Ce travail de thèse s’inscrit dans le cadre de la modélisation multi-échelle des matériaux composites à renfort tissé dans le but de prévoir leur comportement mécanique et leur tenue. Les objectifs de cette étude sont de caractériser et de modéliser de manière discrète les mécanismes d’endommagement à l’échelle mésoscopique (échelle du renfort de fibres) afin d’évaluer leur influence sur le comportement mécanique macroscopique des matériaux composites tissés. La démarche adoptée consiste tout d’abord à caractériser expérimentalement les mécanismes d’endommagement d’un matériau composite tissé à renfort de fibres de verre et matrice époxy. Les mécanismes observés sont des fissures intra-toron et des décohésions inter-torons en pointe de fissure. Afin de modéliser ces mécanismes d’endommagement, une géométrie représentative du composite, obtenue par simulation du procédé de compaction du renfort, et un maillage conforme de cette géométrie sont choisis. Les fissures et les décohésions sont modélisées de manière discrète dans le maillage à éléments finis de la cellule élémentaire représentative du composite. L’amorçage des endommagements dans le composite est déterminé en utilisant un critère couplant une condition en contrainte et une condition en énergie. La propagation de ces endommagements dans le matériau est évaluée à l’aide d’une approche basée sur la mécanique de la rupture incrémentale. L’approche proposée permet de prévoir l’amorçage et la propagation des endommagements en prenant en compte les possibles couplages entre les endommagements, et de faire le lien entre les endommagements observés à l’échelle mésoscopique et le comportement mécanique macroscopique du matériau. / The topic of this PhD thesis is multi-scale modeling of woven composites with the aim of predicting their mechanical behavior and strength. The objectives of the presented work are the experimental characterization and numerical modeling of damage at the mesoscopic scale (scale of the reinforcing fabric) in order to evaluate its influence on the macroscopic mechanical behavior of woven composites. First, the characteristic damage mechanisms of a woven composite made of glass fibers and epoxy matrix are determined experimentally. Intra-yarn cracks and decohesions between yarns at the crack tips are observed. In order to model these damage mechanisms at the mesoscopic scale, a geometry representative of the composite, obtained from numerical simulation of the dry fabric compaction, and a conformal mesh of this geometry have been selected. Discrete cracks and decohesions are inserted into the finite element mesh of the composite unit cell. Crack initiation is studied using a coupled criterion based on both a stress and an energy condition. The propagation of cracks and decohesions is modeled using a method based on Finite Fracture Mechanics. The proposed approach allows evaluating of the influence of the damage mechanisms observed at the mesoscopic scale on the macroscopic mechanical behavior of the studied material.

Dans le domaine de l’acoustique du bâtiment, la structuredes constructions en bois est légère et ses capacités d’isolementacoustique sont faibles en particulier pour les basses fréquencesen comparaison à d’autres techniques de constructioncomme le béton. Les travaux de cette thèse se donc sont centréssur l’élaboration d’un outil prédictif visant à déterminer lesperformances acoustiques des planchers solivés en bois afin decompléter les outils prédictifs actuellement sur le marché. Laméthode des éléments finis est adaptée pour résoudre ce problèmevibro-acoustique car le comportement basses fréquencesest de type modal. Pour gagner en temps de calcul, une résolutionmixte éléments finis – formulation intégrale d’Huygens etdifférentes optimisations ont été mises en place. Grâce à l’utilisationde la méthode des éléments finis, il a été possible demettre en évidence des résonances de ce problème couplé quifont chuter localement la valeur de l’affaiblissement ; celles-cine peuvent être prises en compte par la méthode des matricesde transfert. Néanmoins, ces deux méthodes fournissent des alluresmoyennes de courbes d’affaiblissement équivalentes, enparticulier lors d’une étude en tiers d’octave. Pour aborder leproblème des transmissions latérales, nous avons montré lafaisabilité de la détermination expérimentale des propriétés mécaniqueséquivalentes d’un élément de jonction courant entreles planchers et les murs : le sabot métallique. Un modèle mécaniquesimplifié par éléments finis permet ainsi un couplagemécanique entre les solives et les poutres en intégrant les effetslocaux de dissipation présents pour ce type de jonction. / In building acoustics, the structure of wooden construction islightweight and sound insulation at low frequency are weakcompared to other construction techniques like concrete. Thework of this thesis is focus on the development of predictivetools for determining the acoustic performance of wooden joistfloors to complete the existing predictive tools available on themarket. The finite element method (FEM) is adapted to solvethis vibro-acoustic problem because behavior at low frequenciesis modal. To save computation time, a mixed resolutionfinite element with Huygens integral formulations and severaloptimizations were implemented. We could note the interest ofthe FEM : we observed that resonances of the coupled systemdrive locally down the value of the TL, which can not be takeninto account by the method of transfer matrices. However, wenote that these two methods provide equivalent average curveshapes of TL’s spectrum. To deal with the problem of flankingtransmissions, penalizing the lightweight construction, we experimentalydetermine the mechanical properties of a equivalentjunction element between floors and walls : the wood joisthanger. Through a simplified mechanical model, this numericalfinite element model allows a mechanical coupling between thejoists and beams by incorporating the local effects of dissipationpresent for this type of junction.

