Les techniques de refroidissement d'atomes par laser dans les mélasses optiques conduisent à des "températures" minimales de quelques microkelvins. Dans ce régime ultra-froid, le mouvement des atomes n'est plus descriptible en termes d'une force de friction visqueuse et d'une diffusion en impulsion. Pour obtenir les limites du refroidissement, nous avons donc développé de nouvelles approches, dont la plus fructueuse traite quantiquement le mouvement atomique dans le potentiel créé par la lumière. Les mélasses sont étudiées pour les deux configurations laser modèles à une dimension, σ+ — σ- et Ox — Oy. Les atomes ont alors une impulsion quadratique moyenne minimale d'environ 6\hbar k, où \hbar k est la quantité de mouvement d'un photon laser.

Notre principal but est le probleme de l'unicite pour les operateurs de diffusion dans $L^\infty$. Ce travail commence par un etude des $C_0$-semi-groupes et des semi-groupes integres dans un contexte tres general. Nous etudions les $C_0$-semi-groupes sur un espace localement convexe et nous introduisons une nouvelle topologie sur l'espace dual tel que l'adjoint d'un $C_0$-semi-groupe est de classe $C_0$ par rapport a cette topologie. Les resultats les plus importants sont un theoreme de caracterisation d'un core du generateur et un theoreme de caracterisation complet d'un generateur essentiel sur un espace localement convexe. Finalement, nous presentons quelques exemples des generateurs essentiels dans $L^\infty$. Dans cette these ont ete obtenues pour la premiere fois la $L^\infty$-unicite des operateurs de Schroedinger et des operateurs de Schroedinger generalises sur une variete riemannienne complete, ainsi que $L^1$-unicite des solutions faibles pour l'equation de transport de masse.

En physique statistique computationnelle, de bonnes techniques d'échantillonnage sont nécessaires pour obtenir des propriétés macroscopiques à travers des moyennes sur les états microscopiques. La principale difficulté est que ces états microscopiques sont généralement regroupés autour de configurations typiques, et un échantillonnage complet de l'espace configurationnel est donc typiquement très complexe à réaliser. Des techniques ont été proposées pour échantillonner efficacement les états microscopiques dans l'ensemble canonique. Un exemple important de quantités d'intérêt dans un tel cas est l'énergie libre. Le calcul d'énergie libre est très important dans les calculs de dynamique moléculaire, afin d'obtenir une description réduite d'un système physique complexe de grande dimension. La première partie de cette thèse est consacrée à une extension de la méthode adaptative de force biaisante classique (ABF), qui est utilisée pour calculer l'énergie libre associée à la mesure de Boltzmann-Gibbs et une coordonnée de réaction. Le problème de cette méthode est que le gradient approché de l'énergie libre, dit force moyenne, n'est pas un gradient en général. La contribution à ce domaine, présentée dans le chapitre 2, est de projeter la force moyenne estimée sur un gradient en utilisant la décomposition de Helmholtz. Dans la pratique, la nouvelle force gradient est obtenue à partir de la solution d'un problème de Poisson. En utilisant des techniques d'entropie, on étudie le comportement à la limite de l'équation de Fokker-Planck non linéaire associée au processus stochastique. On montre la convergence exponentielle vers l'équilibre de l'énergie libre estimée, avec un taux précis de convergence en fonction des constantes de l'inégalité de Sobolev logarithmiques des mesures canoniques conditionnelles à la coordonnée de réaction. L'intérêt de la méthode d'ABF projetée par rapport à l'approche originale ABF est que la variance de la nouvelle force moyenne est plus petite. On observe que cela implique une convergence plus rapide vers l'équilibre. En outre, la méthode permet d'avoir accès à une estimation de l'énergie libre en tout temps. La deuxième partie (voir le chapitre 3) est consacrée à étudier l'existence locale et globale, l'unicité et la régularité des solutions d'une équation non linéaire de Fokker-Planck associée à la méthode adaptative de force biaisante. Il s'agit d'un problème parabolique semilinéaire avec une non-linéarité non locale. L'équation de Fokker-Planck décrit l'évolution de la densité d'un processus stochastique associé à la méthode adaptative de force biaisante. Le terme non linéaire est non local et est utilisé lors de la simulation afin d'éliminer les caractéristiques métastables de la dynamique. Il est lié à une espérance conditionnelle qui définit la force biaisante. La preuve est basée sur des techniques de semi-groupe pour l'existence locale en temps, ainsi que sur une estimée a priori utilisant une sursolution pour montrer l'existence globale / In computational statistical physics, good sampling techniques are required to obtain macroscopic properties through averages over microscopic states. The main difficulty is that these microscopic states are typically clustered around typical configurations, and a complete sampling of the configurational space is thus in general very complex to achieve. Techniques have been proposed to efficiently sample the microscopic states in the canonical ensemble. An important example of quantities of interest in such a case is the free energy. Free energy computation techniques are very important in molecular dynamics computations, in order to obtain a coarse-grained description of a high-dimensional complex physical system. The first part of this thesis is dedicated to explore an extension of the classical adaptive biasing force (ABF) technique, which is used to compute the free energy associated to the Boltzmann-Gibbs measure and a reaction coordinate function. The problem of this method is that the approximated gradient of the free energy, called biasing force, is not a gradient. The contribution to this field, presented in Chapter 2, is to project the estimated biasing force on a gradient using the Helmholtz decomposition. In practice, the new gradient force is obtained by solving Poisson problem. Using entropy techniques, we study the longtime behavior of the nonlinear Fokker-Planck equation associated with the ABF process. We prove exponential convergence to equilibrium of the estimated free energy, with a precise rate of convergence in terms of the Logarithmic Sobolev inequality constants of the canonical measure conditioned to fixed values of the reaction coordinate. The interest of this projected ABF method compared to the original ABF approach is that the variance of the new biasing force is smaller, which yields quicker convergence to equilibrium. The second part, presented in Chapter 3, is dedicated to study local and global existence, uniqueness and regularity of the mild, Lp and classical solution of a nonlinear Fokker-Planck equation, arising in an adaptive biasing force method for molecular dynamics calculations. The partial differential equation is a semilinear parabolic initial boundary value problem with a nonlocal nonlinearity and periodic boundary conditions on the torus of dimension n, as presented in Chapter 3. The Fokker-Planck equation rules the evolution of the density of a given stochastic process that is a solution to Adaptive biasing force method. The nonlinear term is non local and is used during the simulation in order to remove the metastable features of the dynamics

