Ce travail de thèse, composé de quatre parties, est consacré à l’étude de la géométrie algébrique en caractéristiques mixte et positive. Dans la première partie, motivés par une théorie conjecturale de la ramification pour les torseurs inséparables, nous étudions les modèles maximaux des torseurs sur un corps local, qui sont une généralisation des anneaux des entiers dans la théorie classique de la ramification. Nous prouvons la maximalité et la fonctorialité des modèles maximaux et nous les calculons explicitement pour les schémas en groupes finis plats d'ordre p. La deuxième partie est un travail en commun avec Giulio Orecchia et Matthieu Romagny. Nous étudions la perfection des algèbres et la coperfection des espaces et champs algébriques. Nous prouvons que l’espace des composantes connexes fournit la coperfection d’un espace algébrique et il représente la colimite du système de Frobenius relatifs. Dans le cas des champs algébriques, nous construisons le pro-groupoïde fondamental étale, nous prouvons qu'il fournit la coperfection, et il représente la colimite du système de Frobenius relatifs dans le cas de Deligne-Mumford. Dans la troisième partie, nous prouvons quelques résultats de platitude et de représentabilité des espaces de modules de torseurs sous certains schémas en groupes, qui découlent naturellement de l’espace de modules propre des p-revêtements galoisiens. Nous discutons également de la relation avec les jacobiennes généralisées des courbes ouvertes. Dans la dernière partie, nous nous intéressons à un nouveau type de géométrie analytique non-archimédienne, avec des valuations à valeurs dans des monoïdes commutatifs totalement ordonnés. Nous étudions quelques exemples de schémas et d’espaces adiques. / This thesis work, consisting of four parts, is devoted to the study of algebraic geometry in mixed and positive characteristics. In the first part, motivated by a conjectural ramification theory for inseparable torsors, we study the maximal model of a torsor over a local field, which is a generalization of integer rings in classical ramification theory. We prove the maximality and functoriality of maximal models, and calculate them explicitly for some finite flat group schemes of order p. The second part is a joint work with Giulio Orecchia and Matthieu Romagny. We study perfection of algebras and coperfection of algebraic spaces and stacks. We prove that the space of connected components provides the coperfection of an algebraic space, and it represents the colimit of relative Frobenii. In the case of algebraic stacks, we construct the étale fundamental pro-groupoid, and prove that it provides the coperfection, and it represents the colimit of relative Frobenii in Deligne-Mumford case. In the third part, we prove some results on flatness and representability of moduli spaces of torsors under certain group schemes, which naturally arise from the proper moduli space of Galois p-covers (stable p-torsors). We also discuss the relation with generalized Jacobians of open curves. In the last part, we are interested in a new kind of nonarchimedean analytic geometry, with valuations on totally ordered commutative monoids. We study some examples from schemes and adic spaces.

Mémoire numérisé par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal.

