Neste trabalho discutimos a inserção de tópicos básicos de Programação Linear em duas variáveis no ensino médio e apresentamos os resultados da aplicação de uma sequência didática abordando este tema. A aplicação da sequência foi realizada ao longo de oito encontros semanais no Centro de Ensino Médio Pastor Dohms – Unidade Camaquã – na modalidade de oficinas no turno inverso às aulas. Nossa sequência didática priorizou atividades que objetivaram levar os alunos a interpretar resultados e estabelecer conjecturas em detrimento à resolução mecanizada de exercícios. Elaboramos, para a aplicação da sequência, cinco problemas e através deles, desenvolvemos toda a teoria necessária para o entendimento e resolução das atividades. Usamos o software GeoGebra como meio facilitador para que os alunos conjecturassem sobre o teorema básico da Programação Linear. A elaboração e as análises dos resultados da aplicação da sequência didática basearam-se na Teoria de Registros de Representação Semióticas, de Raymond Duval, que trata dos aspectos cognitivos relacionados às representações semióticas e à aquisição de conhecimentos matemáticos. A coleta de dados foi feita através de anotações, filmagens dos encontros e do material produzido pelos alunos durante as aulas. Ao final, da pesquisa concluímos que a abordagem do conteúdo Programação Linear na educação básica pode dar significado a conteúdos que, para os estudantes parecem desconexos, além de aumentar o espectro de problemas passíveis de resolução pelos alunos do ensino médio. / In this paper we discuss the integration of basic topics of Linear Programming in two variables in to high school and we present the results of applying a sequence of didactic addressing this theme. The Mathematics application of the sequence was accomplished with eight weekly meetings at the Pastor Dohms High School in Camaquã, in workshops dummy the opposite shift. Our didactic sequence prioritized activities that were designed to take the student to interpret results, and not merely through mechanic exercises. To apply the sequence, we developed five exercises and through them develop all necessary theory for solving the problems. We used the GeoGebra software to facilitate the learning of the basic linear programming theorem. This program was based on the theory of representation registers due to Raymond Duval the addresses he cognitive aspects of knowledge acquisition. The data was collected from notes, filmed meetings and work produced by students in class. At the end of the study conclude that the linear programming approach of content in basic education can give meaning to the contents that seem unconnected to students in addition to increasing the range of problems solvable by students.

Esta pesquisa, de natureza qualitativa teve por objetivos: a identificação e classificação de livros de leitura destinados a crianças da Educação Infantil, entre quatro e seis anos, em que a matemática se fizesse presente, e o planejamento, aplicação e análise de sequências de atividades relativas a alguns dos livros mapeados. A pesquisa se deu em dois momentos: o mapeamento e categorização das obras, e a aplicação de atividades com uma turma de alunos da faixa etária determinada, e posterior análise. Através de visitas a livrarias, bibliotecas, acervos e lojas virtuais foram identificadas 347 obras. As categorias de análise das mesmas foram definidas e denominadas com base nos aspectos comuns que os livros apresentaram. O principal aspecto foi relativo à narrativa que constitui as obras. Foram quatro categorias identificadas: livros de Atividade, livros Ficha, livros Paradidáticos e livros de Leitura Literária. A categoria com maior número de obras é a dos livros Paradidáticos, seguida dos livros Ficha, livros de Atividade e livros de Leitura Literária. Em relação aos conteúdos, percebe-se que são mais variados nos livros de Leitura Literária e Paradidáticos. O que diferencia os livros Paradidáticos e de Histórias é o objetivo de ensinar determinado conteúdo, característico de livros paradidáticos. Para o segundo momento da pesquisa, foi escolhida a turma de Pré B de uma escola municipal de Ivoti/RS, da qual a pesquisadora era também professora titular. A turma era composta de 25 crianças, com quatro a seis anos completos, no período de outubro e novembro de 2015. Foram explorados sete livros. Entre as atividades relativas a cada livro, sempre houve um momento destinado à contação da história pela pesquisadora. As demais atividades envolveram diálogos, brincadeiras, jogos, atividades de registro, exercícios, explorações do espaço fora da sala de aula, explorações de figuras em meio digital, uso de massa de modelar, colagens, canções. Como produto desta pesquisa, foi elaborado um catálogo das obras, separadas por categoria, contendo título, capa, autoria e conteúdos matemáticos, finalizado com as sequências de atividades planejadas para a exploração dos sete livros escolhidos para o segundo momento do trabalho. Do conjunto