Dans cette thèse, j'étudie des équations aux dérivées partielles qui modélisent des phénomènes biologiques.Dans la première partie, je m'intéresse à une variante des équations de Keller-Segel qui modélise la chimiotaxie des micro-organismes et vise à expliquer la façon dont des colonies bactériennes s'auto-organisent et forment, en fonction de la quantité de nutriments disponibles, différents motifs géométriques. Pour le modèle en question, je construis des solutions et j'étudie leur comportement en temps long. Je montre que certaines solutions explosent en temps fini.Dans la deuxième partie, je m'intéresse au modèle Intègre et tire avec bruit et fuite non-linéaire, une équation de type Fokker-Planck qui décrit l'activité d'un réseau de neurones. J'améliore certaines estimées sur l'existence globale et l'explosion en temps fini et je démontre des résultats pour une variante du modèle avec un délai synaptique : existence globale, comportement en temps long, recherche de solutions périodiques.Dans la troisième partie, je propose une modélisation d'abord stochastique, ensuite déterministe, pour le phénomène d'adaptation des dommages à l'ADN chez les eucaryote. Des simulations numériques sont proposées et commentées. / In this thesis, I study some partial differential equations modelling biological phenomena.In the first part, I am concerned with a variant of the Keller-Segel equations which models chemotaxis in microorganisms and aims at understanding the way they self-organise and form, depending upon the density of nutrients, different geometrical patterns. For this model, I construct solutions and I study their long time behaviour. I show that some solutions blow-up in finite time.In the second part, I study the model Nonlinear Noisy leaky integrate and fire, a Fokker-Planck type equation which describes the activity of a neural network. I upgrade some estimates on global existence and finite time blow-up and I prove results for a variant of the model in which a synaptic delay is added : global existence, long time behaviour, search of periodic solutions.In the third part, I propose a stochastic model, and then a deterministic model, for the phenomenon of adaptation to DNA damage in eukaryotes. Numerical simulations are proposed and discussed.

Cette thèse s'inscrit dans le domaine des probabilités et des statistiques, et plus précisément des matrices aléatoires. Dans la première partie, on étudie les grandes déviations de la mesure spectrale de matrices de covariance $XX^*$, où $X$ est une matrice aléatoire rectangulaire à coefficients i.i.d. ayant une queue de probabilité en $exp(-at^{alpha})$, $alpha in ]0,2[$. On établit un principe de grandes déviations analogue à celui de Bordenave et Caputo, de vitesse $n^{1+alpha/2}$ et de fonction de taux explicite faisant intervenir la convolution libre rectangulaire. La démonstration repose sur un résultat de quantification de la liberté asymptotique dans le modèle information-plus-bruit. La seconde partie de cette thèse est consacrée à l'étude du comportement en temps long de la solution de l'équation de Fokker-Planck libre en présence du potentiel quartique $V(x) = frac14 x^4 + frac{c}{2} x^2$ avec $c ge -2$. On montre que quand $t to +infty$, la solution $mu_t$ de cette équation aux dérivées partielles converge en distance de Wasserstein vers la mesure d'équilibre associée au potentiel $V$. Ce résultat fournit un premier exemple de convergence en temps long de la solution de l'équation des milieux granulaires en présence d'un potentiel non convexe et d'une interaction logarithmique. Sa démonstration utilise notamment des techniques de probabilités libres. / This thesis lies within the field of probability and statistics, and more precisely of random matrix theory. In the first part, we study the large deviations of the spectral measure of covariance matrices XX*, where X is a rectangular random matrix with i.i.d. coefficients having a probability tail like $exp(-at^{alpha})$, $alpha in (0,2)$. We establish a large deviation principle similar to Bordenave and Caputo's one, with speed $n^{1+alpha/2}$ and explicit rate function involving rectangular free convolution. The proof relies on a quantification result of asymptotic freeness in the information-plus-noise model. The second part of this thesis is devoted to the study of the long-time behaviour of the solution to free Fokker-Planck equation in the setting of the quartic potential $V(x) = frac14 x^4 + frac{c}{2} x^2$ with $c ge -2$. We prove that when $t to +infty$, the solution $mu_t$ to this partial differential equation converge in Wasserstein distance towards the equilibrium measure associated to the potential $V$. This result provides a first example of long-time convergence for the solution of granular media equation with a non-convex potential and a logarithmic interaction. Its proof involves in particular free probability techniques.