Estudamos a estabilidade de equações diferenças usando o Método Direto de Lyapunov e estendemos os resultados através do Princípio de Invariância de La Salle. Apresentamos generalizações e ilustrações de aplicação destes resultados. / We study the stability of difference equations by using Lyapunov's Direct Method and we extend the results through La Salle's Invariance Principie. Generalizations and representative examples of the application of these results are given.

Este trabalho é o resultado do nosso interesse em estudar os princípios fundamentais que envolvem a questão do desenvolvimento sustentável, mais especificamente a questão do gerenciamento econômico ótimo de recursos biológicas renováveis. Modificamos modelos populacionais extremamente simples incluímos retirada contínua. Em relação à pesca, examinamos com maior detalhe o modelo de produção geral de Schaefer. Calculamos e analisamos a estabilidade linear em cada ponto de equilíbrio dos sistemas com os quais trabalhamos. O comportamento dinâmico global é obtido pela integração numérica. A partir da modelagem de exploração de recursos biológicos, introduzimos o conceito de produção máxima sustentável (MSY), que é o objetivo de muitas agências de gerenciamento de recursos renováveis. Após observarmos a ineficiência da NI SY por não incorporar os custos de exploração de recursos, estudamos o modelo bioeconômico de Gordon, e a definição de produção máxima econômica (M EY). Aprendemos da teoria econômica padrão o conceito de "desconto" , que reflete o valor do tempo, e então o problema dinâmico é formulado para determinar a função que ma.ximize o valor presente descontado. Após uma breve discussão sobre o problema variacionallinear e a teoria de controle, concluímos que, ao considerar os custos de exploração e o valor do tempo, a política de retirada ótima consiste na política de aproximação mais rápida (M RAP) ao nível do estoque de equilíbrio ótimo, ao qual corresponde a produção econômica ótima (OEY). Como casos especiais, observamos que se ambos os custos de exploração e a taxa de desconto forem nulos, então a NI SY é ótima; e se a taxa de desconto for zero mas o custo de exploração for maior que zero, então a 1\1 EY é ótima. Finalmente, incluímos também um exemplo baseado no modelo de Schaefer, no qual podemos observar que o nível do estoque de equilíbrio ótimo pode ser muito sensível à taxa do desconto. / We are interested in studying the fundamental principies underlying the problem of sustainable development, more specifically the economics of optimal management of biological renewable resources harvesting. Vi/e modify extremely simple population models to allow for continuous harvesting. Concerning fisheries, we examine in greater detail the Schaefer's general production model. We calculate and develop the linear stability analysis for each equilibrium state of the systems we are concerned with. The global dynamic behavior is obtained by numerical integration. From the modeling of biological resource exploitation, we introduce the Maximum Sustainable Yield (MSY) concept, which is the objective of many resource management agencies. After realizing the failure of MSY to incorporate costs of resource exploitation, we study the bioeconomic Gordon's model and the definition of Maximum Economic Yíeld (MEY). We learn from standard economic theory the "discounting" concept, for reflecting the "value of time" , and so the dynamic problem is formulated as to determine the function effort that maximizes the discounted present value. After a brief discussion about linear variational problem and control theory, we conclude that, when both exploitation costs and value of time are considered, the optimal harvest policy consists of the most rapid approach policy (MRAP) to the optimal equilibrium stock level, corresponding to the Optimal Economic Yield (OEY). As special cases, we observe that if both exploitation costs and the discount rate are zero, then MSY is optimal; and if the discount rate is zero but the costs are greater than zero, then MEY is optimal. Finally, we also include examples based on the Schaefer model, from which we can observe that the optimal equilibrium stock level can be quite sensitive to the rate of discount.