Afin de réduire le bruit dans les villes, il est nécessaire d’avoir une bonne compréhension de la propagation acoustique en milieu urbain. Il existe aujourd’hui des logiciels commerciaux qui permettent de modéliser des champs acoustiques urbains à des coûts de calcul raisonnables. Toutefois, ces outils sont basés principalement sur des approches énergétiques qui ne contiennent pas d’informations sur la phase. Pour cette raison, elles ne permettent pas la prise en compte d’effets d’interférence (par exemple, des résonances), nous offrant ainsi une description physique limitée du champacoustique. Inversement, des méthodes ondulatoires classiques (FEM, BEM, FDTD) permettent de prendre en compte ces effets. Or, en raison de la discrétisation et de la grande extension du domaine de propagation, leur utilisation est généralement limitée aux très basses fréquences.L’objectif principal de cette thèse est de développer des méthodes ondulatoires performants, dans le domaine fréquentiel et temporel, nous permettant de modéliser la propagation acoustique dans des zones urbaines étendues. L’approche proposée est basée sur une formulation mixte modale–éléments finis. L’idée clé de cette méthode estde considérer la rue comme un guide d’ondes ouvert, dont la base modale est composée de modes de fuite (modes qui rayonnent une partie de leur énergie en se propageant). Cette approche combine une description multimodale du champ acoustique dans la direction longitudinale et un calcul par éléments finis des modes propres transverses.L’approche a été mise en oeuvre précédemment à l’échelle d’une seule rue. Dans cette thèse, nous nous intéressons à l’extension de la méthode à l’échelle du quartier, afin de modéliser la propagation dans des milieux contenant un grand nombre de rues interconnectées. Une version simplifiée dans le domaine temporel, contenant uniquement lemode de propagatif le moins fuyant, est également développée.En nous basant sur ces approches, nous étudions des phénomènes ondulatoires qui peuvent apparaître dans des configurations urbaines particulières. Plus précisément, nous nous intéressons à l’interaction des modes de la rue avec des résonances dans une cour intérieure adjacente, ainsi qu’à la formation de bandes de fréquences interditesdans des réseaux périodiques de rues interconnectées. Le résultat principal de cette étude est que, malgré la forte présence de pertes par radiation dans le milieu, des effets de résonance importants peuvent encore se produire. Les résultats présentés dans ce manuscrit mettent en évidence l’importance d’une approche ondulatoire pour décrirecorrectement des champs acoustiques aux basses fréquences, et ils suggèrent l’usage potentiel de ces phénomènes afin de contrôler la propagation acoustique dans le milieu.Enfin, nous présentons une étude sur l’utilisation de métasurfaces (surfaces contenant un réseau de résonateurs) pour améliorer la performance des murs antibruit. Nous démontrons que, grâce à l’excitation des résonances locales sur la métasurface, il est possible d’obtenir des propriétés non conventionnelles, comme par exemple des angles de réflexion négatifs ou de l’absorption acoustique aux basses fréquences. / The improvement of the urban sound environment requires a good understanding of the acoustic propagation in urban areas. Available commercial softwares give the possibility to simulate urban acoustic fields at relatively low computational costs. However, these tools are mainly based on energy methods that do not contain information on the phase. Therefore, these tools are unable to capture interference effects (e.g., resonances), providing a limited physical description of the acoustic field. Conversely, classical wave methods such as FEM, BEM or FDTD give the possibility to model interference effects, but their use is often restricted to very low frequencies due to discretisation and the huge extension of the propagation domain.The main goal of this thesis is to develop efficient wave methods for the acoustic propagation modelling in extended urban areas, both in the frequency and time domain. The proposed approach is based on a coupled modal–finite elements formulation. The key idea is to consider the urban canyon as an open waveguide with a modal basis composedof leaky modes, i.e., modes that radiate part of their energy into the atmosphere as they propagate. The approach combines a multimodal description of the acoustic field in the longitudinal direction and a finite elements computation of the transverseeigenmodes. This coupled approach, which has been successfully implemented at the scale of a single street, is extended in the present manuscript at a larger scale (the neighbourhood scale), in order to model problems arising in propagation domains containing many interconnected streets. A time domain version of the method, containing only the least damped mode, is also proposed.Using these methods, we investigate wave phenomena arising in specific urban configurations, as forbidden frequency bands in periodic networks of interconnected streets, and resonances in inner yards. It is found that, despite the presence of significant radiative losses in the propagation medium, strong interference effects are still observed. Not only this result highlights the relevance of a wave approach to describe accurately urban acoustic fields at low frequencies, but it suggest the potential use of these phenomena to control the acoustic propagation in urban environments.The last part of this dissertation presents a preliminary study on the use of metasurfaces (surfaces decorated with an array of resonators) to improve the performance of noise barriers. It is shown that, exciting resonances in these structures, it is possible to achieve some unconventional behaviours, including negative angles of reflection and low frequency sound absorption.

