Orientador: Elso Drigo Filho / Resumo: Tem-se como objetivo estudar a relação da equação de Fokker-Planck mapeada em uma equação tipo Schrödinger e assim usar supersimetria para resolução de alguns potenciais polinomiais encontrando sua distribuição de probabilidade P(x,t) e o tempo de passagem entre barreiras de potenciais e a partir destes dados compreender melhor o sistema físico proposto. / Abstract: The objective of this work is to study the relationship Fokker-Planck equation a Schrödinger-type equation . Thus, it is used supersymmetry for is to solve some polynomial potential in order to find the probability distribution, P (x, t), and the passage time between barriers of potential. These data prit us a better understand of the proposed physical system. / Mestre

SILVA, Petrúcio Barrozo da. Transporte de partículas em sistemas mesoscópicos. 2009. 140 f. Tese (Doutorado em Física) - Programa de Pós-Graduação em Física, Departamento de Física, Centro de Ciências, Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, 2009. / Submitted by Edvander Pires (edvanderpires@gmail.com) on 2015-06-18T19:09:21Z No. of bitstreams: 1 2009_tese_pbsilva.pdf: 5386527 bytes, checksum: 013c727ad138df44286d71defdc66882 (MD5) / Approved for entry into archive by Edvander Pires(edvanderpires@gmail.com) on 2015-06-18T19:18:56Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2009_tese_pbsilva.pdf: 5386527 bytes, checksum: 013c727ad138df44286d71defdc66882 (MD5) / Made available in DSpace on 2015-06-18T19:18:56Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2009_tese_pbsilva.pdf: 5386527 bytes, checksum: 013c727ad138df44286d71defdc66882 (MD5) Previous issue date: 2009 / In this work we investigate the transport properties of particles in mesoscopic systems. In the first part, we use the model originally proposed by Zapperi et al. (Phys. Rev. Lett. 86, 3622 (2001)) to describe the steady-state transport of overdamped particles in the presence of an obstacle and confined to a channel with width of the order of the characteristic size of the system. With this model, we obtain a non-linear first-order differential equation, whose solution in 1D is capable to describe the behavior of the particle density along a 2D channel for different particle systems (e.g., superconducting vortices, colloids and pedestrians, all simulated with molecular dynamics) and obstacle types (e.g, one energy barrier, a channel constriction and a network of pinning centers). We observe that such a model can be used to represent the flow of any system of overdamped particles, as long as the interactions between them can reach a distance greater than only the first neighbors. In the second part of this work, we investigate the flow of interacting particles (not necessarily overdamped) confined to a channel of asymmetrical walls. Here the main objective is to describe through molecular dynamics techniques both the flow of pedestrians as well as the transport of superconducting vortices through irregular channels. In both cases, we observe that the asymmetry of the confining walls can induce a preferential direction to the flow. In the case of pedestrians, our results indicate that, when two groups of people move in opposite directions in a ratcheted type of corridor, this induced order is also responsible for flow maximization. This order can be destroyed, however, when we change the total number of particles in the system, their target speed, the amplitude of the external added noise or the degree of the asymmetry of the channel. We also observe that the order-disorder transitions in this system are usually followed by metastability and hysteresis cycles. In the case of superconducting vortices, multiple depinning transitions are observed when there is a small comensurability field between the number of ratchets in the channel and the number of particles (vortices) in the system. / Neste trabalho, estudamos as propriedades do transporte de partículas em sistemas mesoscópicos. Na primeira parte, usamos o modelo proposto anteriormente por Zapperi et al. (Phys. Rev. Lett. 86, 3622 (2001)) para descrever o transporte de partículas superamortecidas e interagentes no estado estacionário, na presença de um obstáculo para o fluxo, e confinadas em um canal com largura