Neste trabalho analisamos a influência da migração sobre a homogeneidade em metapopulações com e sem estrutura etária, modeladas como sistemas discretos no tempo e no espaço. A análise é feita através de comparações entre o comportamento do modelo acoplado e o comportamento do modelo local. Para populações sem estrutura etária, mostramos como um mecanismo de migração dependente da densidade pode desestabilizar o ponto de equilíbrio homogêneo de um sistema desacoplado estável, fornecendo exemplos que ilustram quão facilmente isto pode ocorrer. Além disto, para o caso de uma rede unidimensional em anel, obtemos uma condição para a estabilidade do estado síncrono. Em tal estado a homogeneidade na metapopulação é mantida pela sincronia entre os sítios. A condição obtida é dada por uma expressão simples que envolve a fração migratória, tamanho da rede e o número de Lyapunov do modelo local. Para populações com estrutura etária, consideramos uma rede unidimensional em anel com taxas de migração específicas para cada classe e movimentos migratórios entre os dois sítios próximos. Mostramos que um mecanismo de migração dependente somente da idade dos indivíduos não pode vir a estabilizar o ponto de equilíbrio homogêneo de um sistema previamente instável na ausência de migração. Por outro lado, é também demonstrado que um mecanismo de migração fortemente relacionado com a idade dos indivíduos pode vir a instabilizar um conjunto desacoplado de populações estáveis, o que caracteriza a migração como um processo desestabilizador. / In this work we analyze the migration effects on the homogeneity in metapopulations with and without age structure, modeled as discrete time and space systems. The analysis is done through comparisons between the behavior of the coupled and uncoupled models. For populations with nonoverlapping generations, we show how a density dependent migration mechanism can drive the homogeneous equilibrium of a uncoupled stable system to instability, providing examples illustrating how easily this can occur. Besides that, we have obtained a condition for the stability of the synchronized state in a unidimensional metapopulation ring. In such state the homogeneity is maintained by the synchronism of the patches orbits. The resulting condition is given by a simple mathematical expression involving the metapopulation size, the migration fraction and the Lyapunov number for the local model. For age structured populations, we consider a unidimensional array with age dependent rnigration fraction. We show that a migration mechanism which depends only on age can not stabilize a previously unstable homogeneous equilibrium. On the other hand, it is also shown that a strongly related with age rnigration mechanism can drive a stable uncoupled system to instability, which characterizes the migration as a destabilizing effect.

O estudo de sincronização de sistemas metapopulacionais tem despertado interesse em muitos estudiosos na área de biologia matemática, uma vez que é a partir da sincronização que podemos avaliar e prever o risco da extinção de espécies. Este presente trabalho propõe estudar os fatores que causam o fenômeno da sincronização de um modelo metapopulacional de uma única espécie, composta por n sítios discretos no tempo e no espaço, com taxa de reprodutividade intrínseca dependente do tempo. Consideramos a configuração da rede em forma de anéis cíclicos, matriz de iteração simétrica e migração independente da densidade. Apresentamos condições que o sistema deve satisfazer para obtermos sincronização, a qual é determinada por dois parâmetros distintos: o número de Lyapunov, que está relacionado à dinâmica local, e Lambda, que está relacionado à migração. O produto desses dois parâmetros estabelece um critério para estabilidade local assintótica de órbitas caóticas, possibilitando ou não a sincronia do sistema. Apresentamos resultados numéricos com a taxa de reprodução dependente do tempo através de medidas de distribuição, a fim de analisarmos o comportamento do modelo e a verificação do critério analítico para a sincronização. / The study of synchronization metapopulations systems has aroused interest in many scholars in the field of mathematical biology, since it is important to evaluate to evaluate and predict the risk of global extinction. The present work proposes to study the factors causing the phenomenon of synchronization of a metapopulation model of a single species, with n discrete patches in time and space, with intrinsic reproductive rate dependent on time. We consider the network configuration in the form of cyclic rings, symmetric iteration matrix and migration independent of density. We present conditions that the system must satisfy to obtain synchronization, which is determined by two distinct parameters: the number of Lyapunov, which is related to local dynamics, and Lambda, which is related to migration. The product of these two parameters provides a criterion for the local asymptotic stability of chaotic orbits, allowing or not the system synchronization. We present numerical results with the rate of reproduction time-dependent through distribution measures, in order to analyze the behavior of the model and verification of the analytical criterion for synchronization.