das análises das categorias de livros e das vivências com as crianças, foi possível afirmar que as conexões entre matemática e literatura são possíveis, e se constituem de diferentes maneiras. Percebeu-se que os livros Ficha, ainda que tenham importância para leitores iniciantes, nem sempre serão atrativos para esta faixa etária. Quando o são, a criança sente a necessidade do toque, de explorar seus recursos de interação. Os livros Paradidáticos são muito variados na forma como articulam a narrativa e o conteúdo. Quando os conceitos e procedimentos se sobrepõem à história, que fica como pano de fundo, as crianças não se envolvem tanto; são menos intensas as discussões. Os livros de Leitura Literária apresentam possibilidades de trabalhar os conteúdos, mesmo que não seja este o foco principal de quem o escreveu. Deste modo, permitem tratar de aspectos mais densos, que estão na base dos conceitos e procedimentos matemáticos. A articulação das imagens com as narrativas, sendo fonte para leitura dos alunos ou para surpresas e problematizações, fomentou de modo significativo as discussões e a construção dos conceitos matemáticos. A análise dos livros atenta para a necessidade de investirmos em pesquisas sobre as representações geométricas, especialmente na relação entre o bidimensional e o tridimensional. A possibilidade de viver experiências matemáticas e o desenvolvimento articulado da linguagem e de conceitos matemáticos foram resultados das conexões entre matemática e literatura infantil. / This qualitative research aimed to: identify and classify literature books intended to Child Education children aged 4 to 6, where mathematics is present, and prepare, apply and analyze activities sequences related to some of the mapped books. The research has happened in two moments: literary work‘s survey and categorization and the activities‘ application in a class with students on the determined age-group and further analysis. By visiting bookstores, libraries, collections and online stores it was identified 347 works. The analysis categories of the works were defined and named based on common aspects the books has showed. The main aspect was related to the narrative that formed the works. It was identified four categories: Activities books, Ficha books, Para-didactic books, and Literary Reading books. The category with the most number of works is the Para-didactic books, followed by Ficha books, Activities books and Literary Reading books. In relation to contents, it is noticed that they are more varied on Literary Reading books and Para-didactic books. What distinguishes Para-didactic and Literary Reading books is the aim of teaching a specific content, characteristic of para-didactic books. For the second part of the research, it was chosen a preschool class of a local school in Ivoti/RS, of which the researcher was also the class teacher. The class was formed by 25 children, aged 4 to 6, between October and November, 2015. It was explored seven books. Among activities related to each book, there always was a moment destined to the story telling by the researcher. The other activities involved conversations, plays, games, recording activities, exercises, exploring outside the classroom, exploring images online, using play dough, collages, songs. As a result of this research, it was made a catalogue of works, divided by category, containing title, book cover, author, year of publication, and mathematics contents, ending with the sequences of prepared activities to explore the seven chosen book for the second part of the research. By the range of analyses of book categories and children experiences, it was possible to state that links between mathematics and literature are possible, and are formed in different ways. It was noticed that Ficha books, although they are important to beginner readers, they are not always interesting to this age-group. When they are, the child need to touch and to explore its interaction resources. Para-didactic book are very diverse in its way to organize narrative and contents. When concepts and procedures outstand the story, which stay in the background, children don‘t get so involved; they are less intense in discussions. The Literary Reading books show possibilities to work the contents, even though this is not the main goal of who wrote it. In this way, it is possible to discuss deeper subjects, that are on the base of mathematical concepts and procedures. The link between images and narratives, being source to students reading or to surprises and questions, instigate the discussion and form of mathematical concepts on a significant way. The books‘ analysis points out the need of investments in researches about geometrical representations, especially on the relation between two-dimensional and three-dimensional. The possibility of living mathematical experiences and the organized development of language and mathematical concepts were results of links between mathematics and children‘s literature.

