À toute variété de contact, on peut associer canoniquement une variété symplectique appelée sa symplectisation de sorte que la géométrie de contact peut se reformuler en termes de géométrie symplectique équivariante. Au sujet de cette construction fondamentale, une question basique restait ouverte : si deux variété de contact ont des symplectisations isomorphes sont-elles isomorphes ? On construit dans cette thèse des contre-exemples à cette question. Il existe en effet, en toute dimension impaire supérieure ou égale à 5, des variétés de contact non difféomorphes admettant pourtant des symplectisations isomorphes. On construit également, sur une même variété deux structures de contact non conjuguées par un difféomorphisme mais admettant des symplectisations isomorphes. Les démonstrations sont basées sur un phénomène bien connu en topologie différentielle (l'existence de h-cobordismes non triviaux, détectée par la torsion de Whitehead) ainsi que sur des résultats de flexibilité en géométrie symplectique dus à Cieliebak et Eliashberg. Un autre résultat de cette th?e affirme que ces variété de contact, bien que non isomorphes, le deviennent toutefois après un nombre suffisant de sommes connexes avec un produit de sphères. / To any contact manifold one can associate a symplectic manifold called its symplectisation in such a way that contact geometry can be reformulated in terms of equivariant symplectic geometry. Concerning this fundamental construction, a basic question remained open : if two contact manifolds have isomorphic symplectizations, are they isomorphic ? In this thesis, we construct counter-examples to this question. Indeed, in any odd dimension greater than or equal to 5, there exist non-diffeomorphic contact manifolds with isomorphic symplectisations. In addition, we construct two contact structures on a closed manifold that are not conjugate by a diffeomorphism though their symplectizations are isomorphic. The proofs are based on a well-known phenomenon in differential topology (the existence of non-trivial h-cobordisms, detected by Whitehead torsion) as well as flexibility results in symplectic geometry due to Cieliebak and Eliashberg. Another result from this thesis asserts that though these contact manifolds are not isomorphic, they become so after sufficiently many connect sum with a product of spheres.

This thesis consists of a summary of two papers dealing with questions related to Legendrian submanifolds of contact manifolds together with exact Lagrangian cobordisms between Legendrian submanifolds. The focus is on studying Legendrian submanifolds from the perspective of their handle decompositions. The techniques used are mainly from Symplectic Field Theory. In Paper I, a series of examples of Legendrian surfaces in standard contact 5-space are studied. For every g > 0, we produce g+1 Legendrian surfaces of genus g, all with g+1 transverse Reeb chords, which lie in distinct Legendrian isotopy classes. For each g, exactly one of the constructed surfaces has a Legendrian contact homology algebra admitting an augmentation. Moreover, it is shown that the same surface is the only one admitting a generating family. Legendrian contact homology with Novikov coefficients is used to classify the different Legendrian surfaces. In particular, we study their augmentation varieties. In Paper II, the effect of a Legendrian ambient surgery on a Legendrian submanifold is studied. Given a Legendrian submanifold together which certain extra data, a Legendrian ambient surgery produces a Legendrian embedding of the manifold obtained by surgery on the original submanifold. The construction also provides an exact Lagrangian handle-attachment cobordism between the two submanifolds. The Legendrian contact homology of the submanifold produced by the Legendrian ambient surgery is then computed in terms of pseudo-holomorphic disks determined by data on the original submanifold. Also, the cobordism map induced by the exact Lagrangian handle attachment is computed. As a consequence, it is shown that a sub-critical standard Lagrangian handle attachment cobordism induces a one-to-one correspondence between the augmentations of the Legendrian contact homology algebras of its two ends.

This thesis consists of three scientific papers dealing with invariants of Legendrian and Lagrangian submanifolds. Besides the scientific papers, the thesis contains an introduction to contact and symplectic geometry, and a brief outline of Symplectic field theory with focus on Legendrian contact homology. In Paper I we give an orientation scheme for moduli spaces of rigid flow trees in Legendrian contact homology. The flow trees can be seen as the adiabatic limit of sequences of punctured pseudo-holomorphic disks with boundary on the Lagrangian projection of the Legendrian. So to equip the trees with orientations corresponds to orienting the determinant line bundle of the dbar-operator over the space of Lagrangian boundary conditions on the punctured disk. We define an  orientation of this line bundle and prove that it is well-defined in the limit. We also prove that the chosen orientation scheme gives rise to a combinatorial algorithm for computing the orientation of the trees, and we give an explicit description of this algorithm. In Paper II we study exact Lagrangian cobordisms with cylindrical Legendrian ends, induced by Legendrian isotopies. We prove that the combinatorially defined DGA-morphisms used to prove invariance of Legendrian contact homology for Legendrian knots over the integers can be derived analytically.  This is proved using the orientation scheme from Paper I together with a count of abstractly perturbed flow trees  of the Lagrangian cobordisms. In Paper III we prove a flexibility result for closed, immersed Lagrangian submanifolds in the standard symplectic plane.