Mémoire numérisé par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal

L'homologie instanton-symplectique est un invariant associé à une variété de dimension trois close orientée, qui a été dé?ni par Manolescu et Woodward, et qui correspond conjecturalement à une version symplectique d'une homologie des instantons de Floer. Dans cette thèse nous étudions le comportement de cet invariant sous l'effet d'une somme connexe, d'une chirurgie de Dehn, et d'un cobordisme de dimension quatre. Nous établissons une formule de Künneth pour la somme connexe : si Y et Y' désignent deux variétés closes orientées de dimension trois, l'homologie instanton-symplectique associée à leur somme connexe est isomorphe à la somme directe du produit tensoriel de leurs groupes d'homologie instantonsymplectique respectifs, et de leur produit de torsion (après décalage des degrés). Nous définissons des versions tordues de cette homologie, et prouvons un analogue de la suite exacte de Floer, reliant les groupes associés à une triade de chirurgie. Cette suite exacte nous permet de calculer le rang des groupes associés à des familles de variétés, notamment les revêtements doubles ramifiés d'entrelacs quasi-alternés, des chirurgies entières de grande pente le long de certains noeuds, ainsi que certaines variétés obtenues par plombage de fibrés en disques au-dessus de sphères. Nous définissons enfin des invariants pour des cobordismes de dimension 4 prenant la forme d'applications entre groupes d'homologie instantonsymplectique des bords, et prouvons que deux des morphismes intervenant dans la suite exacte de chirurgie s'interprètent comme de telles applications, associées aux cobordismes d'attachement d'anses. Nous donnons également un critère d'annulation pour de telles applications associées à des éclatements. / Symplectic instanton homology is an invariant for closed oriented three-manifolds, defined by Manolescu and Woodward, which conjecturally corresponds to a symplectic version of a variant of Floer's instanton homology. In this thesis we study the behaviour of this invariant under connected sum, Dehn surgery, and four-dimensional cobordisms. We prove a Künneth-type formula for the connected sum: let Y and Y' be two closed oriented three-manifolds, we show that the symplectic instanton homology of their connected sum is isomorphic to the direct sum of the tensor product of their symplectic instanton homology, and a shift of their torsion product. We define twisted versions of this homology, and then prove an analog of the Floer exact sequence, relating the invariants of a Dehn surgery triad. We use this exact sequence to compute the rank of the groups associated to branched double covers of quasi-alternating links, some plumbings of disc bundles over spheres, and some integral Dehn surgeries along certain knots. We then define invariants for four dimensional cobordisms as maps between the symplectic instanton homology of the two boundaries. We show that among the three morphisms in the surgery exact sequence, two are such maps, associated to the handle-attachment cobordisms. We also give a vanishing criteria for such maps associated to blow-ups.

Cette thèse consiste en trois parties que j'ai faites pendant ces trois ans.La première partie va être constituée de l'étude de la distribution de la longueur de corde sur le plan hyperbolique. Nous montrons l'identité de Pleijel pour le plan hyperbolique. En utilisant cette identité, nous remontrons l'identité de formule de Crofton et l'inégalité isopérimétrique pour le plan hyperbolique, et puis nous calculons la distribution de la longueur de corde associée à un triangle idéal et celle associée à un quadrilatère idéal. Ensuit, nous montons les résultats analogues pour les surfaces riemannienne simplement connexes avec la courbure constante. La seconde partie va contribuer aux études de la métrique de pression sur l'espace de Teichmüller d'un tore privé d'un disque. En étudiant la dégénération du tore quand la longueur du bord va à l'infini, nous trouvons la relation de cette métrique avec la métrique de pression sur l'espace modulaires des graphes métriques. Nous montrons ensuite que la fonction de l'entropie n'est pas constante sur les feuilles symplectique de l'espace Teichmüller d'une surface à bord.Finalement, la troisième partie concerne la quantification de l'espace de Teichmüller d'une surface avec les piqûres. nous montrons. Dans ce chapitre, nous étudions l'extension centrale du groupe modulaire via la quantification de Chekhov-Fock et calculons sa classe de cohomologie qui est 12 fois la classe de Meyer plus les classes d'Euler associées aux piqûres. / This thesis consists of three parts corresponding to the three subjects that I have studied during the last three years.The first part contains the study of the chord length distribution associated to a compact (or non-compact) domain in the hyperbolic plane. We prove the hyperbolic Pleijel identity. By using this identity, we find new approaches to the Crofton's formula and the isoperimetric inequality, and then compute the chord length distribution associated to an ideal triangle and that associated to an ideal quadrilateral. Then we prove the analogue results for the simply connected Riemannian surface with constant curvature.The second part of this thesis (Chapter 5) consists of the study of the pressuremetric on the Teichmüller space of one-holed torus. By studying the degeneration of the torus when the boundary length goes to infinity, we find the relation of this metric to the pressure metric on the moduli space of metric graphs. Then we study the entropy function and prove that it is not constant on the symplectic leaf of the Teichmüller space of a bordered surface.Finally, the third part concerns the quantization of the Teichmüller space of a punctured surface. In this chapter, we study the central extension of the mapping class group coming from the quantization and compute its cohomology class which is 12 times the Meyer class plus the Euler classes associated to punctures.