da ordem do comprimento característico do sistema. Com este modelo, obtivemos uma equação diferencial de primeira ordem não-linear, cuja solução em 1D é capaz de descrever a densidade ao longo de um canal 2D para diferentes sistemas de partículas (e.g., vórtices em supercondutores, colóides e pedestres, todos simulados por dinâmica molecular) e diferentes tipos de obstáculos (e.g., uma barreira de energia, um canal com uma constrição e uma rede de pinos no centro do canal). Observamos que este modelo pode ser usado para descrever o escoamento de qualquer sistema de partículas superamortecido, desde que as interações entre elas possam alcançar distâncias maiores que os primeiros vizinhos. Na segunda parte deste trabalho, estudamos o escoamento de partículas interagentes (não necessariamente superamortecidas) confinadas por paredes assimétricas. Aqui o objetivo é descrever a dinâmica de pedestres e a dinâmica de vórtices em supercondutores. Em ambos os sistemas, as paredes assimétricas são responsáveis pela introdução de um sentido preferencial para o fluxo. No caso da dinâmica de pedestres, estudamos as propriedades do sistema quando os pedestres andam em sentidos opostos. Verificamos que este confinamento induz uma ordem responsável pela maximização do escoamento. Esta ordem pode ser destruída quando variamos a densidade, a velocidade, a razão entre a largura do canal e a sua rugosidade, o ruído externo e a assimetria do canal. Verificamos também que as transições de ordem-desordem neste sistema são acompanhadas de metaestabilidades e ciclos de histerese. No caso de vórtices em supercondutores, verificamos que, para pequenos campos de comensurabilidade entre o número de "catracas" e o número de vórtices, o sistema apresenta múltiplas transições de depinamento.

Orientador: Prof. Dr. Maximiliano Ujevic Tonino / Tese (doutorado) - Universidade Federal do ABC, Programa de Pós-Graduação em Física, 2015. / Neste trabalho, estudamos uma série de estruturas bidimensionais como discos finos e varios tipos de anéis finos, que possam representar objetos astrofísicos, usando a func¸ão de distribuição de partículas. Como primeiro passo, resolvemos a equação de Fokker-Planck estacionária, ajustando os parâmetros de modo que a função de distribuição satisfação, simultaneamente, a equação de Fokker-Planck e a equação de Poisson para um determinado potencial gravitacional conhecido dos modelos. A seguir fazemos uma análise da evolução temporal da função de distribuição de partículas, de alguns destes sistemas, após as estruturas sofrerem uma perturbação em seu campo gravitacional. As soluções e evoluções da equação de Fokker-Planck são encontradas usando diretamente m'etodos numéricos, primeiramente fazemos uma discretização da equação de Fokker-Planck usando o método das diferenc¸as finitas, e resolvendo o sistema de equações lineares resultante através de métodos que possam reduzir o tempo de processamento computacional e que resultem em soluções robustas quanto a convergência do sistema de equaçõess lineares, como o método GMRES (método do resíduo mínimo generalizado) e LCD (método das direções conjugadas a esquerda), que tornam viávell o estudo das evoluções temporais de estruturas bidimensionais que estamos interessados. / In this work we study, using the particle distribution function, several thin structures like thin disks and thin rings that may represent astropysical objects. As a first step, we solve the stationary Fokker-Planck equation adjusting the parameters of the system so that the particles distribution function satisfies simultaneously the Fokker-Planck and Poisson equations for a determined gravitational potential model. Then, we make an analysis of the temporal evolution of the particle distribution function for some of these systems under a perturbation on the gravitational field. The solutions and evolutions of the Fokker-Planck equation are found using direct numerical methods, first we use a finite difference scheme discretization method for a Fokker-Planck equation, and then we solve the resulting linear system through robust numerical methods that reduce the computational processing time, as the GMRES method (generalized minimum residual method) and the LCD method (left conjugated direction method).