Da investigação de um grupo de alunos do ensino médio de uma escola pública no município de Porto Alegre, RS, procuramos identificar e analisar zonas de interesse e práticas sociais que pudessem dar início a uma atividade de ensino de Matemática. Do interesse/necessidade demonstrados em relação aos projetos pessoais de futuro, especialmente a orientação profissional, elaboramos uma sequência e um experimento reduzido de ensino nesta direção, respeitando o programa da escola. Utilizamos, tanto na sequência quanto no experimento, mecanismos virtuais, que são construções da geometria dinâmica, e poderiam ser objeto de interesse dentro de algumas profissões escolhidas pelo grupo de alunos. As atividades desenvolvidas demonstraram ser propicias ao estudo de conceitos da Matemática escolar e para a transformação dos esquemas usuais de assimilação utilizados, pelos alunos, nas aulas de Matemática. / The investigation of a group of high school students in a public school in the city of Porto Alegre, RS, sought to identify and analyze areas of interest and social practices that could initiate an activity for teaching math. Of interest / need demonstrated in relation to personal projects in the future, especially the professional guidance, we developed a teaching sequence and a reduced teaching experiment in this direction, respecting the school program. We use both in the teaching sequence as in the experiment reduced teaching, virtual appliances, which are constructions of dynamic geometry, which could be the object of interest within some professions chosen by the student group. The activities proved to be conducive to the study of concepts of mathematics and for transforming the usual schemes of assimilation used by students in mathematics classes.

O objetivo deste trabalho foi desenvolver tópicos de Física no contexto das aulas de Matemática no Ensino Fundamental com alunos de quinta a oitava série, em escolas públicas, sem prejuízo do ensino dos conteúdos de Matemática. Os temas abordados incluíram astronomia, cinemática, e termodinâmica. A metodologia e o material foram desenvolvidos à luz da teoria dos campos conceituais de Vergnaud em conjunto com a teoria da mediação de Vygotsky, desenvolvendo conceitos físicos, tornando as aulas mais atraentes e qualificando o entendimento da Física. Cada atividade foi composta por um pré-teste, um pós-teste, alguns textos de apoio ao professor e guia de atividades práticas. Aos alunos da quinta série foi apresentado um projeto para a construção de algumas maquetes que representassem alguns astros e ilustrassem alguns fenômenos do sistema solar. A cinemática foi trabalhada junto aos alunos de sexta e sétima séries com problemas relacionados e construção de simulações com o software Modellus. Termodinâmica foi abordada com os alunos da oitava série através de experimentos como a construção de um aquecedor solar. O material produzido consiste em um volume de textos de apoio ao professor. / The aim of this study was to introduce physics concepts in the context of mathematics classes in elementary school for students from fifth to eighth grades in parallel to mathematics topics, in public schools. The physics topics included astronomy, kinematics and thermodynamics. The methodology and materials were developed in the light of the theory of conceptual fields of Vergnaud and Vygotsky's theory of mediation. Each activity consisted of a simple test before and after the experimental activity which was developed based on a brief overview provided by the teacher and a guide specific for each activity. The fifth graders were presented to a project for the construction of some models that represent stars and illustrate some phenomena of the solar system. The kinematics was discussed with students in sixth and seventh grades based on construction-related problems with simulations using the software Modellus. Thermodynamics was discussed with the eighth grade students through experiments such as building a solar heater. The material produced in this work is presented as texts for teacher support.

