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Solução analítica das equações da cinética pontual e espacial da teoria de difusão de nêutrons pelas técnicas da GITT e decomposiçãoPetersen, Claudio Zen January 2011 (has links)
Neste trabalho, relatam-se soluções analíticas para as equações da cinética da teoria de difusão de nêutrons. Para a solução das equações da cinética pontual consideram-se seis grupos de precursores de nêutrons atrasados e assume-se reatividade variável como uma função arbitrária do tempo. A ideia principal consiste inicialmente na determinação da solução das equações da cinética pontual com reatividade constante apenas usando os resultados bem conhecidos para a solução de sistemas de equações diferenciais matriciais lineares de primeira ordem com entradas constantes. Com a aplicação do método de Decomposição, é possível transformar as equações da cinética pontual com reatividade variável com o tempo em um conjunto de problemas recursivos semelhantes às equações da cinética pontual com reatividade constante, o que pode ser resolvido diretamente com a técnica mencionada anteriormente. Para ilustração, apresentam-se simulações para as funções com reatividade constante, linear e senoidal, bem como comparações com resultados na literatura. Já com relação às equações da cinética espacial, consideram-se um e seis grupos de precursores de nêutrons atrasados, modelo multigrupo de energia, meio homogêneo e dimensões espaciais bi e tridimensionais. O formalismo do procedimento da solução é geral em relação ao número de grupos de energia, famílias de precursores de nêutrons atrasados e regiões com diferentes composições químicas. O fluxo rápido e térmico e as concentrações de nêutrons atrasados são expandidos em uma série de termos de autofunções que, pela aplicação da técnica da GITT, resulta em uma equação diferencial matricial de primeira ordem semelhante às equações de cinética pontual. Por esse motivo, a solução deste problema transformado segue o formalismo do método da Decomposição aplicado às equações da cinética pontual. Por fim, apresentam-se simulações numéricas e comparações com resultados disponíveis na literatura. / In this work we report analytical solutions for the neutron kinetics diffusion equations. For the solution of the point kinetics equations we consider six groups of delayed neutron precursors and assume that the reactivity is an arbitrary function of time. The main idea initially consists in the determination of the solution of the point kinetics equations with constant reactivity by just using the well-known results of the solution of systems of first-order linear ordinary differential equations in matrix form with constant matrix entries. Applying the decomposition method, we are able to transform the point kinetics equations with time dependent reactivity into a set of recursive problems similar to the point kinetics equations with constant reactivity, which can be directly solved by the above mentioned technique. For illustration, we also report simulations for constant, linear and sinusoidal reactivity time functions of time as well as comparisons with results published in the literature. As for the space kinetics equations we consider six groups of delayed neutron precursors, energy multigroup model, homogeneous media and two and three-dimensional geometries. The solution procedure formalism is general with respect to the number of energy groups, neutron precursor families and regions with different chemical compositions. The fast and thermal flux and the delayed neutron precursors concentrations are expanded in a series in terms of eigenfunctions that, upon insertion into the kinetics equation and upon taking moments, result in a first order linear differential matrix equation with source terms similar to the point kinetics equations. The solution of this transformed problem follows the formalism of the decomposition method applied to the point kinetics equations. We present numerical simulations and comparisons with available results in the literature.