O estudo de propagação de epidemias tem gerado uma série de trabalhos propondo distintos modelos que buscam representar possíveis cenários para que se possa ter um maior controle sobre a propagação. O grande objetivo destes estudos _e a capacidade de não somente reproduzir a evolução de epidemias passadas mas poder prever e, na medida do possível, evitar o surgimento de novos surtos epidêmicos ou erradicar um estado endêmico. Boa parte destes trabalhos utilizam como base o modelo Suscetível-Infectante-Removido, ou modelo SIR, de Kermack e McKendrick. No entanto, abordagens semelhantes porém via modelos matemáticos e simulações computacionais têm apresentado distintos comportamentos devido ao fato de que o primeiro assume uma taxa de remoção constante, o que representa uma distribuição exponencial do período de infecção na população, enquanto as simulações em geral utilizam um período de infecção fixo e idêntico para todos os indivíduos da população. Em função disto, utilizamos um modelo matemático que vem a ser uma generalização do modelo SIR utilizando equações com atraso, de forma que podemos inserir explicitamente o tipo de distribuição nas equações. Desta forma, vimos que o modelo matemático consegue reproduzir tanto o comportamento temporal médio das simulações para diversas distribuições como também reproduz o resultado do modelo SIR original quando é utilizada uma distribuição exponencial. Fizemos estas comparações tanto para os modelos sem dinâmica vital como para os modelos em que tal dinâmica está presente e vimos que o modelo com atraso sempre consegue reproduzir o comportamento médio das simulações para as distribuições testadas. Além disto, vimos que a evolução temporal da epidemia depende fortemente da distribuição do período de infecção, e que no caso em que a dinâmica vital está presente esta dependência também aparece no limiar epidêmico e no estado endêmico. Como este modelo permite inserir a distribuição populacional do período de infecção, o aplicamos para estudar políticas de tratamento em que o efeito deste leva à redução do período de infecção e vimos que é possível determinar a fração mínima da população que deve receber tratamento para que uma situação de epidemia iminente seja contida. Embora o modelo SIR seja muito útil para modelar uma grande variedade de doenças, ele se aplica somente aquelas em que os indivíduos infectados adquirem imunidade permanente ou morrem com a enfermidade. No entanto, existe uma classe de doenças na qual esta imunidade adquirida é apenas temporária, onde os indivíduos voltam a ser suscetíveis após transcorrido um certo período de tempo. Tais doenças possuem uma evolução t__- pica representada pelo modelo Suscetível-Infectante-Recuperado-Suscetível, ou modelo SIRS. Estas doenças normalmente apresentam um quadro endêmico com surtos epidêmicos cíclicos. A existência de tais oscilações em epidemias é, há muito tempo, um desafio para a formulação de modelos epidemiológicos. Se elas são resultado de agentes externos e sazonais, ou se surgem da dinâmica intrínseca da doença é uma questão em aberto. É sabido que termos de atraso temporal fixos desestabilizam o estado estacionário do modelo SIRS padrão, dando origem a oscilações sustentadas para certos valores dos parâmetros epidemiológicos. Neste trabalho, partindo do modelo SIRS padrão, estudamos uma generalização dos termos relativos ao tempo em que os agentes permanecem infectantes ou imunes. Apresentamos diagramas de oscilação (para as amplitudes e períodos de oscilação) em termos dos parâmetros do modelo, que mostram como a forma das distribuições destes tempos característicos (de infectividade e imunidade) influencia as oscilações. A formulação é feita em termos de equações diferenciais com atraso analisadas através de integração numérica e linearização. Também apresentamos uma simulação deste modelo ressaltando onde ela reforça os resultados do modelo determinístico e, onde isto não ocorre, o porque das divergências. Além destes modelos de campo médio, construímos um modelo de agentes para estudarmos a influência da mobilidade dos agentes na propagação de uma doença com dinâmica Suscetível-Infectante-Suscetível (SIS). Neste modelo, ao definirmos a taxa reprodutiva básica da doença com base nos parâmetros relevantes, vimos que a dependência do estado endêmico segue a mesma regra dos modelos de campo médio, porém o limiar epidêmico _e o mesmo que se obtém para a aplicação do modelo SIS em uma rede bidimensional. Outro resultado importante desta abordagem é o fato de que, dependendo da densidade de agentes, é possível obter estados endêmicos oscilatórios, que é o que em geral se vê na realidade mas que não _e reproduzido nos modelos de campo médio, apenas em modelos em que os contatos entre os agentes é definido através de uma rede. / The study of epidemic propagation has generated a series of researches proposing di erent models that tries to represent possible scenarios so that we could have more control over the propagation process. The aim of these studies is the ability not only of reproducing past epidemic evolutions but to forecast and, if possible, avoid new epidemic bursts or eradicate endemic states. Most of the research n this area are based on the Susceptible-Infective- Removed model, or SIR model, proposed by Kermack and McKendrick. Nevertheless, similar approaches using mathematical models or computational simulations have presented distinct behavior due to the fact that the rst assumes a constant removal rate, which represents an exponential distribution of the