Neste trabalho é abordado o exemplo proposto por Nicolai Haydn, no qual é dado um exemplo de um deslocamento onde é possível construir in nitas medidas de máxima entropia, além de in nitos estados de equilíbrio. / In this work, we present the example shown by Nicolai Haydn, which is given by subshift where is possible to show in nity measures of maximal entropy, besides in nitely many distinct equilibrium states.

Nessa dissertação estudamos Sistemas Dinâmicos do ponto de vista da Otimização Ergódica. Analizamos o problema da maximização da integral de potenciais com respeito a probabilidades invariantes pela dinâmica. Mostramos que toda medida ergódica e unicamente maximizante para algum potencial. Verificamos que o conjunto de potenciais com exatamente uma medida maximizadora e residual. Esses resultados são obtidos atrav es de técnicas da Teoria Ergódica e Análise Convexa. / In this thesis we study dynamical systems trough the viewpoint of ergodic optimization. We analyze the problem of maximizing integrals of potentials with respect to invariant probabilities. We show that every ergodic measure is uniquely maximizing for some potential. We also verify that the set of potentials with exactly one maximizing measure is residual. This results are obtained through techniques of ergodic theory and convex analysis.

Neste trabalho, mostraremos que o algoritmo que determina digito a digito a raiz quadrada de um número real positivo, corresponde a um sistema dinâmico no plano com um comportamento dinâmico complexo. Uma relação de equivalência pode ser obtida e através dela determinamos um novo sistema dinâmico definido no espaço quociente. Tal sistema dinâmico será estudado a partir de dois pontos de vista: Dinâmica Topológica e Teoria Ergódiga. Mostraremos que tal sistema dinâmico é topologicamente conjugado ao shift map no espaço de Bernoulli sobre 10 símbolos. Além disso, mostraremos que existe uma medida invariante natural a qual ergódiga para este sistema dinâmico. / In this work, we will show that the algorithm, which determines digit by digit the square root of a positive real number, corresponds to a dynamical system in the plane with complex dynamical behaviour. A relation of equivalence can be obtained and through it we determine a new dynamical system in the quotient space. Such dynamical system will be study from two points of view: Topological Dynamics and Ergodic Theory. We will show that such dynamical system is topologically conjugated to a shift map in the Bernoulli’s space on 10 symbols. Furthermore we will show that there exists a natural invariant measure which is ergodic for this dynamical system.

Submitted by Marcio Filho (marcio.kleber@ufba.br) on 2016-06-07T13:18:22Z No. of bitstreams: 1 dissertacao_anderson.pdf: 550160 bytes, checksum: 330886b135074855963d7424f479f579 (MD5) / Approved for entry into archive by Uillis de Assis Santos (uillis.assis@ufba.br) on 2016-06-07T18:56:58Z (GMT) No. of bitstreams: 1 dissertacao_anderson.pdf: 550160 bytes, checksum: 330886b135074855963d7424f479f579 (MD5) / Made available in DSpace on 2016-06-07T18:56:58Z (GMT). No. of bitstreams: 1 dissertacao_anderson.pdf: 550160 bytes, checksum: 330886b135074855963d7424f479f579 (MD5) / Rufus Bowen, em seu artigo publicado em 1971, mostrou que, dado f um difeomorfismo Axioma A, seu conjunto não errante pode ser decomposto em uma quantidade finita de subconjuntos distintos. Analisando f restrita a cada um desses subconjuntos ele notou uma propriedade muito interessante: dada uma quantidade finita de trechos finitos de órbitas dessa restrição de f, sempre existia um ponto periódico cuja órbita aproximava esses dados trechos. A essa propriedade denotamos por especificação. Notou-se entretanto que este tipo de fenômeno não se restringia a classe de difeomorfismos Axioma A. Temos, por exemplo, que toda aplicação topologicamente mixing no intervalo e toda aplicação conjugada a um shift completo satisfaz a propriedade de especificação. A partir de então, a noção de especificação tornou-se uma ferramenta muito útil na teoria ergódica. No presente trabalho, apresentamos duas consequências da propriedade de especificação. A primeira é uma caracterização topológica do espaço de medidas invariantes mostrada por Karl Sigmund em 1974. Com esta caracterização destacam-se alguns subconjuntos interessantes, como o de medidas com suporte em uma órbita periódica, o de medidas ergódicas, não atômicas e abertas. A segunda consequência é que se f satisfaz a pro- priedade de especificação, então o conjunto dos pontos cujas médias de Birkhoff para um dado potencial contínuo ϕ não convergem ou é vazio ou tem pressão topológica total, resultado devido a Daniel Thompson em 2010.