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Solução analítica das equações da cinética pontual e espacial da teoria de difusão de nêutrons pelas técnicas da GITT e decomposiçãoPetersen, Claudio Zen January 2011 (has links)
Neste trabalho, relatam-se soluções analíticas para as equações da cinética da teoria de difusão de nêutrons. Para a solução das equações da cinética pontual consideram-se seis grupos de precursores de nêutrons atrasados e assume-se reatividade variável como uma função arbitrária do tempo. A ideia principal consiste inicialmente na determinação da solução das equações da cinética pontual com reatividade constante apenas usando os resultados bem conhecidos para a solução de sistemas de equações diferenciais matriciais lineares de primeira ordem com entradas constantes. Com a aplicação do método de Decomposição, é possível transformar as equações da cinética pontual com reatividade variável com o tempo em um conjunto de problemas recursivos semelhantes às equações da cinética pontual com reatividade constante, o que pode ser resolvido diretamente com a técnica mencionada anteriormente. Para ilustração, apresentam-se simulações para as funções com reatividade constante, linear e senoidal, bem como comparações com resultados na literatura. Já com relação às equações da cinética espacial, consideram-se um e seis grupos de precursores de nêutrons atrasados, modelo multigrupo de energia, meio homogêneo e dimensões espaciais bi e tridimensionais. O formalismo do procedimento da solução é geral em relação ao número de grupos de energia, famílias de precursores de nêutrons atrasados e regiões com diferentes composições químicas. O fluxo rápido e térmico e as concentrações de nêutrons atrasados são expandidos em uma série de termos de autofunções que, pela aplicação da técnica da GITT, resulta em uma equação diferencial matricial de primeira ordem semelhante às equações de cinética pontual. Por esse motivo, a solução deste problema transformado segue o formalismo do método da Decomposição aplicado às equações da cinética pontual. Por fim, apresentam-se simulações numéricas e comparações com resultados disponíveis na literatura. / In this work we report analytical solutions for the neutron kinetics diffusion equations. For the solution of the point kinetics equations we consider six groups of delayed neutron precursors and assume that the reactivity is an arbitrary function of time. The main idea initially consists in the determination of the solution of the point kinetics equations with constant reactivity by just using the well-known results of the solution of systems of first-order linear ordinary differential equations in matrix form with constant matrix entries. Applying the decomposition method, we are able to transform the point kinetics equations with time dependent reactivity into a set of recursive problems similar to the point kinetics equations with constant reactivity, which can be directly solved by the above mentioned technique. For illustration, we also report simulations for constant, linear and sinusoidal reactivity time functions of time as well as comparisons with results published in the literature. As for the space kinetics equations we consider six groups of delayed neutron precursors, energy multigroup model, homogeneous media and two and three-dimensional geometries. The solution procedure formalism is general with respect to the number of energy groups, neutron precursor families and regions with different chemical compositions. The fast and thermal flux and the delayed neutron precursors concentrations are expanded in a series in terms of eigenfunctions that, upon insertion into the kinetics equation and upon taking moments, result in a first order linear differential matrix equation with source terms similar to the point kinetics equations. The solution of this transformed problem follows the formalism of the decomposition method applied to the point kinetics equations. We present numerical simulations and comparisons with available results in the literature.
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A equação unidimensional de difusão de nêutrons com modelo multigrupo de energia e meio heterogêneo : avaliação do fluxo para problemas estacionários e de cinética / The one dimensional diffusion equation with multi group energy model and heterogeneous media: flux evaluation to stationary and kinetic problemsCeolin, Celina January 2014 (has links)
Na presente tese é resolvida a equação de difusão de nêutrons estacionária, bem como problemas de cinética, em geometria unidimensional cartesiana multi-região considerando o modelo de multigrupos de energia. Um dos objetivos e inovação neste trabalho é a obtenção de uma solução aproximada com estimativa de erro, controle de precisão e na forma de uma expressão analítica. Com esse tipo de solução não há a necessidade de recorrer a esquemas de interpolação, geralmente necessários em caso de discretizações do domínio. O fluxo de nêutrons é expandido em uma série de Taylor cujos coeficientes são encontrados utilizando a equação diferencial e as condições de contorno e interface. O domínio é dividido em várias células, cujo tamanho e o grau do polinômio são ajustáveis de acordo com a precisão requerida. Para resolver o problema de autovalor é utilizado o método da potência. A metodologia é aplicada em um benchmark que consiste na solução da equação de difusão como condição inicial e na solução de problemas de cinética para diferentes transientes. Os resultados são comparados com sucesso com resultados da literatura. A convergência da série é garantida pela aplicação de um raciocínio baseado no critério de Lipschitz para funções contínuas. Cabe ressaltar que a solução obtida, em conjunto com a análise da convergência, mostra a solidez e a precisão dessa metodologia. / In the present dissertation the one-dimensional neutron diffusion equation for stationary and kinetic problems in a multi-layer slab has been solved considering the multi-group energy model. One of the objectives and innovation in this work is to obtain an approximate solution with error estimation, accuracy control and in the form of an analytical expression. With this solution there is no need for interpolation schemes, which are usually needed in case of discretization of the domain. The neutron flux is expanded in a Taylor series whose coefficients are found using the differential equation and the boundary and interface conditions. The domain is divided into several layers, whose size and the polynomial order can be adjusted according to the required accuracy. To solve the eigenvalue problem the conventional power method has been used. The methodology is applied in a benchmark problem consisting of the solution of the diffusion equation as an initial condition and solving kinetic problems for different transients. The results are compared successfully with the ones in the literature. The convergence of the series is guaranteed by applying a criterion based on the Lipschitz criterion for continuous functions. Note that the solution obtained, together with the convergence analysis, shows the robustness and accuracy of this methodology.