infectious period in the population, while simulations in general uses a xed infectious period identical to each individual in the population. In view of that, we have used a mathematical model which is a generalization of the SIR model using delayed equations, so that we can insert those time distributions explicitly into the equations. With this model, we show that the mathematical model can reproduce the average behavior of the time evolution given by simulations for several distributions and also the standard SIR model when we use an exponential distribution. We have done comparisons for model with and without vital dynamics and we show that the model with time delay can always reproduce the mean behavior of the simulations for all distributions tested. In addition, we can see that the time evolution of the epidemic spread is highly dependent on the infectious period distribution. When adding vital dynamics this dependence is also present in the epidemic threshold and endemic state. Given that this model allows us to use the population distribution of the infectious period, we applied it to study treatment policies where the e ect of such treatment reduces this period and we show that is possible to determine the minimum fraction of the population that must be treated in order to prevent an epidemic burst or an endemic state. Although the SIR model is very useful to model a great variety of diseases, it can only be applied to those where the infected individuals acquire permanent immunity or die with the disease. Nevertheless, there is a huge class of diseases where the acquired immunity is only temporary, so that the individuals become susceptible again after a given period. Such diseases have a typical evolution represented by the Susceptible-Infective- Removed-Susceptible model, or SIRS model. They usually have an endemic state with cyclic epidemic bursts. The existence of such oscillations in epidemics has been, since a very long time, a challenge for the formulation of epidemiological models. If they result from external and seasonal forces or if they emerge from the intrinsic dynamics of the disease is an open question. It is known that xed time delays destabilize the stationary states of the standard SIRS model, given rise to sustained oscillations for certain values of the epidemiological parameters of the model. In this work, starting from the standard SIRS model, we study a generalization of the terms relative to the infectious and immunity periods. We present oscillation diagrams (for the amplitude and period of oscillations) in terms of the parameters of the model, which shows how the shape of those characteristic time distributions (infectious and immunity) in uence the oscillations. The model formulation is made with integro-di erential equations with delay analyzed by numerical integration and linearization of the system. We also present a simulation of this model highlighting where it agrees with the results of the deterministic model and, when it diverges, explaining why it diverges. Along with those mean eld models, we have also built an agent based model to study the impact of agent mobility in the disease propagation of a Susceptible- Infective-Susceptible (SIS) dynamic. In this model, by de ning the basic reproduction rate in terms of the relevant parameters, we show that the endemic state has the same dependency on it as the mean eld models, but the epidemic threshold is the same as the one obtained by the implementation of the SIS model in a bidimensinal lattice. Another important result of this approach is the fact that, given the agents density, it is possible to obtain oscillatory endemic states, a common result in real diseases but absent in the mean eld models, being present only when the contact between agents is de ned by a network.

Esta dissertação de mestrado apresenta um a investigação das causas que levara mum talude rodoviário à ruptura. Esse talude localiza-se no município de São Jerônimo, no Km 7+500 da rodovia RS/470. A ruptura foi progressiva, tendo início logo após a abertura do corte para a execução da rodovia e envolveu um a extensão demais de 100 metros. Foram levantados aspectos geológicos e geomorfológicos da região, indicando tratar-se de uma área localizada na Depressão Periférica, com relevo suave ondulado. Os dois solos que compõe o talude foram descritos e amostrados. Foram realizados ensaios de caracterização e ensaios de cisalhamento para as diversas condições de deformação dos materiais. Foram feitos diversos ensaios de cisalhamento direto: a) com amostras indeformadas, buscando-se determinar parâmetros de resistência para a condição de pico e, b ) ensaios especiais, utilizando a técnica de reversões múltiplas para determinar parâmetros de resistência na condição de grandes deformações. Foram feitos também ensaios de cisalhamento por torção (ring shear), buscando-se parâmetros de resistência para a condição residual. A estabilidade do talude foi verificada para duas geometrias, a inicial e a pós-ruptura, utilizando-se os parâmetros de resistência ao cisalhamento obtidos nos ensaios realizados. A retro-análise da situação inicial indicou que as rupturas iniciais mobilizaram um valor de resistência ao cisalhamento correspondente a um a condição de deformação intermediária entre a condição de pico e a de grandes deformações. A retro-análise da condição atua lindicou que os solos ainda não atingiram a condição residual, sendo que a resistência mobilizada é melhor representada pelos parâmetros na condição de grandes deformações.