Du fait de la richesse de ses ressources naturelles, la France est traditionnellement un grand producteur de roches destinées à la construction. Le secteur souffre pourtant d'une sous-utilisation de ces produits et il est caractérisé par une organisation artisanale, avec un grand nombre de petites entreprises distribuées sur le territoire. Produit naturel, la pierre a de nombreux attributs positifs du point de vue du développement durable : un cycle de vie long, une bonne résistance, une grande facilité d'entretien et de recyclage, et des pratiques d'extraction et de fabrication avancées générant de faibles coûts en termes d'énergie et de pollution. Compte tenu des caractéristiques positives de la pierre, cette thèse vise à encourager un rapprochement de l'architecture contemporaine et de la pierre de taille, afin de répondre aux normes environnementales et à la qualité de vie de ceux qui utilisent les ouvrages construits. Toutefois, il existe de fortes contraintes liées aux caractéristiques propres de ce matériau. D'abord des contraintes morphologiques, liées à la transmission de force typique des systèmes voutés qui, sollicitées par un état de compression qui est favorable à la pierre et qui est transmis seulement par le contact continu entre les surfaces des éléments, transmettent une poussée non négligeable sur les structures de confinement. En outre des contraintes technologiques, liées à la nécessité de créer une structure temporaire qui simplifie la mise en œuvre qui s'avère exigeante en ressources et matériaux et suppose un temps de réalisation long. La méthode que nous définissons dans la thèse, en s'inspirant de la stéréotomie, vise la mise en place d'un processus continu et contrôlé de création de l'objet architectural, de sa conception à sa validation, sur la base de critères objectifs, jusqu'à sa réalisation. Dans le champ très vaste des structures en pierre de taille, sur la base des objectifs de notre recherche, nous nous sommes concentrés sur des systèmes obtenus à partir d'un appareillage plat de pierres, breveté par l'ingénieur français Joseph Abeille en 1699. Cette proposition se trouve à l'interface entre les systèmes voûtés et les structures réciproques. Nous avons donc mis en place une méthode de support à la conception et à la fabrication s'appuyant sur des logiciels de modélisation géométrique et mécanique actuels. Une procédure automatique permet de générer des familles paramétriques des structures caractérisées par l'assemblage de claveaux en pierre. Plusieurs sorties graphiques sont programmées dans la même procédure, visant à optimiser les processus de fabrication. Si plusieurs possibilités formelles sont disponibles, il est nécessaire de disposer d'un outil et de critères pour opérer la sélection. Dans certains cas, ceux-ci concernent les conditions de fabrication, d'installation et de fonctionnement des structures, dans d'autres cas, ils portent sur la mécanique des structures en pierre de taille. Nous avons donc utilisé un modèle numérique pour simuler le comportement des structures clavées en pierre, afin de sélectionner une structure performante sur la base de ces critères. Cette étape nous permet également d'étudier l'influence des paramètres considérés comme significatifs et indiqués au stade de la conception sur la performance de la structure. La relation soulignée par cette analyse de sensibilité devient un outil d'évaluation, qui peut être utile dans les choix de conception. Enfin, il nous est apparu indispensable d'expérimenter plusieurs réalisations à grande échelle, afin de tester la faisabilité des structures dessinées et la fonctionnalité de l'outil numérique. Les conclusions de ce travail visent à promouvoir la possibilité de mettre à disposition des architectes et ingénieurs des outils adéquats pouvant favoriser la réappropriation de la pierre massive comme matériau de construction, et proposer des formes et des caractéristiques positives adaptées à la demande actuelle / Due to the abundance of its natural resources, France has traditionally been a major producer of rocks for construction. Yet the sector suffers from underuse of these products and is characterized by an artisanal organization, with a large number of small-scale industries distributed over the territory. Thanks to their natural origin, stones have many attributes that fit with sustainable development principles: a long life cycle, good resistance, ease of maintenance and recycling, and advanced mining and manufacturing practices characterized by low energy consumption and pollution. Considering these good characteristics, this thesis aims at encouraging reconciliation between contemporary architecture