Recentemente, uma quantidade de informação/computação quântica chamada complexidade computacional tem adquirido mais e mais importância no estudo de buracos negros.Resumidamente, complexidade mede a dificuldade de alguma tarefa. No contexto de mecânica quântica (ou mesmo para estados em uma CFT), qualquer estado tem uma complexidade associada, uma vez que o processo de preparar algum estado, usando operações unitárias, é uma tarefa por sí só. Propostas holográficas para o cálculo de complexidade tem sido desenvolvidas nos anos recentes. Há duas delas que estão mais desenvolvidas: as conjecturas complexidade=volume e complexidade=ação. No contexto da correspondência AdS/CFT é sabido que o buraco negro de Schwarzschild em AdS é dual à um estado térmico que descreve duas CFTs emaranhadas. Para esse caso em específico, a conjectura complexidade=volume iguala a complexidade do estado que descreve esse par de CFTs emaranhadas com o volume da máxima superfície de codimensão um no espaço-tempo dual. Por outro lado, a conjectura complexidade=ação iguala a complexidade da borda com a ação gravitacional calculada sobre uma região do espaço-tempo conhecida como Wheeler-DeWitt patch. O objetivo dessa tese é proporcionar os requisitos necessários para entender as conjecturas relacionadas com complexidade, monstrando alguns resultados importantes proporcionados pelos cálculos holográficos no lado gravitacional. / In recent years, a quantity from quantum information/computation called computational complexity has been acquiring more and more importance in the study of black holes. Briefly, complexity measures the hardness of some task. In the context of quantum mechanics (or even for states in a CFT), any state has an associated complexity, once the process of to preparing some state, using unitary operations, is a task by itself. Holographic proposals for the computation of complexity have been developed in recent years. There are two of them that are more developed: the complexity=volume and complexity=action conjectures. In the context of the AdS/CFT correspondence, it is known that the two sided AdS-Schwarzschild black hole is dual to some thermal state that describes two entangled CFTs. For this specific case, the complexity=volume conjecture equates the complexity of the state that describes this pair of entangled CFTs with the volume of the maximal codimension-one surface in the dual space-time. On the other hand, the complexity=action conjecture equates the boundary complexity with the gravitational action evaluated on a region of space-time known as the Wheeler-DeWitt patch. The goal of this thesis is to provide the necessary requisites to understand the conjectures related to complexity, showing some important results provided by holographic computations on the gravitational side.

Recentemente, uma quantidade de informação/computação quântica chamada complexidade computacional tem adquirido mais e mais importância no estudo de buracos negros.Resumidamente, complexidade mede a dificuldade de alguma tarefa. No contexto de mecânica quântica (ou mesmo para estados em uma CFT), qualquer estado tem uma complexidade associada, uma vez que o processo de preparar algum estado, usando operações unitárias, é uma tarefa por sí só. Propostas holográficas para o cálculo de complexidade tem sido desenvolvidas nos anos recentes. Há duas delas que estão mais desenvolvidas: as conjecturas complexidade=volume e complexidade=ação. No contexto da correspondência AdS/CFT é sabido que o buraco negro de Schwarzschild em AdS é dual à um estado térmico que descreve duas CFTs emaranhadas. Para esse caso em específico, a conjectura complexidade=volume iguala a complexidade do estado que descreve esse par de CFTs emaranhadas com o volume da máxima superfície de codimensão um no espaço-tempo dual. Por outro lado, a conjectura complexidade=ação iguala a complexidade da borda com a ação gravitacional calculada sobre uma região do espaço-tempo conhecida como Wheeler-DeWitt patch. O objetivo dessa tese é proporcionar os requisitos necessários para entender as conjecturas relacionadas com complexidade, monstrando alguns resultados importantes proporcionados pelos cálculos holográficos no lado gravitacional. / In recent years, a quantity from quantum information/computation called computational complexity has been acquiring more and more importance in the study of black holes. Briefly, complexity measures the hardness of some task. In the context of quantum mechanics (or even for states in a CFT), any state has an associated complexity, once the process of to preparing some state, using unitary operations, is a task by itself. Holographic proposals for the computation of complexity have been developed in recent years. There are two of them that are more developed: the complexity=volume and complexity=action conjectures. In the context of the AdS/CFT correspondence, it is known that the two sided AdS-Schwarzschild black hole is dual to some thermal state that describes two entangled CFTs. For this specific case, the complexity=volume conjecture equates the complexity of the state that describes this pair of entangled CFTs with the volume of the maximal codimension-one surface in the dual space-time. On the other hand, the complexity=action conjecture equates the boundary complexity with the gravitational action evaluated on a region of space-time known as the Wheeler-DeWitt patch. The goal of this thesis is to provide the necessary requisites to understand the conjectures related to complexity, showing some important results provided by holographic computations on the gravitational side.