O presente trabalho teve como objetivo analisar se uma estratégia de ensino baseada em situações-problema contribui para a aprendizagem da Análise Combinatória pelos alunos da Educação de Jovens e Adultos. A sequência de ensino elaborada e implementada procurou abordar atividades que evocassem o cotidiano dos alunos e não dependessem de fórmulas previamente estudadas. A ordem em que as atividades foram propostas visou a formalização do princípio multiplicativo, como recurso a ser utilizado na resolução de problemas de contagem. A pesquisa foi desenvolvida sob a ótica de um estudo de caso, junto a uma turma de alunos dos cursos PROEJA Agroindústria e PROEJA Informática do Instituto Federal Farroupilha – Campus Alegrete, e teve como aportes teóricos a teoria do desenvolvimento cognitivo de Piaget e a teoria dos campos conceituais de Vergnaud, os quais nos forneceram subsídios para a compreensão do desenvolvimento do raciocínio combinatório e, das dificuldades apresentadas pelos alunos. O trabalho mostrou que é possível a aprendizagem de conteúdos de Análise Combinatória pelos alunos do PROEJA, através da implementação de uma sequência de ensino baseada na resolução de problemas, frente aos quais os alunos construíram diferentes estratégias de resolução que favoreceram o desenvolvimento do seu raciocínio combinatório. / The present research aimed at analyzing to what extent a teaching strategy based on contextualized problems contributes to the learning of the Combinatorial Analysis by students from Education for Young Adults and Adults (Educação de Jovens e Adultos – EJA). The teaching sequence developed and implemented comprehended activities which evoked students’ everyday life and were not dependent on previously studied formulas. The order in which the activities were proposed aimed the formalization of the multiplication principle as a resource to be used in the resolution of counting problems. The research was developed based on a case study, in a class of the National Program for integrating the Professional Education with Basic Education in the Education for Young Adults and Adults (Programa Nacional de Integração da Educação Profissional com a Educação Básica na modalidade de Educação de Jovens e Adultos – PROEJA) from the Food Technology course and the Information technology course of the Farroupilha Federal Institute in the Campus Alegrete and had as theoretical basis the theory of cognitive development by Piaget and the theory of conceptual fields by Vergnaud, which offer groundings for understanding the development of combinatorial thinking and the difficulties presented by the students. This analysis showed that learning of Combinatorial Analysis is possible for the PROEJA students, through the implementation of a teaching sequence based on the resolution of problems, against which the students built different resolution strategies favoring the development of their combinatorial thinking.

Este trabalho apresenta uma proposta desenvolvida em uma escola da Rede Municipal de Ensino de Porto Alegre que faz uso do recurso LEGO® nas aulas de matemática. O texto busca responder às seguintes perguntas: É possível utilizar a robótica educacional (LEGO® Mindstorms®) como recurso de ensino de Matemática nos anos finais do Ensino Fundamental? Como? Utilizou-se o estudo de caso como metodologia de pesquisa. As atividades visando a integração dos conceitos matemáticos e a robótica educacional foram elaboradas e implementadas à luz das teorias de Seymour Papert e Gèrard Vergnaud. O ambiente de aprendizagem e a Teoria dos Campos Conceituais também forneceram suporte para a análise dos dados. São mencionadas outras pesquisas referentes ao tema Robótica Educacional e suas contribuições para o atual trabalho. Como resultados observou-se um maior envolvimento dos estudantes nos estudos de matemática e robótica, a aceitação do erro como uma estratégia na busca de soluções de problemas de matemática e robótica e o desenvolvimento de estratégias para organizar-se em grupos de trabalho. / This dissertation presents a proposal developed in a school from Rede Municipal de Ensino de Porto Alegre that makes use of LEGO® in math classes. The text tries to answer the following questions: Is it possible to utilize the educational robotic (LEGO® Mindstorms®) as a resource for teaching Mathematics in the final years of elementary school? How? It was utilized the study of case as a research methodology. The activities targeting the integration of mathematics concepts and educational robotic were elaborated and implemented in lights of Seymour Papert’s and Gèrard Vergnaud’s theory. The learning environment and the Conceptual Fields Theory also provided support for the analysis of the data. Other researches relative to the Educational Robotic theme are mentioned and their contribution to the actual dissertation. As results could be observed a greater involvement of students in the studies of mathematics and robotic, the acceptation of the error as a strategy to find the solutions of mathematic and robotic problems, the development of strategies to organize groups of work.