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Formulações espectronodais em cálculos neutrônicos multidimensionaisPicoloto, Camila Becker January 2015 (has links)
In this work, an analytical approach is used along with nodal schemes for the solution of xed source two-dimensional neutron transport problems, in Cartesian geometry, de ned in heterogeneous medium, with anisotropic scattering. The methodology is developed from the discrete ordinates version of the two-dimensional transport equation along with the level symmetric angular quadrature set. One-dimensional equations for the averaged angular uxes are obtained by transverse integration of the original problem. Such equations are solved by the ADO method. Explicit expressions in spatial variables are derived for averaged uxes in each region in which the domain is subdivided. The solution in each region is coupled with that of its neighbouring regions to provide the solution in the whole domain, without resorting to using iterative methods. As usual in nodal schemes, auxiliary equations are needed. Here two di erent treatments were given to this issue: one based on relations between the unknown ows in the contours of the regions and the average angular uxes, and another in which these ows are approximated by polynomials of order zero being in this case, incorporated into the source term. Numerical results were compared with available literature showing the solution preserve the computational e ciency which has been a good feature of the ADO method when applied to different problems. / Neste trabalho, uma abordagem analítica é utilizada juntamente com esquemas nodais na resolução de problemas bidimensionais de transporte de nêutrons de fonte fixa, em geometria cartesiana, definidos em meio heterogêneo, com espalhamento anisotrópico. A metodologia proposta é desenvolvida a partir da versão em ordenadas discretas da equação de transporte bidimensional, juntamente com o esquema de quadratura simétrica de nível. As equações em ordenadas discretas são integradas transversalmente, originando equações unidimensionais para os fluxos angulares médios. Tais equações unidimensionais são resolvidas pelo método ADO (Analytical Discrete Ordinates). Expressões explícitas nas variáveis espaciais são derivadas para os fluxos angulares médios em cada região em que o domínio foi subdividido. A solução em cada região é acoplada às regiões vizinhas, para fornecer a solução no domínio todo, sem a utilização de métodos iterativos. Como usual em esquemas nodais, equações auxiliares são necessárias, recebendo neste estudo dois tratamentos distintos: um em que os fluxos desconhecidos nos contornos das regiões assumem relações de proporcionalidade, com os fluxos angulares médios; e, outro, em que esses fluxos são aproximados por polinômios de ordem zero sendo, nesse caso, incorporados ao termo fonte. Resultados numéricos obtidos e comparados com disponíveis na literatura mostram a viabilidade da formulação, mantendo a eficiência computacional já verificada no tratamento de outros problemas, com o uso do método ADO.