Submitted by Marcos Samuel (msamjunior@gmail.com) on 2016-06-07T13:27:47Z No. of bitstreams: 1 Dissertaçao Bruno Cesar.pdf: 764734 bytes, checksum: 3d0b35f72432678a4559b8ce350db5db (MD5) / Approved for entry into archive by Alda Lima da Silva (sivalda@ufba.br) on 2016-06-13T16:51:44Z (GMT) No. of bitstreams: 1 Dissertaçao Bruno Cesar.pdf: 764734 bytes, checksum: 3d0b35f72432678a4559b8ce350db5db (MD5) / Made available in DSpace on 2016-06-13T16:51:44Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Dissertaçao Bruno Cesar.pdf: 764734 bytes, checksum: 3d0b35f72432678a4559b8ce350db5db (MD5) / Neste trabalho, vamos considerar uma função contínua definida em um espaço compacto Ω, o Princípio Variacional nos diz que ${\cal{P}}(A) . Considerando agora, em vez de , com , analisaremos o que acontece com . Faremos relações entre e medidas que realizam , onde é uma medida invariante e usaremos a álgebra Max-Plus como ferramenta para estudar o comportamento do

Neste trabalho é abordado o exemplo proposto por Nicolai Haydn, no qual é dado um exemplo de um deslocamento onde é possível construir in nitas medidas de máxima entropia, além de in nitos estados de equilíbrio. / In this work, we present the example shown by Nicolai Haydn, which is given by subshift where is possible to show in nity measures of maximal entropy, besides in nitely many distinct equilibrium states.

Neste trabalho é abordado o exemplo proposto por Nicolai Haydn, no qual é dado um exemplo de um deslocamento onde é possível construir in nitas medidas de máxima entropia, além de in nitos estados de equilíbrio. / In this work, we present the example shown by Nicolai Haydn, which is given by subshift where is possible to show in nity measures of maximal entropy, besides in nitely many distinct equilibrium states.

Neste trabalho, mostraremos que o algoritmo que determina digito a digito a raiz quadrada de um número real positivo, corresponde a um sistema dinâmico no plano com um comportamento dinâmico complexo. Uma relação de equivalência pode ser obtida e através dela determinamos um novo sistema dinâmico definido no espaço quociente. Tal sistema dinâmico será estudado a partir de dois pontos de vista: Dinâmica Topológica e Teoria Ergódiga. Mostraremos que tal sistema dinâmico é topologicamente conjugado ao shift map no espaço de Bernoulli sobre 10 símbolos. Além disso, mostraremos que existe uma medida invariante natural a qual ergódiga para este sistema dinâmico. / In this work, we will show that the algorithm, which determines digit by digit the square root of a positive real number, corresponds to a dynamical system in the plane with complex dynamical behaviour. A relation of equivalence can be obtained and through it we determine a new dynamical system in the quotient space. Such dynamical system will be study from two points of view: Topological Dynamics and Ergodic Theory. We will show that such dynamical system is topologically conjugated to a shift map in the Bernoulli’s space on 10 symbols. Furthermore we will show that there exists a natural invariant measure which is ergodic for this dynamical system.