Esta dissertação apresenta alguns critérios para avaliação de ameaças e risco geotécnico aplicados à estabilidade de taludes. Inicialmente apresenta-se uma visão geral dos problemas envolvidos com a análise de risco geotécnico, a importância da análise probabilística e a sua comparação com a determinística, e as opções de gerenciamento descritas na literatura. Estas análises envolvem conceitos de probabilidade, estatística, geotecnia, geologia, meio ambiente e legislação, além do interesse público e defesa civil. Assim, são definidos os conceitos estatísticos envolvidos nessa área multidisciplinar, como variabilidade espacial, coeficiente de correlação entre os parâmetros de entrada do modelo, distância de autocorrelação, escala de flutuação e incertezas (de parâmetros, humanas e dos modelos). Os métodos probabilísticos de cálculo do fator de segurança, a probabilidade de ruptura e o índice de confiabilidade são revisados. Utilizou-se o método de Monte Carlo nas análises através do uso de um programa comercial. O método tem sido adotado por diversos pesquisadores por ser direto, eficiente para problemas matematicamente complexos e não ter a complexidade matemática de outros métodos. A metodologia de análise de ameaças e risco geotécnico foi aplicada a um talude modelo, similar aos taludes de colúvio de basalto encontrados nas partes inferiores da Escarpa dos Aparados da Serra em Santa Catarina Os resultados obtidos, a partir de dados experimentais disponíveis, foram o fator de segurança determinístico mínimo (1,20) e o fator de segurança médio obtido pelo método de Monte Carlo (1,205), índice de confiabilidade de 2,64 e probabilidade de ruptura de 0,41%. Foi discutida também a aceitabilidade do fator de segurança médio da análise probabilística, comparando-se os resultados obtidos com valores aceitos em obras similares.

A carbocisteína é um mucolítico utilizado nos tratamentos sintomáticos das infecções respiratórias, comercializado sem prescrição médica. Cabe ao produtor garantir a qualidade, eficiência e segurança do produto durante o período de validade. A fim de determinar o prazo de validade do produto farmacêutico realizou-se o estudo de estabilidade acelerado, onde através de fatores extrínsecos buscou-se a degradação do fármaco. Arrhenius propôs uma equação através da qual é possível determinar a energia de ativação presente em uma reação química e correlacionou a cinética química à temperatura. O prazo de validade do xarope de carbocisteína foi determinado através da aplicação do método de Arrhenius. A metodologia de análise do produto foi validada quanto a linearidade, precisão, exatidão, limite de detecção, limite de quantificação, robustez e especificidade. Amostras da preparação farmacêutica foram submetidas à degradação térmica nas temperaturas de 40 ºC, 50 ºC, 60 ºC e 70 ºC. A partir dos resultados analíticos aplicou-se a equação de Arrhenius e o método gráfico que determinaram um prazo de validade de 109,28 dias para o produto armazenado em condições ideais de temperatura, a 25 ºC.

Este trabalho é o resultado do nosso interesse em estudar os princípios fundamentais que envolvem a questão do desenvolvimento sustentável, mais especificamente a questão do gerenciamento econômico ótimo de recursos biológicas renováveis. Modificamos modelos populacionais extremamente simples incluímos retirada contínua. Em relação à pesca, examinamos com maior detalhe o modelo de produção geral de Schaefer. Calculamos e analisamos a estabilidade linear em cada ponto de equilíbrio dos sistemas com os quais trabalhamos. O comportamento dinâmico global é obtido pela integração numérica. A partir da modelagem de exploração de recursos biológicos, introduzimos o conceito de produção máxima sustentável (MSY), que é o objetivo de muitas agências de gerenciamento de recursos renováveis. Após observarmos a ineficiência da NI SY por não incorporar os custos de exploração de recursos, estudamos o modelo bioeconômico de Gordon, e a definição de produção máxima econômica (M EY). Aprendemos da teoria econômica padrão o conceito de "desconto" , que reflete o valor do tempo, e então o problema dinâmico é formulado para determinar a função que ma.ximize o valor presente descontado. Após uma breve discussão sobre o problema variacionallinear e a teoria de controle, concluímos que, ao considerar os custos de exploração e o valor do tempo, a política de retirada ótima consiste na política de aproximação mais rápida (M RAP) ao nível do estoque de equilíbrio ótimo, ao qual corresponde a produção econômica ótima (OEY). Como casos especiais, observamos que se ambos os custos de exploração e a taxa de desconto forem nulos, então a NI SY é ótima; e se a taxa de desconto for zero mas o custo de exploração for maior que zero, então a 1\1 EY é ótima. Finalmente, incluímos também um exemplo baseado