Este trabalho busca, num primeiro momento, caracterizar a problemática aprendizagem do número real na Escola Básica, aplicando questionários-sondagem, analisando livros didáticos e comparando-os com os Parâmetros Curriculares Nacionais. Num segundo momento desenvolvemos um efetivo estudo de Matemática: as maneiras mais comuns de se construir números reais e a equivalência entre todas elas. Mostramos também como, a partir de cada uma destas abordagens, chega-se à representação decimal de um número real positivo. Finalizamos com uma proposta pedagógica para o Ensino Fundamental, e uma experiência didática, numa 8ª série, de construção de um número real via medição exata de segmentos de reta. / The first part of this work is an attempt to characterize the problem of learning the concept of real number in Elementary School, making use of questionnaires and analyzing school books as well as the National Parameters for the teaching of Mathematics. The second part deals with the Mathematics involved in the construction of the real numbers, namely, different ways of constructing this set and also the equivalence between all those constructions. We also show how each one of those constructions leads to the decimal representation of a positive real number. The last part of this work consists of a pedagogic proposal for the construction of the real number making use of the (exact) measure of a line segment and the description and conclusions of its implementation in an 8th year of Elementary School.

Nesta dissertação destacamos nossa preocupação com o ensino e aprendizagem da álgebra elementar, sempre muito presente em nossa prática docente. Nosso principal objetivo foi a elaboração, implementação e validação de uma proposta didática para o desenvolvimento de um ensino que promovesse a compreensão das operações básicas com expressões algébricas no Ensino Fundamental. De acordo com os referenciais teóricos utilizados buscamos construir uma proposta que contemplasse a produção de significados para a atividade algébrica em um ambiente de aprendizagem cooperativa, fazendo uso de representações múltiplas e de materiais manipulativos juntamente com a resolução de situações-problema. A implementação da proposta foi desenvolvida em duas fases: a primeira, enfocando o uso das letras em álgebra e a segunda voltada para a produção de significados para as operações com expressões algébricas. Apresentamos o resultado da investigação realizada com um grupo de alunos do segundo ano do terceiro ciclo (equivalente à 7ª série) do Ensino Fundamental numa escola da Rede Municipal de Ensino de Porto Alegre. Este estudo mostrou que a proposta implementada contribuiu para o aprimoramento do pensamento algébrico dos alunos que produziram significados para as operações realizadas com expressões algébricas, adquiriram desenvoltura no uso das letras e compreenderam algumas propriedades algébricas, dentre elas a comutatividade da multiplicação e a distributividade da multiplicação em relação à adição, além de estabelecerem condições para a realização da adição e subtração entre expressões algébricas. Notamos, ainda, o progresso dos alunos quanto à autonomia presente nos processos de observação, levantamento de hipóteses, elaboração de conclusões e de justificações. Concluímos, destacando a relevância desta pesquisa no âmbito do trabalho do professor, relacionada à construção de uma atitude de busca de compreensão dos processos de aprendizagem de seus alunos. / This work emphasizes the concern about teaching and learning elementary algebra. The main purpose was the elaboration, implementation and legalization of a didatic proposal having in mind a teaching development that would promote the understanding of basic expressions with algebraic operations in the Elementary School. Based on the chosen theoretical references forementioned, we intended to motivate students to learn algebra in a cooperative directed way through the use of multiple representative allusions with a wide deversity of symbolic, visual and material resources. This proposal implementation was developed in two phases: First it emphasized the algebra letter usage and second the significance production related to algebraic expressions. The accomplished investigation result was presented with a first grade group of students in a county school. This investigation showed that the implemented proposal improved the students algebraic thinking, also they started giving significance to the accomplished operation with algebraic expressions and acquired agility in using letters and understanding some of the algebraic properties including commutation in multiplication and distributions related to multiplication and additions besides establishing conditions to elaborate addition and subtraction among algebraic expressions. It was also noticed the students progress concerning the observation process, hipothesis, propositions, feeling of accomplisments and justifications autonomy. This research took into account the teacher’s work considering the construction of an inquisitive searching attitude and a comprehensive understanding.

