prépondérance dans l'enseignement des problèmes d'application et la recherche à tout prix de l'efficacité chez les élèves. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : Ressources, Interprétation, Action, Développement, Modélisation.

La formation en mathématique avancée est beaucoup questionnée par la recherche. Les écrits sur ce type de formation soulignent des retombées divergentes, allant d'effets positifs à des effets négatifs, voire même d'aucun effet dans certains cas, sur les futurs enseignants par rapport à leur pratique de classe. On compte parmi ces retombées des réinvestissements au niveau des contenus, des réinvestissements métamathématiques et aussi des ruptures entre les mathématiques avancées et les mathématiques mobilisées en classe quant à la forme, la nature et la façon d'enseigner les mathématiques. Ma recherche offre des éclaircissements sur ces questions de formation mathématique des enseignants du secondaire par une entrée que j'ai appelée « la voix du formé ». En allant questionner directement les futurs enseignants vivant cette formation en mathématiques avancées, je veux ajouter aux écrits actuels des chercheurs et formateurs concernant la préparation mathématique des enseignants. Ma recherche prend la forme d'une étude multicas où sept futurs enseignants ont participé à des entrevues semi-structurées. Lors des entrevues, les futurs enseignants ont partagé leurs expériences en mathématiques avancées et ils se sont questionnés sur des tâches reliées à l'enseignement des mathématiques au secondaire, qui ont stimulé chez eux une réflexion supplémentaire à l'égard de leur formation. Mon étude apporte beaucoup à la réflexion récente déclenchée en recherche et en formation sur la question de la formation mathématique des enseignants de mathématiques au secondaire, tout particulièrement sur la formation mathématique par les cours en mathématiques avancées. Avec une entrée par l'expérience, ceux-là mêmes qui vivent cette formation, mes résultats de recherche bonifient les réinvestissements et les ruptures soulevés en recherche en les exemplifiant, en les précisant et en les nuançant. Les futurs enseignants de mon étude dévoilent aussi de nouvelles dimensions, comme l'impact sur leur confiance et leur identité mathématique. Finalement, mon étude montre que la question de la formation mathématique des enseignants du secondaire demeure une question complexe, qui ne peut pas être traitée de façon simpliste par des réponses tranchées. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : formation mathématique, mathématiques avancées, futur enseignant, réinvestissements, ruptures.

Comme enseignante au secondaire, j'ai toujours attaché de l'importance à la compréhension des concepts abstraits et au sens que l'élève peut donner à ce qu'il apprend. J'ai voulu aller explorer la factorisation en algèbre, car elle cause souvent des difficultés chez les élèves. Une avenue intéressante pour l'enseignement de la factorisation est, selon moi, l'utilisation de représentations visuelles, comme la méthode du rectangle. Cette méthode permet de représenter l'expression à factoriser comme des aires de rectangles dont il faut trouver les mesures des côtés. En effet, dans l'Histoire, plusieurs mathématiciens ont utilisé des représentations visuelles pour factoriser des expressions algébriques. Les recherches sur le sujet m'ont amenée à distinguer cinq habiletés à développer autour de la factorisation : l'habileté à savoir reconnaître la forme de factorisation à utiliser selon l'expression algébrique, l'habileté à reconnaître des formes équivalentes, à reconnaître des formes qui ne se factorisent pas, à représenter visuellement une expression algébrique et à faire le lien entre la démarche algébrique et la représentation visuelle. De plus, ces recherches soulignent l'importance du rôle de l'enseignant. Je fais donc une étude de cas auprès d'une enseignante qui intègre des activités sur la factorisation construites par la chercheure et utilisant les représentations visuelles. Pour mieux comprendre comment l'enseignante s'approprie les représentations et les utilise pour développer des habiletés importantes chez ses élèves, je vais me concentrer pour l'analyse sur quelques composantes de l'intervention éducative : la composante épistémologique, didactique/cognitive et double dimension médiatrice/médiative. Les résultats principaux de cette étude montrent que l'enseignante s'approprie les représentations visuelles dès le premier cours. Elle les utilise à différents moments qui n'étaient pas prévus dans les discussions avec la chercheure, ce qui amène à distinguer trois rôles pour les représentations visuelles : donner du sens, contrer des erreurs et servir de réinvestissement à long terme. Un autre résultat important tourne autour des habiletés liées à la factorisation. L'expérimentation permet de mieux saisir ces habiletés. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : Factorisation, représentation visuelle, pratique enseignante