La géométrie symplectique et la géométrie complexe sont intimement liées, en particulier par les techniques asymptotiquement holomorphes de Donaldson et Auroux d'une part et par les travaux d’Eliashberget et Cieliebak sur la pseudoconvexité d'autre part. Les travaux présentés dans cette thèse sont motivés par ces deux liens. On donne d’abord la caractérisation symplectique suivante des constantes de Seshadri. Dans une variété complexe, la constante de Seshadri d’une classe de Kähler entière en un point est la borne supérieure des capacités de boules standard admettant, pour une certaine forme de Kähler dans cette classe, un plongement holomorphe et iso-Kähler de codimension 0 centré en ce point. Ce critère était connu de Eckl en 2014 ; on en donne une preuve différente. La deuxième partie est motivée par la question suivante de Donaldson : <<Toute sphère lagrangienne d'une variété projective complexe est-elle un cycle évanescent d'une déformation complexe vers une variété à singularité conique ?>> D'une part, on présente toute sous-variété lagrangienne close d’une variété symplectique/kählérienne close dont les périodes relatives sont entières comme lieu des minima d’une exhaustion <<convexe>> définie sur le complémentaire d'une section hyperplane symplectique/complexe. Dans le cadre kählérien, <<convexe>> signifie strictement plurisousharmonique tandis que dans le cadre symplectique, cela signifie de Lyapounov pour un champ de Liouville. D'autre part, on montre que toute sphère lagrangienne d'un domaine de Stein qui est le lieu des minima d’une fonction <<convexe>> est un cycle évanescent d'une déformation complexe sur le disque vers un domaine à singularité conique. / Symplectic geometry and complex geometry are closely related, in particular by Donaldson and Auroux’s asymptotically holomorphic techniques and by Eliashberg and Cieliebak’s work on pseudoconvexity. The work presented in this thesis is motivated by these two connections. We first give the following symplectic characterisation of Seshadri constants. In a complex manifold, the Seshadri constant of an integral Kähler class at a point is the upper bound on the capacities of standard balls admitting, for some Kähler form in this class, a codimension 0 holomorphic and iso-Kähler embedding centered at this point. This criterion was known by Eckl in 2014; we give a different proof of it. The second part is motivated by Donaldon’s following question: ‘Is every Lagrangian sphere of a complex projective manifold a vanishing cycle of a complex deformation to a variety with a conical singularity?’ On the one hand, we present every closed Lagrangian submanifold of a closed symplectic/Kähler manifold whose relative periods are integers as the lowest level set of a ‘convex’ exhaustion defined on the complement of a symplectic/complex hyperplane section. In the Kähler setting ‘complex’ means strictly plurisubharmonic while in the symplectic setting it refers to the existence of a Liouville pseudogradient. On the other hand, we prove that any Lagrangian sphere of a Stein domain which is the lowest level-set of a ‘convex’ function is a vanishing cycle of some complex deformation over the disc to a variety with a conical singularity.