Apresentamos um projeto pedagógico interdisciplinar aplicado a um curso técnico em eletrônica. A parte central deste projeto consistiu na elaboração de um texto didático que apresenta tópicos de matemática com muitas aplicações na eletrônica básica. O objetivo principal deste texto é não só apoiar o trabalho do professor em sala de aula, mas também ser usado como bibliografia de consulta individual no decorrer da formação técnica. A elaboração desse texto envolveu várias etapas, entre elas destacamos uma sondagem realizada para melhor conhecer o perfil do público-alvo. O projeto pedagógico foi aplicado em uma turma piloto e seus resultados mostraram-se francamente positivos. / We present an interdisciplinary pedagogical project applied in a technical electronics course. The central part of this project consists of a didactic text matching mathematical topics for beginning electronics students. Its principal aim is to aid the class work, but it is conceived in such a way that it could be used by the student during further technical courses. The total project involves many stages. Between them, we mention the student profile study and the selection of electronics examples. This pedagogical project was applied in a pilot population made of 27 students and the results are very favorable

O conceito de taxa de variação é muito útil no estudo das funções reais de uma variável real e, por ser elementar, pode ser apresentado e discutido no Ensino Médio. A proposta deste trabalho é fazer um estudo detalhado e criterioso do uso da taxa de variação no estudo das funções afins, quadráticas e cúbicas. Com isso, pretende-se desenvolver resultados e apresentar diversas aplicações deste conceito a estas classes de funções que incluem, por exemplo, novas formas de obtenção dos seus gráficos, a interpretação geométrica de seus coeficientes, bem como resolver problemas simples e interessantes de otimização. Quanto às funções quadráticas, como aplicação do estudo feito sobre estas funções, apresentamos uma maneira matematicamente rigorosa de conceituar o Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (MRUV), bem como, obtemos as equações horárias deste movimento. A definição que apresentamos é equivalente a usual, mas não faz uso dos Cálculos Infinitesimal e Integral. Como nosso objetivo é eminentemente matemático, não apresentamos qualquer interpretação Física deste conceito na forma que o introduzimos. Já o estudo das funções cúbicas pode ser visto como uma interessante aplicação das funções quadráticas, uma vez que, através do uso das taxas de variação, a descrição (traçado do gráfico) de uma função cúbica é reduzida ao estudo do sinal de uma função quadrática associada. / The concept of rate of change is very useful in the study of real functions of one real variable. Since this is a simple concept it can be presented and discussed in high school. The purpose of this work is to make a comprehensive study use of the rate of change in the study of the affine, quadratic and cubic functions. We prove results and present several applications of this concept to these classes of functions that include, for example, new ways of obtaining their graphs, geometric interpretation of their coefficients, and the solution of simple and interesting optimization problems. As for the quadratic functions, as an application of our study about these functions, we obtain in a mathematically rigorous definition of Uniformly Varied Rectilinear Motion and obtain the equations of the motion without using the Infinitesimal or Integral Calculus. Since we were essentially concerned with the mathematical aspect of this phenomenon, we did not present a discussion about the physical interpretation of our definition. The study of cubic functions can be seen as an interesting application of the quadratic functions, since through the use of rate changing, the description of the graph of a cubic function is reduced to the study of the sign of a quadratic function associated to the given cubic.