Cette thèse traite de la classification analytique du déploiement de systèmes différentiels linéaires ayant une singularité irrégulière. Elle est composée de deux articles sur le sujet: le premier présente des résultats obtenus lors de l'étude de la confluence de l'équation hypergéométrique et peut être considéré comme un cas particulier du second; le deuxième contient les théorèmes et résultats principaux. Dans les deux articles, nous considérons la confluence de deux points singuliers réguliers en un point singulier irrégulier et nous étudions les conséquences de la divergence des solutions au point singulier irrégulier sur le comportement des solutions du système déployé. Pour ce faire, nous recouvrons un voisinage de l'origine (de manière ramifiée) dans l'espace du paramètre de déploiement $\epsilon$. La monodromie d'une base de solutions bien choisie est directement reliée aux matrices de Stokes déployées. Ces dernières donnent une interprétation géométrique aux matrices de Stokes, incluant le lien (existant au moins pour les cas génériques) entre la divergence des solutions à $\epsilon=0$ et la présence de solutions logarithmiques autour des points singuliers réguliers lors de la résonance. La monodromie d'intégrales premières de systèmes de Riccati correspondants est aussi interprétée en fonction des éléments des matrices de Stokes déployées. De plus, dans le second article, nous donnons le système complet d'invariants analytiques pour le déploiement de systèmes différentiels linéaires $x^2y'=A(x)y$ ayant une singularité irrégulière de rang de Poincaré $1$ à l'origine au-dessus d'un voisinage fixé $\mathbb{D}_r$ dans la variable $x$. Ce système est constitué d'une partie formelle, donnée par des polynômes, et d'une partie analytique, donnée par une classe d'équivalence de matrices de Stokes déployées. Pour chaque valeur du paramètre $\epsilon$ dans un secteur pointé à l'origine d'ouverture plus grande que $2\pi$, nous recouvrons l'espace de la variable, $\mathbb{D}_r$, avec deux secteurs et, au-dessus de chacun, nous choisissons une base de solutions du système déployé. Cette base sert à définir les matrices de Stokes déployées. Finalement, nous prouvons un théorème de réalisation des invariants qui satisfont une condition nécessaire et suffisante, identifiant ainsi l'ensemble des modules. / This thesis deals with the analytic classification of unfoldings of linear differential systems with an irregular singularity. It contains two papers related to this subject: the first paper presents results concerning the confluence of the hypergeometric equation and may be viewed as a particular case of the second one; the second paper contains the main theorems and results. In both papers, we study the confluence of two regular singular points into an irregular one and we give consequences of the divergence of solutions at the irregular singular point for the unfolded system. For this study, a full neighborhood of the origin is covered (in a ramified way) in the space of the unfolding parameter $\epsilon$. Monodromy of a well chosen basis of solutions around the regular singular points is directly linked to the unfolded Stokes matrices. These matrices give a complete geometric interpretation to the well-known Stokes matrices: this includes the link (existing at least for the generic cases) between the divergence of the solutions at $\epsilon=0$ and the presence of logarithmic terms in the solutions for resonant values of $\epsilon$. Monodromy of first integrals of related Riccati systems are also interpreted in terms of the elements of the unfolded Stokes matrices. The second paper goes further into the subject, giving the complete system of analytic invariants for the unfoldings of nonresonant linear differential systems $x^2y'=A(x)y$ with an irregular singularity of Poincaré rank $1$ at the origin over a fixed neighborhood $\mathbb{D}_r$ in the space of the variable $x$. It consists of a formal part, given by polynomials, and an analytic part, given by an equivalence class of unfolded Stokes matrices. For each parameter value $\epsilon$ taken in a sector pointed at the origin of opening larger than $2\pi$, we cover the space of the variable, $\mathbb{D}_r$, with two sectors and, over each of them, we construct a well chosen basis of solutions of the unfolded differential system. This basis is used to define the unfolded Stokes matrices. Finally, we give a realization theorem for the invariants satisfying a necessary and sufficient condition, thus identifying the set of modules.