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Formulações espectronodais em cálculos neutrônicos multidimensionaisPicoloto, Camila Becker January 2015 (has links)
In this work, an analytical approach is used along with nodal schemes for the solution of xed source two-dimensional neutron transport problems, in Cartesian geometry, de ned in heterogeneous medium, with anisotropic scattering. The methodology is developed from the discrete ordinates version of the two-dimensional transport equation along with the level symmetric angular quadrature set. One-dimensional equations for the averaged angular uxes are obtained by transverse integration of the original problem. Such equations are solved by the ADO method. Explicit expressions in spatial variables are derived for averaged uxes in each region in which the domain is subdivided. The solution in each region is coupled with that of its neighbouring regions to provide the solution in the whole domain, without resorting to using iterative methods. As usual in nodal schemes, auxiliary equations are needed. Here two di erent treatments were given to this issue: one based on relations between the unknown ows in the contours of the regions and the average angular uxes, and another in which these ows are approximated by polynomials of order zero being in this case, incorporated into the source term. Numerical results were compared with available literature showing the solution preserve the computational e ciency which has been a good feature of the ADO method when applied to different problems. / Neste trabalho, uma abordagem analítica é utilizada juntamente com esquemas nodais na resolução de problemas bidimensionais de transporte de nêutrons de fonte fixa, em geometria cartesiana, definidos em meio heterogêneo, com espalhamento anisotrópico. A metodologia proposta é desenvolvida a partir da versão em ordenadas discretas da equação de transporte bidimensional, juntamente com o esquema de quadratura simétrica de nível. As equações em ordenadas discretas são integradas transversalmente, originando equações unidimensionais para os fluxos angulares médios. Tais equações unidimensionais são resolvidas pelo método ADO (Analytical Discrete Ordinates). Expressões explícitas nas variáveis espaciais são derivadas para os fluxos angulares médios em cada região em que o domínio foi subdividido. A solução em cada região é acoplada às regiões vizinhas, para fornecer a solução no domínio todo, sem a utilização de métodos iterativos. Como usual em esquemas nodais, equações auxiliares são necessárias, recebendo neste estudo dois tratamentos distintos: um em que os fluxos desconhecidos nos contornos das regiões assumem relações de proporcionalidade, com os fluxos angulares médios; e, outro, em que esses fluxos são aproximados por polinômios de ordem zero sendo, nesse caso, incorporados ao termo fonte. Resultados numéricos obtidos e comparados com disponíveis na literatura mostram a viabilidade da formulação, mantendo a eficiência computacional já verificada no tratamento de outros problemas, com o uso do método ADO.
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Formulações espectronodais em cálculos neutrônicos multidimensionaisPicoloto, Camila Becker January 2015 (has links)
In this work, an analytical approach is used along with nodal schemes for the solution of xed source two-dimensional neutron transport problems, in Cartesian geometry, de ned in heterogeneous medium, with anisotropic scattering. The methodology is developed from the discrete ordinates version of the two-dimensional transport equation along with the level symmetric angular quadrature set. One-dimensional equations for the averaged angular uxes are obtained by transverse integration of the original problem. Such equations are solved by the ADO method. Explicit expressions in spatial variables are derived for averaged uxes in each region in which the domain is subdivided. The solution in each region is coupled with that of its neighbouring regions to provide the solution in the whole domain, without resorting to using iterative methods. As usual in nodal schemes, auxiliary equations are needed. Here two di erent treatments were given to this issue: one based on relations between the unknown ows in the contours of the regions and the average angular uxes, and another in which these ows are approximated by polynomials of order zero being in this case, incorporated into the source term. Numerical results were compared with available literature showing the solution preserve the computational e ciency which has been a good feature of the ADO method when applied to different problems. / Neste trabalho, uma abordagem analítica é utilizada juntamente com esquemas nodais na resolução de problemas bidimensionais de transporte de nêutrons de fonte fixa, em geometria cartesiana, definidos em meio heterogêneo, com espalhamento anisotrópico. A metodologia proposta é desenvolvida a partir da versão em ordenadas discretas da equação de transporte bidimensional, juntamente com o esquema de quadratura simétrica de nível. As equações em ordenadas discretas são integradas transversalmente, originando equações unidimensionais para os fluxos angulares médios. Tais equações unidimensionais são resolvidas pelo método ADO (Analytical Discrete Ordinates). Expressões explícitas nas variáveis espaciais são derivadas para os fluxos angulares médios em cada região em que o domínio foi subdividido. A solução em cada região é acoplada às regiões vizinhas, para fornecer a solução no domínio todo, sem a utilização de métodos iterativos. Como usual em esquemas nodais, equações auxiliares são necessárias, recebendo neste estudo dois tratamentos distintos: um em que os fluxos desconhecidos nos contornos das regiões assumem relações de proporcionalidade, com os fluxos angulares médios; e, outro, em que esses fluxos são aproximados por polinômios de ordem zero sendo, nesse caso, incorporados ao termo fonte. Resultados numéricos obtidos e comparados com disponíveis na literatura mostram a viabilidade da formulação, mantendo a eficiência computacional já verificada no tratamento de outros problemas, com o uso do método ADO.
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