Let f : T3 → T3 be a C2 volume preserving partially hyperbolic diffeomorphism homotopic to a linear Anosov automorphism A : T3 → T3. We prove that if f is Kolmogorov, then f is Bernoulli. We study the characteristics of atomic disintegration of the volume measure whenever it occurs. We prove that if the volume measure m has atomic disintegration on the center leaves then the disintegration has one atom per center leaf. We give a condition, depending only on the center Lyapunov exponent of the diffeomorphism, that guarantees atomic disintegration of the volume measure on center leaves. We construct an open family of diffeomorphisms satisfying this condition which generates the first examples of foliations which are both measurable and minimal. In this same construction we give the first examples of partially hyperbolic diffeomorphisms with zero center Lyapunov exponent and homotopic to a linear Anosov. / Seja f : T3 → T3 um difeomorfismo C2 parcialmente hiperbólico, homotópico a um automorfismo de Anosov linear e preservando a medida de volume m. Provamos que se f é Kolmogorov então f é Bernoulli. Estudamos as características da desintegração atômica da medida de volume quando esta ocorre. Provamos que se a medida de volume m tem desintegração atômica nas folhas centrais então a desintegração tem um átomo por folha central. Apresentamos uma condição, a qual depende apenas do expoente de Lyapunov central do difeomorfismo, que garante desintegração atômica da medida de volume. Construímos uma família aberta de difeomorfismos satisfazendo esta condição, o que gerou os primeiros exemplos de folheações que são mensuráveis e ao mesmo tempo minimais. Nesta mesma construção damos os primeiros exemplos de difeomorfismos parcialmente hiperbólicos com expoente de Lyapunov central nulo e homotópico a um Anosov linear.

Magíster en Ciencias de la Ingeniería, Mención Matemáticas Aplicadas. Ingeniero Civil Matemático / En 1992 M. Boshernitzan [6] presenta una condición suficiente para que los subshifts minimales sean únicamente ergódicos. Usando el concepto de factores simbólicos extendemos esta condición a sistemas minimales de Cantor. Decimos que un sistema minimal de Cantor satisface la condición de Boshernitzan si todos sus factores simbólicos satisfacen la condición de Boshernitzan. Esta extensión resulta natural en cuanto todo sistema minimal de Cantor es topologicamente conjugado al límite inverso de ciertas secuencias factorizantes de factores símbolicos. Demostramos que la condición de Boshernitzan implica única ergodicidad para sistemas minimales de Cantor. También mostramos que esta condición puede ser verificada analizando cualquier representación de Bratteli-Vershik de un sistema minimal de Cantor dado. Luego tiene sentido buscar condiciones sobre los diagramas de Bratteli asociados a un sistema minimal de Cantor que sean necesarias y/o suficientes para que tal sistema satisfaga la condición de Boshernitzan. Presentamos varias de estas condiciones. Las más generales están relacionadas con el comportamiento asintótico de los vectores de altura y los vectores de medida de las representaciones de Bratteli-Vershik. Estas condiciones son luego reduci- das, sacrificando un poco de generalidad, a condiciones concernientes a la repetición de un bloque de matrices positivas dado en una cantidad infinita de niveles de los diagramas. En todos los casos se considera una hipótesis de estandarización sobre el orden de los diagramas. Se explora el alcance y las limitaciones de los criterios presentados a través del estudio de ejemplos específicos. Se observa que la combinatoria de los sistemas influye de gran manera en el cumplimiento de la condición de Boshernitzan. In 1992 M. Boshernitzan [6] provided a sufficient condition for minimal subshifts to be uniquely ergodic. By using the concept of symbolic factors we extend this condition to Cantor minimal systems. We say a Cantor minimal systems satisfies Boshernitzan s condition if all of its symbolic factors satisfy Boshernitzan s condition. This extension seems natural given the fact that every Cantor minimal system is topologically conjugate to the inverse limit of certain factoring sequences of symbolic factors. We prove that Boshernitzan s condition implies unique ergodicity for Cantor minimal systems. We also show that this con- dition can be verified by analyzing any particular Bratteli-Vershik representation of a given a Cantor minimal system. It then makes sense to look for diagram related necessary and/or sufficient condition for Cantor minimal systems to satisfy Boshernitzan s condition. We pro- vide several of these conditions. The more general ones relate to the asymptotic behaviour of the height vectors and measure vectors of the Bratteli Vershik representations. These con- ditions are then reduced, sacrificing some generality, to conditions concerning the repetition of a given block of positive matrices at inifinitely many levels of the diagrams. In all cases a standardization hypothesis on the order of the diagrams is made. We explore the scope and limitations of the criteria provided by studying specific examples. The combinatorics of the systems is seen to greatly influence the achievement of Boshernitzan s condition.