Cette thèse traite de la classification analytique du déploiement de systèmes différentiels linéaires ayant une singularité irrégulière. Elle est composée de deux articles sur le sujet: le premier présente des résultats obtenus lors de l'étude de la confluence de l'équation hypergéométrique et peut être considéré comme un cas particulier du second; le deuxième contient les théorèmes et résultats principaux. Dans les deux articles, nous considérons la confluence de deux points singuliers réguliers en un point singulier irrégulier et nous étudions les conséquences de la divergence des solutions au point singulier irrégulier sur le comportement des solutions du système déployé. Pour ce faire, nous recouvrons un voisinage de l'origine (de manière ramifiée) dans l'espace du paramètre de déploiement $\epsilon$. La monodromie d'une base de solutions bien choisie est directement reliée aux matrices de Stokes déployées. Ces dernières donnent une interprétation géométrique aux matrices de Stokes, incluant le lien (existant au moins pour les cas génériques) entre la divergence des solutions à $\epsilon=0$ et la présence de solutions logarithmiques autour des points singuliers réguliers lors de la résonance. La monodromie d'intégrales premières de systèmes de Riccati correspondants est aussi interprétée en fonction des éléments des matrices de Stokes déployées. De plus, dans le second article, nous donnons le système complet d'invariants analytiques pour le déploiement de systèmes différentiels linéaires $x^2y'=A(x)y$ ayant une singularité irrégulière de rang de Poincaré $1$ à l'origine au-dessus d'un voisinage fixé $\mathbb{D}_r$ dans la variable $x$. Ce système est constitué d'une partie formelle, donnée par des polynômes, et d'une partie analytique, donnée par une classe d'équivalence de matrices de Stokes déployées. Pour chaque valeur du paramètre $\epsilon$ dans un secteur pointé à l'origine d'ouverture plus grande que $2\pi$, nous recouvrons l'espace de la variable, $\mathbb{D}_r$, avec deux secteurs et, au-dessus de chacun, nous choisissons une base de solutions du système déployé. Cette base sert à définir les matrices de Stokes déployées. Finalement, nous prouvons un théorème de réalisation des invariants qui satisfont une condition nécessaire et suffisante, identifiant ainsi l'ensemble des modules. / This thesis deals with the analytic classification of unfoldings of linear differential systems with an irregular singularity. It contains two papers related to this subject: the first paper presents results concerning the confluence of the hypergeometric equation and may be viewed as a particular case of the second one; the second paper contains the main theorems and results. In both papers, we study the confluence of two regular singular points into an irregular one and we give consequences of the divergence of solutions at the irregular singular point for the unfolded system. For this study, a full neighborhood of the origin is covered (in a ramified way) in the space of the unfolding parameter $\epsilon$. Monodromy of a well chosen basis of solutions around the regular singular points is directly linked to the unfolded Stokes matrices. These matrices give a complete geometric interpretation to the well-known Stokes matrices: this includes the link (existing at least for the generic cases) between the divergence of the solutions at $\epsilon=0$ and the presence of logarithmic terms in the solutions for resonant values of $\epsilon$. Monodromy of first integrals of related Riccati systems are also interpreted in terms of the elements of the unfolded Stokes matrices. The second paper goes further into the subject, giving the complete system of analytic invariants for the unfoldings of nonresonant linear differential systems $x^2y'=A(x)y$ with an irregular singularity of Poincaré rank $1$ at the origin over a fixed neighborhood $\mathbb{D}_r$ in the space of the variable $x$. It consists of a formal part, given by polynomials, and an analytic part, given by an equivalence class of unfolded Stokes matrices. For each parameter value $\epsilon$ taken in a sector pointed at the origin of opening larger than $2\pi$, we cover the space of the variable, $\mathbb{D}_r$, with two sectors and, over each of them, we construct a well chosen basis of solutions of the unfolded differential system. This basis is used to define the unfolded Stokes matrices. Finally, we give a realization theorem for the invariants satisfying a necessary and sufficient condition, thus identifying the set of modules.