As ideias fundamentais sobre entropia de emaranhamento e fluxos de renormalização são expostas, assim como uma introdução a CFTs e sua ligacão com a estrutura do espaco de parâmetros. A anomalia de traço é calculada em uma abordagem semi-clássica usando o método de heat kernel\" e regularização por função zeta . Mostramos que os coeficientes de Seeley-DeWitt são responsáveis pela quebra de simetria conforme em um espaço-tempo curvo de dimensão par, com isso alcançamos uma definição geométrica para as cargas centrais. A inexistência de anomalias no caso de dimensões ímpares também e mostrado. O C-theorem\", que prova a monotonicidade das cargas centrais sob o fluxo de renormalização, é demonstrado como feito por Zamolodchikov por meio de uma abordagem euclideana assumindo unitariedade, positividade por reflexão e condições de renormalizabilidade. A análise feita por Cardy também e demonstrada, nela considera-se os mesmos ingredientes. Por fim, a prova tecida por Casini & Huerta é demonstrada com detalhes, essa prova utiliza das propriedades de strong subadditivity da entropia de emaranhamento, unitariedade e invariância sob o grupo de Poincaré. Com isso, uma conexão com informação quântica é feita naturalmente. No último capítulo generalizamos o conceito de carga central para dimensões ímpares as definindo como o termo universal na entropia de emarahamento de uma esfera. As considerações geométricas feitas para provar o C-theorem\" são estendidas para um espaço-tempo de Minkowski com três dimensões. Como consequência temos a prova do F-theorem\" que é o analogo em três dimensões do C-theorem\". / The fundamental ideas of entanglement entropy and RG flows are laid out, as well as the basics of CFTs and its connection to the framework of RG flows. The trace anomaly is calculated in a semi-classical fashion by using the heat kernel method and zeta-function regularization. It is shown that the Seeley-DeWitt coefficients are responsible for the breaking of conformal symmetry in a curved even-dimensional background, which also achieves a geometrical definition of a central charge. The absence of anomalies in odd space-time dimensions is also contemplated. The C-theorem, which proves the monotonicity of the two dimensional central charge under RG flows, is demonstrated as first done by Zamolodchikov in an euclidean approach assuming unitarity, reflection positivity, and renormalizability conditions. Cardy\'s analysis is also demonstrated by considering the same conditions as Zamolodchikovs . And at last the proof via entanglement entropy by Casini & Huerta which relies on the strong subadditivity property of EE, unitarity and Poincaré invariance is explained in detail, providing a quantum information approach to the problem. In the last chapter a generalization of central charges to odd dimensional space-times is given through the universal term of the EE of a sphere. We provide the extension of the geometrical setup considered in the proof of the C-theorem to a three dimensional Minkowski space-time, which ultimately yields the F-theorem, constituting the three dimensional analog of the C-theorem.