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Soit Σ une surface compacte connexe orientée avec une seule composante du bord. Notons par M le groupe d'homéotopie de Σ. En considérant l'action de M sur le groupe fondamental de Σ, il est possible de définir différentes filtrations de M ainsi que des homomorphismes sur chaque terme de ces filtrations. Le but de cette thèse est double. En premier lieu, nous étudions deux filtrations de M : la " filtration de Johnson-Levine " introduite par Levine et la " filtration de Johnson alternative " introduite recemment par Habiro et Massuyeau. Les définitions de ces deux filtrations prennent en compte un corps en anses bordé par la surface. Nous nous référons à ces filtrations comme " filtrations de type Johnson " et les homomorphismes correspondants sont appelés " homomorphismes de type Johnson " par leur analogie avec la filtration de Johnson originale et les homomorphismes de Johnson usuels. Nous donnons une comparaison de la filtration de Johnson avec la filtration de Johnson-Levine au niveau du monoïde des cobordismes d'homologie de Σ. Nous donnons également une comparaison entre la filtration de Johnson alternative, la filtration Johnson-Levine et la filtration de Johnson au niveau du groupe d'homéotopie. Deuxièmement, nous étudions la relation entre les " homomorphismes de type Johnson" et l'extension fonctorielle de l'invariant perturbatif universel des variétés de dimension trois (l'invariant de Le-Murakami-Ohtsuki ou invariant LMO). Cette extension fonctorielle s'appelle le foncteur LMO et il prend ses valeurs dans une catégorie de diagrammes. Nous démontrons que les "homomorphismes de type Johnson " peuvent être lus dans la réduction arborée du foncteur LMO. En particulier, cela fournit une nouvelle grille de lecture de la réduction arborée du foncteur LMO. / Let Σ be a compact oriented surface with one boundary component and let M denote the mapping class group of Σ. By considering the action of M on the fundamental group of Σ it is possible to define different filtrations of M together with some homomorphisms on each term of the filtrations. The aim of this thesis is twofold. First, we study two filtrations of M : the « Johnson-Levine filtration » introduced by Levine and « the alternative Johsnon filtration » introduced recently by Habiro and Massuyeau. The definition of both filtrations involve a handlebody bounded by Σ. We refer to these filtrations as ≪ Johnson-type filtrations » and the corresponding homomorphisms have referred to as « Johnson-type homomorphisms » by their analogy with the original Johnson filtration and the usual Johnson homomorphisms. We provide a comparison of the Johnson filtration with the Johnson-Levine filtration at the level of the monoid of homology cobordisms of Σ. We also provide a comparison of the alternative Johnson filtration with the Johnson-Levine filtration and the Johnson filtration at the level of the mapping class group. Secondly, we study the relationship between the « Johnson-type homomorphisms » and the functorial extension of the universal perturbative invariant of 3-manifolds (the Le-Murakami-Ohtsuki invariant or LMO invariant). This functorial extension is calling the LMO functor and it takes values in a category of diagrams. We prove that the « Johnson-type homomorphisms » is in the tree reduction of the LMO functor. In particular, this provides a new reading grid of the tree reduction of the LMO functor.

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Dans cette thèse, nous étudions le spectre conforme d'une surface fermée et le spectre de Steklov conforme d'une surface compacte à bord et leur application à la géométrie conforme et à la topologie. Soit (Σ, c) une surface fermée munie d'une classe conforme c. Alors la k-ième valeur propre conforme est définie comme Λ_k(Σ,c)=sup{λ_k(g) Aire(Σ,g)| g ∈ c), où λ_k(g) est la k-ième valeur propre de l'operateur de Laplace-Beltrami de la métrique g sur Σ. Notons que nous commeçons par λ_0(g) = 0. En prennant le supremum sur toutes les classes conformes C sur Σ on obtient l'invariant topologique suivant de Σ: Λ_k(Σ)=sup{Λ_k(Σ,c)| c ∈ C}. D'après l'article [65], les quantités Λ_k(Σ, c) et Λ_k(Σ) sont bien définies. Si une métrique g sur Σ satisfait λ_k(g) Aire(Σ, g) = Λ_k(Σ), alors on dit que g est maximale pour la fonctionnelle λ_k(g) Aire(Σ, g). Dans l'article [73], il a été montré que les métriques maximales pour λ_1(g) Aire(Σ, g) peuvent au pire avoir des singularités coniques. Dans cette thèse nous montrons que les métriques maximales pour les fonctionnelles λ_1(g) Aire(T^2, g) et λ_1(g) Aire(KL, g), où T^2 et KL dénotent le 2-tore et la bouteille de Klein, ne peuvent pas avoir de singularités coniques. Ce résultat découle d'un théorème de