Dans cette thèse, nous étudions le spectre conforme d'une surface fermée et le spectre de Steklov conforme d'une surface compacte à bord et leur application à la géométrie conforme et à la topologie. Soit (Σ, c) une surface fermée munie d'une classe conforme c. Alors la k-ième valeur propre conforme est définie comme Λ_k(Σ,c)=sup{λ_k(g) Aire(Σ,g)| g ∈ c), où λ_k(g) est la k-ième valeur propre de l'operateur de Laplace-Beltrami de la métrique g sur Σ. Notons que nous commeçons par λ_0(g) = 0. En prennant le supremum sur toutes les classes conformes C sur Σ on obtient l'invariant topologique suivant de Σ: Λ_k(Σ)=sup{Λ_k(Σ,c)| c ∈ C}. D'après l'article [65], les quantités Λ_k(Σ, c) et Λ_k(Σ) sont bien définies. Si une métrique g sur Σ satisfait λ_k(g) Aire(Σ, g) = Λ_k(Σ), alors on dit que g est maximale pour la fonctionnelle λ_k(g) Aire(Σ, g). Dans l'article [73], il a été montré que les métriques maximales pour λ_1(g) Aire(Σ, g) peuvent au pire avoir des singularités coniques. Dans cette thèse nous montrons que les métriques maximales pour les fonctionnelles λ_1(g) Aire(T^2, g) et λ_1(g) Aire(KL, g), où T^2 et KL dénotent le 2-tore et la bouteille de Klein, ne peuvent pas avoir de singularités coniques. Ce résultat découle d'un théorème de classification de classes conformes par des métriques induites d'une immersion minimale ramifiée dans une sphère ronde aussi montré dans cette thèse. Un autre invariant que nous étudions dans cette thèse est le k-ième invariant de Friedlander-Nadirashvili défini comme: I_k(Σ) = inf{Λ_k(Σ, c)| c ∈ C}. L'invariant I_1(Σ) a été introduit dans l'article [34]. Dans cette thèse nous montrons que pour toute surface orientable et pour toute surface non-orientable de genre impaire I_k(Σ)=I_k(S^2) et pour toute surface non-orientable de genre paire I_k(RP^2) ≥ I_k(Σ)>I_k(S^2). Ici S^2 et RP^2 dénotent la 2-sphère et le plan projectif. Nous conjecturons que I_k(Σ) sont des invariants des cobordismes des surfaces fermées. Le spectre de Steklov conforme est défini de manière similaire. Soit (Σ, c) une surface compacte à bord non vide ∂Σ, alors les k-ièmes valeurs propres de Steklov conformes sont définies comme: σ*_k(Σ, c)=sup{σ_k(g) Longueur(∂Σ, g)| g ∈ c}, où σ_k(g) est la k-ième valeur propre de Steklov de la métrique g sur Σ. Ici nous supposons que σ_0(g) = 0. De façon similaire au problème fermé, on peut définir les quantités suivantes: σ*_k(Σ)=sup{σ*_k(Σ, c)| c ∈ C} et I^σ_k(Σ)=inf{σ*_k(Σ, c)| c ∈ C}. Les résultats de l'article [16] impliquent que toutes ces quantités sont bien définies. Dans cette thèse on obtient une formule pour la limite de σ*_k(Σ, c_n) lorsque la suite des classes conformes c_n dégénère. Cette formule implique que pour toute surface à bord I^σ_k(Σ)= I^σ_k(D^2), où D^2 dénote le 2-disque. On remarque aussi que les quantités I^σ_k(Σ) sont des invariants des cobordismes de surfaces à bord. De plus, on obtient une borne supérieure pour la fonctionnelle σ^k(g) Longueur(∂Σ, g), où Σ est non-orientable, en terme de son genre et le