Le contexte de cette thèse est le problème inverse de la théorie de Galois et en particulier son approche moderne qui consiste à trouver des points rationnels sur des espaces de modules de G-revêtements. Nous nous intéressons plus précisément aux composantes irréductibles des espaces de Hurwitz et à leurs corps de définition. Nos résultats permettent de construire, quel que soit le groupe fini, de telles composantes définies sur Q. Notre méthode laisse de plus une grande latitude quant au type de ramification des revêtement. Ces composantes sont obtenues par déformation de certains revêtements du bord des espaces de modules. Enfin, ces composantes sont aussi compatibles dans une tour d'espaces de Hurwitz ; nous obtenons des systèmes projectifs de composantes de la tour modulaire définis sur Q. / The context of this thesis is the inverse Galois problem and in particular modern approach of finding rational points on moduli spaces of G-covers. We focus more precisely the components irrédutibles Hurwitz spaces and their field of definition. For any finite group, we can construct such components defined on Q. Our method allows one more flexibility in the type of ramification of the cover. These components are obtained by deformation of certain covers in the border of the moduli spaces. Finally, these components are also compatible in a tower of Hurwitz spaces, we obtain projective systems of components of the modular tower defined on Q.

Le principal objectif de la thèse est l'étude des relations entre les différents espaces des moduIes provenant de connections sur des fibrés vectoriels sur des variétés algébriques. Les classes suivantes de connections sont considérées: la classe des connections méromorpbes avec diviseur de pôles fixè D et ses sous-classes des connections intégrables, connections logarithmiques intégrables et connections logarithmiques intégrables avec une structure parabolique sur D. La question la plus fascinante est la relation entre l'espace des modules des connections et celui des fibrés vectoriels sous-jacents. L'application naturelle oubliant la seconde composante de la paire (fibré vectoriel, connection) est bien définie uniquement au-dessus du lieu des fibrés vectoriels semistables, puisque uniquement ceux-ci ont une théorie de modules conséquente. La première partie de la thèse fournit un exemple pratique d'une famille de connections logarithmiques de rang 2 sur une courbe elliptique, pour laquelle la question de la (semi)stabiIilé des fibrés vectoriels sous-jacents est complètement résolue. Les connections logarithmiques sous considération sont les images directes de connections régulières sur des fibrés en droites au-dessus de revêtements doubles de genre 2 de la courbe elliptique, appelés bielliptiques. Nous donnons une paramétrisation explicite de telles connections, déterminons leur monodromie et leur groupe de Galois différentiel. Le fibré vectoriel sous-jacent de rang 2 est décrit en termes de transformées élémentaires et d'applications birationnelles des surfaces réglées. Dans la seconde partie, nous construisons les espaces de Kuranishi (ou déformations verselles) pour les quatre classes de connections. Les espaces tangents et les espaces d'obstructions de la théorie des déformations sont définis comme l'hypercohomologie d'un complexe approprié de faisceaux, et l'espace de Kuranishi est une fibre de l'application d'obstruction formelle. Dans la troisième partie, nous esquissons la construction de GlT des espaces des moduIes pour les quatre classes de connections et utilisons le théorème des slices étales de Luna pour représenter le germe de l'espace des moduIes des connections comme le quotient de l'espace de Kuranishi par le groupe des automorphismes de la fibre centrale. Cette méthode est utilisée pour déterminer les singularités de l'espace des modules des connections dans des exemples, en particulier, ceux provenant des courbes bielliptiques. / The logarithmic connections studied in Chapter 1 are direct images of regular connections on line bundles over genus-2 double covers of the elliptic curve. We give an explicit parametrization of ail such connections, determine their monodromy, differential Galois group and the underlying rank-2 vector bundle. The latter is described in terms of elementary transforms. The question of its (semi)-stability is addressed. ln Chapter 2, we construct the Kuranishi spaces (or versai deformations) for the four connection classes: the class of meromorphic connections with fixed divisor of poles D and its subclasses of integrable. integrable logarithmic and integrable logarithmic connections with a parabolic structure over D. ln Chapter 3, we use the Kuranishi spaces to describe the local structure of the moduli spaces of connections and their relation to the moduli spaces of underlying vector bundles.

On étudie des courbes munie de séries linéaires qui sont exceptionnelles vis-à-vis leurs plans sécants. En travaillant dans le cadre d'une extension de la théorie de Brill--Noether aux paires de séries linéaires, on démontre qu'une courbe générale de genre g n'a aucune plan sécant exceptionnel. On traite aussi le calcul du nombre de séries linéaires ayant des plans sécants exceptionnels dans une famille à une paramètre en termes de classes tautologiques associées à la famille. On formule une conjecture sur les fonctions génératrices des coefficients tautologiques des formules multisécantes correspondantes dans le cas de séries $g^{2d-1}_m$ admettant des $(d-2)$-plans $d$-sécants, avec $d$ variable. On décrit aussi une stratégie pour calculer les classes de diviseurs sécant-exceptionnels dans le groupe de Picard de l'espace des modules des courbes pour deux familles d'exemples naturelles, et on obtient une formule pour le nombre de séries linéaires ayant des plans sécants exceptionnels sur une courbe générale munie d'une famille 1-dimensionnelle de séries linéaires.