As ideias fundamentais sobre entropia de emaranhamento e fluxos de renormalização são expostas, assim como uma introdução a CFTs e sua ligacão com a estrutura do espaco de parâmetros. A anomalia de traço é calculada em uma abordagem semi-clássica usando o método de heat kernel\" e regularização por função zeta . Mostramos que os coeficientes de Seeley-DeWitt são responsáveis pela quebra de simetria conforme em um espaço-tempo curvo de dimensão par, com isso alcançamos uma definição geométrica para as cargas centrais. A inexistência de anomalias no caso de dimensões ímpares também e mostrado. O C-theorem\", que prova a monotonicidade das cargas centrais sob o fluxo de renormalização, é demonstrado como feito por Zamolodchikov por meio de uma abordagem euclideana assumindo unitariedade, positividade por reflexão e condições de renormalizabilidade. A análise feita por Cardy também e demonstrada, nela considera-se os mesmos ingredientes. Por fim, a prova tecida por Casini & Huerta é demonstrada com detalhes, essa prova utiliza das propriedades de strong subadditivity da entropia de emaranhamento, unitariedade e invariância sob o grupo de Poincaré. Com isso, uma conexão com informação quântica é feita naturalmente. No último capítulo generalizamos o conceito de carga central para dimensões ímpares as definindo como o termo universal na entropia de emarahamento de uma esfera. As considerações geométricas feitas para provar o C-theorem\" são estendidas para um espaço-tempo de Minkowski com três dimensões. Como consequência temos a prova do F-theorem\" que é o analogo em três dimensões do C-theorem\". / The fundamental ideas of entanglement entropy and RG flows are laid out, as well as the basics of CFTs and its connection to the framework of RG flows. The trace anomaly is calculated in a semi-classical fashion by using the heat kernel method and zeta-function regularization. It is shown that the Seeley-DeWitt coefficients are responsible for the breaking of conformal symmetry in a curved even-dimensional background, which also achieves a geometrical definition of a central charge. The absence of anomalies in odd space-time dimensions is also contemplated. The C-theorem, which proves the monotonicity of the two dimensional central charge under RG flows, is demonstrated as first done by Zamolodchikov in an euclidean approach assuming unitarity, reflection positivity, and renormalizability conditions. Cardy\'s analysis is also demonstrated by considering the same conditions as Zamolodchikovs . And at last the proof via entanglement entropy by Casini & Huerta which relies on the strong subadditivity property of EE, unitarity and Poincaré invariance is explained in detail, providing a quantum information approach to the problem. In the last chapter a generalization of central charges to odd dimensional space-times is given through the universal term of the EE of a sphere. We provide the extension of the geometrical setup considered in the proof of the C-theorem to a three dimensional Minkowski space-time, which ultimately yields the F-theorem, constituting the three dimensional analog of the C-theorem.

Orientador: Ricardo Luís Doretto / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Física Gleb Wataghin / Made available in DSpace on 2018-09-03T02:41:35Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Leite_LeonardoDaSilvaGarcia_M.pdf: 1468749 bytes, checksum: 2f4e22a34c4a72b7b68eec6673285298 (MD5) Previous issue date: 2017 / Resumo: Nesse trabalho, calculamos a entropia de emaranhamento de um antiferromagneto de Heisenberg dimerizado em uma rede quadrada. Dois padrões de dimerização distintos são considerados: colunar e alternado. Em ambos os casos, focamos na fase de sólidos de singletos (VBS) que é descrita pela representação dos operadores de ligação. Nesse formalismo, o hamiltoniano de spin original é mapeado em um modelo efetivo de bósons interagentes com excitações de tripleto. O hamiltoniano efetivo é estudado na aproximação harmônica e o espectro das excitações elementares e o diagrama de fase dos dois modelos dimerizados são determinados. Consideramos um subsistema unidimensional (cadeia) de comprimento $L$ dentro de uma rede quadrada com condições periódicas de contorno e calculamos a entropia de emaranhamento. Seguimos um procedimento analítico baseado na teoria de ondas de spin modificadas que havia sido desenvolvido originalmente para calcular a entropia de emaranhamento em fases magneticamente ordenadas. Em particular, esse procedimento nos permite considerar subsistemas