nombre de composants de bord. / In this thesis, we study the conformal spectrum of a closed surface and the conformal Steklov spectrum of a compact surface with boundary and their application to conformal geometry and topology. Let (Σ,c) be a closed surface endowed with a conformal class c then the k-th conformal eigenvalue is defined as Λ_k(Σ,c)=sup{λ_k(g) Aire(Σ,g)| g ∈ c), where λ_k(g) is the k-th Laplace-Beltrami eigenvalue of the metric g on Σ. Note that we start with λ_0(g) = 0 Taking the supremum over all conformal classes C on Σ one gets the following topological invariant of Σ: Λ_k(Σ)=sup{Λ_k(Σ,c)| c ∈ C}. It follows from the paper [65] that the quantities Λ_k(Σ, c) and Λ_k(Σ) are well-defined. Suppose that for a metric g on Σ the following identity holds λ_k(g) Aire(Σ, g) = Λ_k(Σ). Then one says that the metric g is maximal for the functional λ_k(g) Aire(Σ, g). In the paper [73] it was shown that the maximal metrics for the functional λ_1(g) Aire(Σ, g) at worst can have conical singularities. In this thesis we show that the maximal metrics for the functionals λ_1(g) Aire(T^2, g) and λ_1(g) Aire(KL, g), where T^2 and KL stand for the 2-torus and the Klein bottle respectively, cannot have conical singularities. This result is a corollary of a conformal class classification theorem by metrics induced from a branched minimal immersion into a round sphere that we also prove in the thesis. Another invariant that we study in this thesis is the k-th Friedlander-Nadirashvili invariant defined as: I_k(Σ) = inf{Λ_k(Σ, c)| c ∈ C}. The invariant I_1(Σ) was introduced in the paper [34]. In this thesis we prove that for any orientable surface and any non-orientable surface of odd genus I_k(Σ)=I_k(S^2) and for any non-orientable surface of even genus I_k(RP^2) ≥ I_k(Σ)>I_k(S^2). Here S^2 and RP^2 denote the 2-sphere and the projective plane respectively. We also conjecture that I_k(Σ) are invariants of cobordisms of closed manifolds. The conformal Steklov spectrum is defined in a similar way. Let (Σ, c) be a compact surface with non-empty boundary ∂Σ then the k-th conformal Steklov eigenvalues is defined by the formula: σ*_k(Σ, c)=sup{σ_k(g) Longueur(∂Σ, g)| g ∈ c}, where σ_k(g) is the k-th Steklov eigenvalue of the metric g on Σ. Here we suppose that σ_0(g) = 0. Similarly to the closed problem one can define the following quantities: σ*_k(Σ)=sup{σ*_k(Σ, c)| c ∈ C} and I^σ_k(Σ)=inf{σ*_k(Σ, c)| c ∈ C}. The results of the paper [16] imply that all these quantities are well-defined. In this thesis we obtain a formula for the limit of the k-th conformal Steklov eigenvalue when the sequence of conformal classes degenerates. Using this formula we show that for any surface with boundary I^σ_k(Σ)= I^σ_k(D^2), where D^2 stands for the 2-disc. We also notice that I^σ_k(Σ) are invariants of cobordisms of surfaces with boundary. Moreover, we obtain an upper bound for the functional σ^k(g) Longueur(∂Σ, g), where Σ is non-orientable, in terms of its genus and the number of boundary components.