no modelo de Schaefer, no qual podemos observar que o nível do estoque de equilíbrio ótimo pode ser muito sensível à taxa do desconto. / We are interested in studying the fundamental principies underlying the problem of sustainable development, more specifically the economics of optimal management of biological renewable resources harvesting. Vi/e modify extremely simple population models to allow for continuous harvesting. Concerning fisheries, we examine in greater detail the Schaefer's general production model. We calculate and develop the linear stability analysis for each equilibrium state of the systems we are concerned with. The global dynamic behavior is obtained by numerical integration. From the modeling of biological resource exploitation, we introduce the Maximum Sustainable Yield (MSY) concept, which is the objective of many resource management agencies. After realizing the failure of MSY to incorporate costs of resource exploitation, we study the bioeconomic Gordon's model and the definition of Maximum Economic Yíeld (MEY). We learn from standard economic theory the "discounting" concept, for reflecting the "value of time" , and so the dynamic problem is formulated as to determine the function effort that maximizes the discounted present value. After a brief discussion about linear variational problem and control theory, we conclude that, when both exploitation costs and value of time are considered, the optimal harvest policy consists of the most rapid approach policy (MRAP) to the optimal equilibrium stock level, corresponding to the Optimal Economic Yield (OEY). As special cases, we observe that if both exploitation costs and the discount rate are zero, then MSY is optimal; and if the discount rate is zero but the costs are greater than zero, then MEY is optimal. Finally, we also include examples based on the Schaefer model, from which we can observe that the optimal equilibrium stock level can be quite sensitive to the rate of discount.

Neste trabalho analisamos a influência da migração sobre a homogeneidade em metapopulações com e sem estrutura etária, modeladas como sistemas discretos no tempo e no espaço. A análise é feita através de comparações entre o comportamento do modelo acoplado e o comportamento do modelo local. Para populações sem estrutura etária, mostramos como um mecanismo de migração dependente da densidade pode desestabilizar o ponto de equilíbrio homogêneo de um sistema desacoplado estável, fornecendo exemplos que ilustram quão facilmente isto pode ocorrer. Além disto, para o caso de uma rede unidimensional em anel, obtemos uma condição para a estabilidade do estado síncrono. Em tal estado a homogeneidade na metapopulação é mantida pela sincronia entre os sítios. A condição obtida é dada por uma expressão simples que envolve a fração migratória, tamanho da rede e o número de Lyapunov do modelo local. Para populações com estrutura etária, consideramos uma rede unidimensional em anel com taxas de migração específicas para cada classe e movimentos migratórios entre os dois sítios próximos. Mostramos que um mecanismo de migração dependente somente da idade dos indivíduos não pode vir a estabilizar o ponto de equilíbrio homogêneo de um sistema previamente instável na ausência de migração. Por outro lado, é também demonstrado que um mecanismo de migração fortemente relacionado com a idade dos indivíduos pode vir a instabilizar um conjunto desacoplado de populações estáveis, o que caracteriza a migração como um processo desestabilizador. / In this work we analyze the migration effects on the homogeneity in metapopulations with and without age structure, modeled as discrete time and space systems. The analysis is done through comparisons between the behavior of the coupled and uncoupled models. For populations with nonoverlapping generations, we show how a density dependent migration mechanism can drive the homogeneous equilibrium of a uncoupled stable system to instability, providing examples illustrating how easily this can occur. Besides that, we have obtained a condition for the stability of the synchronized state in a unidimensional metapopulation ring. In such state the homogeneity is maintained by the synchronism of the patches orbits. The resulting condition is given by a simple mathematical expression involving the metapopulation size, the migration fraction and the Lyapunov number for the local model. For age structured populations, we consider a unidimensional array with age dependent rnigration fraction. We show that a migration mechanism which depends only on age can not stabilize a previously unstable homogeneous equilibrium. On the other hand, it is also shown that a strongly related with age rnigration mechanism can drive a stable uncoupled system to instability, which characterizes the migration as a destabilizing effect.