Made available in DSpace on 2014-06-12T18:04:23Z (GMT). No. of bitstreams: 2 arquivo7752_1.pdf: 2968182 bytes, checksum: b99b78d01729ac83718a680337a6d7f1 (MD5) license.txt: 1748 bytes, checksum: 8a4605be74aa9ea9d79846c1fba20a33 (MD5) Previous issue date: 2006 / Faculdade de Amparo à Ciência e Tecnologia do Estado de Pernambuco / Os resultados apresentados nesta tese podem ser divididos em duas partes. Na primeira estudamos uma classe de ensembles de movimento browniano (EMB) da teoria de matrizes aleatórias, gerados a partir da teoria matricial de processos estocásticos markovianos. Os ensembles são caracterizados por uma equação de Fokker-Planck e estão intimamente relacionados a hamiltonianos de sistemas quânticos do tipo Calogero-Sutherland. Esta conexão leva a um esquema geral de classificação baseada numa recente generalização multidimensional dos polinômios ortogonais clássicos. Mostramos que, sob certas condições, os EMB englobam os ensembles de matrizes de transferência. Desta forma, desenvolvemos um tratamento unificado dos ensembles de polinômios e de matrizes de transferência que, além de servir como um esquema de classificação das diversas classes de simetria, fornece técnicas eficientes de cálculo. Desenvolvemos métodos de Fokker-Planck para o cálculo de médias de observáveis representados por estatísticas lineares, assim como para o cálculo de funções de correlação. Neste contexto, desenvolvemos um método de transformada integral e uma generalização do método das funções biortogonais para o cálculo da função de correlação de n-pontos. Os resultados deduzidos neste contexto geral são aplicados a pontos e fios quânticos. Em particular, apresentamos um estudo numérico de propriedades de transporte em pontos quânticos com simetria quiral. Na segunda parte, estudamos uma cavidade caótica balística acoplada, via barreiras de transparência arbitrária, a dois guias semi-infinitos usando as duas abordagens de teoria de circuito disponíveis na literatura: a escalar e a matricial. Mostramos a equivalência destas teorias através do cálculo dos cumulantes da estatística de contagem. Para isso, determinamos as funções geratrizes fornecidas pelas duas teorias e verificamos a concordância dos 18 primeiros cumulantes usando um programa de computação algébrica. Também estudamos distribuições exatas de corrente de alguns sistemas simples de dois terminais, como um ponto quântico com barreiras simétricas. Estes resultados são importantes, pois fornecem uma grandeza diretamente mensurável em experimentos

Submitted by Aelson Maciera (aelsoncm@terra.com.br) on 2017-06-27T20:42:50Z No. of bitstreams: 1 DissLFL.pdf: 818058 bytes, checksum: a45e8f4dbdc692c6f31fde1d45f6574d (MD5) / Approved for entry into archive by Ronildo Prado (ronisp@ufscar.br) on 2017-07-03T17:56:46Z (GMT) No. of bitstreams: 1 DissLFL.pdf: 818058 bytes, checksum: a45e8f4dbdc692c6f31fde1d45f6574d (MD5) / Approved for entry into archive by Ronildo Prado (ronisp@ufscar.br) on 2017-07-03T17:56:52Z (GMT) No. of bitstreams: 1 DissLFL.pdf: 818058 bytes, checksum: a45e8f4dbdc692c6f31fde1d45f6574d (MD5) / Made available in DSpace on 2017-07-03T18:01:59Z (GMT). No. of bitstreams: 1 DissLFL.pdf: 818058 bytes, checksum: a45e8f4dbdc692c6f31fde1d45f6574d (MD5) Previous issue date: 2016-12-20 / Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) / In this thesis, we present a priori estimates for solutions of a mean-field game (MFG) defined over a bounded domain Ω ⊂ ℝd. We propose an application of these results to a model of capital and wealth accumulation. In Chapter 1, an introduction to mean-field games is presented. We also put forward some of the motivation from Economics and discuss previous developments in the theory of differential games. These comments aim at indicating the connection between mean-field games theory, its applications and the realm of Mathematical Analysis. In Chapter 2, we present an optimal control problem. Here, the agents are supposed to be undistinguishable, rational and intelligent. Undistinguishable means that every agent is governed by the same