La thèse présente une construction de variétés holomorphiquement symplectiques singulières comme fibrations lagrangiennes. Celles-ci sont des variétés de Prym compactifiées relatives associées aux courbes sur des surfaces symplectiques avec une involution antisymplectique. Elles sont identifiées au lieu fixe d'une involution symplectique sur des espaces de modules de faisceaux de dimension 1. Un exemple explicite d'une variété symplectique irréductible de dimension 6 singulière et sans résolution symplectique est décrit pour une surface K3 qui est un revêtement double d'une surface cubique. Pour surfaces abéliennes, une variation de la construction est étudiée pour obtenir des variétés symplectiques irréductibles: variétés 0-Prym compactifiées relatives. Un résultat partiel est obtenu pour involutions sans points fixes: soit la variété 0-Prym est birationnelle à une variété symplectique irréductible de K3[n]-type, soit elle n'admet pas de résolutions symplectiques. / The thesis presents a construction of singular holomorphically symplectic varieties as Lagrangian fibrations. They are relative compactified Prym varieties associated to curves on symplectic surfaces with an antisymplectic involution. They are identified with the fixed locus of a symplectic involution on singular moduli spaces of sheaves of dimension 1. An explicit example, giving a singular irreducible symplectic 6-fold without symplectic resolutions, is described for a K3 surface which is the double cover of a cubic surface. In the case of abelian surfaces, a variation of this construction is studied to get irreducible symplectic varieties: relative compactified 0-Prym varieties. A partial classification result is obtained for involutions without fixed points: either the 0-Prym variety is birational to an irreducible symplectic variety of K3[n]-type, or it does not admit symplectic resolutions.

On construit de nouvelles connexions quantiques intégrables dans fibrés vectoriels au-dessus d'espaces de modules de surfaces de Riemann et de leurs généralisations sauvages, en utilisant deux approches différentes. Premièrement, on utilise la quantification par déformation pour construire de nouvelles connexions intégrables à partir d'Hamiltoniennes d'isomonodromie irrégulières, dans l'esprit de Reshetikhin de la dérivation de la connexion de Knizhnik-Zamolodchikov à partir des Hamiltoniennes de Schlesinger. Deuxièmement, on construit une version complexe de la connexion de Hitchin pour la quantification géométrique de l'espace de modules de Hitchin sur une surface de genre un, par rapport au groupe SL(2,C) et à des polarisations Kähleriennes, en complémentant l'approche par polarisations réelles de Witten. Finalement, on utilise la transformée de Bargmann pour dériver une formule pour la connexion de Hitchin-Witten dans le fibré vectoriel des sections holomorphes, et pour transformer l'action de Hitchin en une transformée sur l'espace de Segal--Bargmann, basée sur les états cohérents. / We construct new flat quantum connections on vector bundles over moduli spaces of Riemann surfaces and their wild generalisations, using two different approaches. Firstly, we use deformation quantisation to construct new flat connections from irregular isomonodromy Hamiltonians, in the spirit of Reshetikhin's derivation of the Knizhnik-Zamolodchikov connection from the Schlesinger Hamiltonians. Secondly, we construct a complex version of the Hitchin connection for the geometric quantisation of the Hitchin moduli space over a surface of genus one, with respect to the group SL(2,C) and to Kähler polarisations, complementing Witten's real polarisation approach. Finally, we use the Bargmann transform to derive a formula for the connection of Hitchin-Witten on the vector bundle of holomorphic sections, and to turn Hitchin's action into a transform on the Segal--Bargmann space, which relies on coherent states.

On étudie des familles rigides de connexions de selles sur des surfaces de demi-translation. Les configurations correspondantes sont une première étape pour comprendre la géométrie à l'infini des strates de l'espace des modules des différentielles quadratiques. On étend un résultat de Masur et Zorich en classifiant ces configurations pour chaque composante connexe de strate dès que le genre est supérieur à cinq. <br /><br />On regarde ensuite de façon plus fine des dégénérescences particulières et on prouve en particulier qu'une strate n'admet qu'un seul bout topologique lorsque le genre est zéro.<br /><br />Le lien entre surfaces de translation et échanges d'intervalles fournit un outil puissant pour l'étude du flot de Teichmüller. On propose une généralisation de cette représentation au cadre des différentielles quadratiques. On relie les propriétés géométriques et dynamiques de ces applications à des critères combinatoires explicites portant sur les permutations généralisées associées.