unidimensionais compostos por até 200 sítios. Combinamos esse procedimento com o formalismo dos operadores de ligação na aproximação harmônica e mostramos que, para os dois modelos de Heisenberg dimerizados, a entropia de emaranhamento da fase VBS obedece uma lei de área. Tanto para a dimerização colunar quanto para a alternada, mostramos que a entropia de emaranhamento aumenta à medida que o sistema se aproxima da transição de fase quântica entre as fases Néel-VBS / Abstract: Nesse trabalho, calculamos a entropia de emaranhamento de um antiferromagneto de Heisenberg dimerizado em uma rede quadrada. Dois padrões de dimerização distintos são considerados: colunar e alternado. Em ambos os casos, focamos na fase de sólidos de singletos (VBS) que é descrita pela representação dos operadores de ligação. Nesse formalismo, o hamiltoniano de spin original é mapeado em um modelo efetivo de bósons interagentes com excitações de tripleto. O hamiltoniano efetivo é estudado na aproximação harmônica e o espectro das excitações elementares e o diagrama de fase dos dois modelos dimerizados são determinados. Consideramos um subsistema unidimensional (cadeia) de comprimento $L$ dentro de uma rede quadrada com condições periódicas de contorno e calculamos a entropia de emaranhamento. Seguimos um procedimento analítico baseado na teoria de ondas de spin modificadas que havia sido desenvolvido originalmente para calcular a entropia de emaranhamento em fases magneticamente ordenadas. Em particular, esse procedimento nos permite considerar subsistemas unidimensionais compostos por até 200 sítios. Combinamos esse procedimento com o formalismo dos operadores de ligação na aproximação harmônica e mostramos que, para os dois modelos de Heisenberg dimerizados, a entropia de emaranhamento da fase VBS obedece uma lei de área. Tanto para a dimerização colunar quanto para a alternada, mostramos que a entropia de emaranhamento aumenta à medida que o sistema se aproxima da transição de fase quântica entre as fases Néel-VBS / Mestrado / Física / Mestre em Física / 1547615/2015 / CAPES

FAPEMIG - Fundação de Amparo a Pesquisa do Estado de Minas Gerais / Neste trabalho, investigamos propriedades estáticas e dinâmicas de sistemas fortemente correlacionados quase-unidimensionais. A principal técnica utilizada no estudo de tais sistemas foi o grupo de renormalização da matriz de densidade. Neste contexto, um dos sistemas que consideramos foram as escadas de Heisenberg de N pernas com spin-s. Para estas escadas, investigamos propriedades estáticas, tais como energia por sítio no limite termodinâmico e gap de spin. Em particular, verificamos a validade da conjectura de Haldane-Sénéchal-Sierra para o comportamento do gap de spin das escadas de Heisenberg. Ainda para sistemas com geometria de escadas, outro problema que analisamos foi a entropia de emaranhamento de escadas quânticas críticas. Neste caso, propusemos uma conjectura para o comportamento de escala desta entropia. A fim de verificar nossa conjectura, consideramos as escadas férmions livres, de Heisenberg e escadas de Ising quânticas. Por fim, investigamos o comportamento das correlações dinâmicas de sistemas fortemente correlacionados unidimensionais. Para este caso, apresentamos um estudo detalhado do comportamento assintótico das autocorrelações de spin dinâmicas no bulk e na borda de tais sistemas. / In this work, we investigated static and dynamical properties of quasi-one-dimensional strongly correlated systems. The main technique used in the study of such systems was the density matrix renormalization group. In this context, one of the systems that we considered were the spin-s N-leg Heisenberg ladders. For these ladders, we investigated static properties, such as the energy per site in the thermodynamic limit and the spin gap. In particular, we checked the validity of the Haldane-Sénéchal-Sierra's conjecture for the spin gap behavior of the Heisenberg ladders. Also for systems with ladders geometry, another problem that we analyzed was the entanglement entropy of quantum critical ladders. In this case, we proposed a conjecture for the scaling behavior of this entropy. In order to check our conjecture, we consider free fermions, Heisenberg ladders and quantum Ising ladders. Finally, we investigated the behavior of the dynamical correlations in one-dimensional strongly correlated systems. For this case, we presented a detailed study of the asymptotic behavior of the dynamical spin autocorrelations at the bulk and the boundary of such systems. / Tese (Doutorado)