stochastic differential equation. Rational means that all efforts of the agent is to maximize a payoff functional. Intelligent means that they are able to solve an optimal control problem. Once we describe this (stochastic) optimal control problem, we produce a heuristic derivation of the mean-field games system, which is summarized in a Verification Theorem; this gives rise to the Hamilton-Jacobi equation (HJ). After that, we obtain the Fokker-Plank equation (FP). Finally, we present a representation formula for the solutions to the (HJ) equation, together with some regularity results. In Chapter 3, a specific optimal control problem is described and the associated MFG is presented. This MFG is prescribed in a bounded domain Ω ⊂ ℝd, which introduces substantialadditional challenges from the mathematical view point. This is due to estimates for the solutionsat the boundary in Lp. The rest of the chapter puts forward two well known tips of estimates: theso-called Hopf-Lax formula and the First Order Estimate. In Chapter 4, the wealth and capital accumulation mean-field game model is presented. The relevance of studying MFG in a bounded domain then becomes clear. In light of the results obtained in Chapter 3, we close Chapter 4 with the Hopf-Lax formula, and the First Order estimates. Three appendices close this thesis. They gather elementary material on Stochastic Calculus and Functional Analysis. / Nesta dissertação são apresentadas algumas estimativas a priori para soluções de sistemas mean-field games (MFG), definidos em domínios limitados Ω ⊂ ℝd. Tais estimativas são aplicadas em um modelo mean-field específico, que descreve o acúmulo de riqueza e capital. No Capítulo 1, é apresentada uma breve introdução histórica sobre os mean-field games. Nesta introdução, exploramos sua relação com a teoria dos jogos, cujos alicerces foram construídos por economistas e matemáticos ao longo do século XX. O objetivo do capítulo é transmitir. No Capítulo 2, apresentamos um problema de controle ótimo em que cada agente é suposto ser indistinguível, racional e inteligente. Indistinguível no sentido de que cada um é governado pela mesma equação diferencial estocástica. Racional no sentido de que todos os esforços do agente são no sentido de maximizar um funcional de recompensa e, inteligente no sentido de que são capazes de resolver um problema de controle ótimo. Descreve-se este problema de controle ótimo, e apresenta-se a derivação heurística dos mean-field games; obtém-se através de um Teorema de Verificação, a equação de Hamilton-Jacobi (HJ) associada, e em seguida, obtémse a equação de Fokker-Planck. De posse destas equações, apresentamos alguns resultados preliminares, como uma fórmula de representação para soluções da equação de HJ e alguns resultados de regularidade. No Capítulo 3, descreve-se um problema específico de controle ótimo e apresenta-se a respectiva derivação heurística culminando na descrição de um MFG com condições não periódicas na fronteira; esta abordagem é original na literatura de MFG. O restante do capítulo é dedicado à exposição de dois tipos bem conhecidos de estimativas: a fórmula de Hopf-Lax e estimativa de Primeira Ordem. Uma observação relevante, é a de que o trabalho em obter-se estimativas a priori é aumentado substancialmente neste caso, devido ao fato de lidarmos com estimativas para os termos de fronteira com normas em Lp. ao leitor, as origens da Teoria Econômica contemporânea, que surgem à partir da utilização da Matemática na formulação e resolução de problemas econômicos. Tal abordagem é motivada principalmente pelo rigor e clareza da Matemática em tais circunstâncias. No Capítulo 4, apresenta-se o modelo de jogo do tipo mean-field de acúmulo de capital e riqueza, o que deixa claro a relevância do estudo dos MFG em um domínio limitado. À luz dos resultados obtidos no Capítulo 3, encerramos o Capítulo 4 com as estimativas do tipo Hopf-Lax e de Primeira Ordem. Três apêndices encerram o texto desta dissertação de mestrado; estes reúnem material elementar sobre Cálculo Estocástico e Análise Funcional.