Cette thèse se compose de deux parties: dans la première on démontre une généralisation du théorème de Gabriel sur les faisceaux cohérents au cas des faisceaux cohérents tordus. Plus précisément, on démontre que tout schéma noethérien X peut être reconstruit à partir de sa catégorie abélienne Coh(X,\alpha) des faisceaux cohérents tordus par un élément \alpha du groupe de Brauer cohomologique de X. Dans la deuxième partie on étudie les deux espaces des modules M_{10} et M_{6} introduits par O'Grady, qu'il utilise pour obtenir ses deux nouveaux examples de variétés irréductibles symplectiques de dimension 10 et 6 respectivement. On calcule les groupes de Picard de M_{10} et M_{6}, et on démontre que ces deux variétés ne sont pas localement factorielles, mais 2-factorielles. Ceci est accompli en utilisant les résultats de Rapagnetta sur la cohomologie et la forme de Beauville-Bogomolov de M_{10} et M_{6}, et en étudiant les propriétés du morphisme de Le Potier dans ces deux cas.

Il existe de nombreuses situations où des objets géométriques ou topologiques (comme les configurations de points du plan, les applications lisses entre variétés, les hypersurfaces projectives complexes) sont paramétrés par des éléments d'un espace vectoriel. Un discriminant (généralisé) est un sous-ensemble formé des éléments singuliers (dans un sens à préciser) d'un tel espace vectoriel. Par la dualité d'Alexander, les groupes de cohomologie du complémentaire d'un discriminant sont isomorphes aux groupes d'homologie de Borel-Moore du discriminant même. Souvent, ces derniers groupes peuvent être calculés en utilisant une certaine résolution naturelle du faisceau constant sur le discriminant ; par référence à leur construction, ces <br />résolutions sont parfois appelées coniques.<br /><br />Dans cette thèse, nous généralisons la méthode des résolutions coniques qui a été proposée par V. A. Vassiliev afin d'étudier la cohomologie des espaces des hypersurfaces projectives lisses complexes. Notre construction se base sur les relations d'inclusion entre les lieux singuliers plutôt qu'entre les systèmes linéaires correspondants. Cela nous permet d'effectuer certains calculs qui semblent être hors de portée de l'approche originelle. Pour illustrer notre méthode, nous calculons la cohomologie rationnelle de l'espace des courbes lisses complexes planes de degré 5, de l'espace des courbes bielliptiques lisses sur une quadrique non dégénérée dans l'espace projectif complexe de dimension 3, ainsi que de l'espace des courbes cubiques réelles lisses planes.<br /><br />La thèse contient un appendice où l'on démontre le résultat suivant. Supposons que le cercle est muni d'un atlas où tous les changements de cartes sont des homographies ; alors ce cercle borde une surface orientable munie d'un atlas où tous les changements de cartes sont aussi des homographies (à coefficients<br />complexes cette fois-ci) et sont compatibles dans le sens évident avec les applications de changement de cartes sur le bord. Dans l'appendice, nous montrons également que la classification des structures projectives sur le cercle donnée il y a longtemps par N. Kuiper n'est pas tout à fait correcte, et nous complétons cette classification.

L'ensemble des opérateurs de Cauchy-Riemann réels sur un fibré vectoriel complexe N muni d'une structure réelle cN au-dessus d'une courbe réelle est un espace affine de dimension infinie. L'union des déterminants de ces opérateurs est un fibré en droites réelles au-dessus de cet espace. L'objet de cette thèse est l'étude de l'action des automorphismes du fibré (N, cN) sur les orientations de ce fibré déterminant ainsi que de ses conséquences sur l'orientabilité des espaces de modules de courbes réelles dans une variété symplectique réelle. Nous commençons par interpréter l'action des automorphismes qui induisent l'identité sur le fibré en droites complexes det(N) en termes d'action sur les structures Pin± de la partie réelle de N. Nous remarquons ensuite qu'un automorphisme au-dessus de l'identité agit sur les classes de bordisme de structures Spin réelles de la courbe et nous utilisons cette action afin d'obtenir une description en termes topologiques de l'action sur les orientations du fibré déterminant. Enfin, pour comprendre l'action des automorphismes de (N, cN) qui ne relèvent pas l'identité, nous introduisons la notion de relevé d'un difféomorphisme de la courbe associé à un diviseur compatible avec (N, cN) et nous calculons le signe de l'action d'un tel relevé sur les orientations du fibré déterminant. Dans une dernière partie, nous appliquons les résultats obtenus à l'étude de l'orientabilité des espaces de modules de courbes réelles dans des variétés symplectiques réelles. Nous calculons en particulier la première classe de Stiefel-Whitney de l'espace de modules des courbes réelles dans l'espace projectif complexe de dimension trois.

Un principal résultat de la thèse est une preuve conceptionnelle du fait que le nombre pondéré de courbes tropicales de degré et genre donnés qui passent par le bon nombre de points en position générale dans $\RR^2$ (resp., qui passent par le bon nombre de points en position générale dans $ \RR^r $ et représentent un point fixé dans l'espace de modules de courbes tropicales abstraites de genre g ) ne dépend pas du choix de points. Un autre principal résultat est un nouveau théorème de correspondance entre les cycles tropicaux plans et les courbes algébriques elliptiques planes.