classification de classes conformes par des métriques induites d'une immersion minimale ramifiée dans une sphère ronde aussi montré dans cette thèse. Un autre invariant que nous étudions dans cette thèse est le k-ième invariant de Friedlander-Nadirashvili défini comme: I_k(Σ) = inf{Λ_k(Σ, c)| c ∈ C}. L'invariant I_1(Σ) a été introduit dans l'article [34]. Dans cette thèse nous montrons que pour toute surface orientable et pour toute surface non-orientable de genre impaire I_k(Σ)=I_k(S^2) et pour toute surface non-orientable de genre paire I_k(RP^2) ≥ I_k(Σ)>I_k(S^2). Ici S^2 et RP^2 dénotent la 2-sphère et le plan projectif. Nous conjecturons que I_k(Σ) sont des invariants des cobordismes des surfaces fermées. Le spectre de Steklov conforme est défini de manière similaire. Soit (Σ, c) une surface compacte à bord non vide ∂Σ, alors les k-ièmes valeurs propres de Steklov conformes sont définies comme: σ*_k(Σ, c)=sup{σ_k(g) Longueur(∂Σ, g)| g ∈ c}, où σ_k(g) est la k-ième valeur propre de Steklov de la métrique g sur Σ. Ici nous supposons que σ_0(g) = 0. De façon similaire au problème fermé, on peut définir les quantités suivantes: σ*_k(Σ)=sup{σ*_k(Σ, c)| c ∈ C} et I^σ_k(Σ)=inf{σ*_k(Σ, c)| c ∈ C}. Les résultats de l'article [16] impliquent que toutes ces quantités sont bien définies. Dans cette thèse on obtient une formule pour la limite de σ*_k(Σ, c_n) lorsque la suite des classes conformes c_n dégénère. Cette formule implique que pour toute surface à bord I^σ_k(Σ)= I^σ_k(D^2), où D^2 dénote le 2-disque. On remarque aussi que les quantités I^σ_k(Σ) sont des invariants des cobordismes de surfaces à bord. De plus, on obtient une borne supérieure pour la fonctionnelle σ^k(g) Longueur(∂Σ, g), où Σ est non-orientable, en terme de son genre et le nombre de composants de bord. / In this thesis, we study the conformal spectrum of a closed surface and the conformal Steklov spectrum of a compact surface with boundary and their application to conformal geometry and topology. Let (Σ,c) be a closed surface endowed with a conformal class c then the k-th conformal eigenvalue is defined as Λ_k(Σ,c)=sup{λ_k(g) Aire(Σ,g)| g ∈ c), where λ_k(g) is the k-th Laplace-Beltrami eigenvalue of the metric g on Σ. Note that we start with λ_0(g) = 0 Taking the supremum over all conformal classes C on Σ one gets the following topological invariant of Σ: Λ_k(Σ)=sup{Λ_k(Σ,c)| c ∈ C}. It follows from the paper [65] that the quantities Λ_k(Σ, c) and Λ_k(Σ) are well-defined. Suppose that for a metric g on Σ the following identity holds λ_k(g) Aire(Σ, g) = Λ_k(Σ). Then one says that the metric g is maximal for the functional λ_k(g) Aire(Σ, g). In the paper [73] it was shown that the maximal metrics for the functional λ_1(g) Aire(Σ, g) at worst can have conical singularities. In this thesis we show that the maximal metrics for the functionals λ_1(g) Aire(T^2, g) and λ_1(g) Aire(KL, g), where T^2 and KL stand for the 2-torus and the Klein bottle respectively, cannot have conical singularities. This result is a corollary of a conformal class classification theorem by metrics induced from a branched minimal immersion into a round sphere that we also prove in the thesis. Another invariant that we study in this thesis is the k-th Friedlander-Nadirashvili invariant defined as: I_k(Σ) = inf{Λ_k(Σ, c)| c ∈ C}. The invariant I_1(Σ) was introduced in the paper [34]. In this thesis we prove that for any orientable surface and any non-orientable surface of odd genus I_k(Σ)=I_k(S^2) and for any non-orientable surface of even genus I_k(RP^2) ≥ I_k(Σ)>I_k(S^2). Here S^2 and RP^2 denote the 2-sphere and the projective plane respectively. We also conjecture that I_k(Σ) are invariants of cobordisms of closed manifolds. The conformal Steklov spectrum is defined in a similar way. Let (Σ, c) be a compact surface with non-empty boundary ∂Σ then the k-th conformal Steklov eigenvalues is defined by the formula: σ*_k(Σ, c)=sup{σ_k(g) Longueur(∂Σ, g)| g ∈ c}, where σ_k(g) is the k-th Steklov eigenvalue of the metric g on Σ. Here we suppose that σ_0(g) = 0. Similarly to the closed problem one can define the following quantities: σ*_k(Σ)=sup{σ*_k(Σ, c)| c ∈ C} and I^σ_k(Σ)=inf{σ*_k(Σ, c)| c ∈ C}. The results of the paper [16] imply that all these quantities are well-defined. In this thesis we obtain a formula for the limit of the k-th conformal Steklov eigenvalue when the sequence of conformal classes degenerates. Using this formula we show that for any surface with boundary I^σ_k(Σ)= I^σ_k(D^2), where D^2 stands for the 2-disc. We also notice that I^σ_k(Σ) are invariants of cobordisms of surfaces with boundary. Moreover, we obtain an upper bound for the functional σ^k(g) Longueur(∂Σ, g), where Σ is non-orientable, in terms of its genus and the number of boundary components.