and dimension stone, in order to meet the environmental standards and enhance the quality of life of those using the buildings. However, there are strong constraints related to the specific characteristics of this material. First of all, the morphological constraints related to the transmission of forces typical of the vaulted systems. Vaulted systems are solicited by compressions transmitted only through the direct contact between the surfaces of the different elements, but that exert a significant thrust on the confinement structures. In addition, technological constraints are related to the need of creating a temporary structure to simplify the construction. This temporary sub-structure proves demanding in terms of resources and materials, and requires a long time to be completed. The method described in the thesis, which is inspired by stereotomy, aims at building a continuous and controlled process for the creation of the architectural object – going from design to validation to construction - based on objective criteria. In the huge field of structures made of dimension stones, we are focusing for this research on systems obtained from a flat bonding of stones patented by the French engineer Joseph Abeille in 1699. The characteristics of this flat stones bonding make it particularly interesting and potentially effective from the formal and structural point of view. We have therefore created a way to support the design and the production - based on existing modeling and mechanical software. An automatic procedure generates parametric families of structures based on Abeille's bonding. Several graphical outputs are programmed in the same procedure, aimed at optimizing the manufacturing process. However, if many formal opportunities are created by the process, it is necessary to have tools and criteria to make the selection. In some cases, these criteria are related to the conditions of manufacturing, installation and functioning of the structures; in other cases, they are related to the mechanics of stone structures. To achieve this, we have used a numerical model to simulate the behavior of the different stone structures and helps the identification of the most performing one – depending on the defined criteria. This simulation also allows us to study the influence of some parameters, considered significant at the design stage, on the performance of the structure. The relationships underlined by this analysis provide an assessment tool that can be useful in design choices. Finally, we considered necessary to experiment with several large-scale construction - to test the feasibility of the designed structures and the functionality of the digital tool. The conclusions of this study are intended to provide architects and engineers with adequate tools to promote and facilitate the appropriation of the stone as a building material, and propose forms and materials suitable to contemporary requirements

Depuis l'invention du soudage par frottement malaxage (FSW) en 1991 par The Welding Institute (TWI), l'industrie aéronautique envisage de remplacer l'assemblage par rivetage des tôles par ce procédé. L'objectif est d'alléger les structures, plus particulièrement les panneaux des structures d'aéronefs qui sont souvent raidis avec des lisses et des profilés assemblés à la peau extérieure. La qualification du procédé FSW dans l'aéronautique requiert de produire des joints de très haute qualité avec une longue durée de vie des outils. Ceci nécessite un réglage fin des paramètres procédé tels que la géométrie de l'outil (dimensions de l'épaulement et du pion, filetage) et les vitesses d'avance et de rotation. Le but de ce travail est d'accompagner la conception du procédé par la simulation numérique. Il comporte trois parties: (1) le développement de la formulation arbitrairement lagrangienne ou eulérienne (ALE) dans la version parallèle du logiciel Forge® pour l'adapter au FSW, (2) la modélisation du procédé FSW et (3) la calibration du modèle EF et la validation des résultats numériques suite à la réalisation d'essais FSW en configuration par recouvrement.Ce travail est basé sur la formulation ALE parallèle développée dans Forge® afin de modéliser les différents défauts caractéristiques du FSW (bavures et trous). L'algorithme de transport des champs continus, indispensable au caractère eulérien, est affiné afin de considérer les particularités de l'écoulement du procédé (nœud du plan d'entrée, en contact avec l'outil ou dans les bavures et sortant du domaine d'étude). Un nouveau schéma d'intégration temporelle basée sur les coordonnées cylindriques plus adapté à ce procédé fortement rotationnel est introduit. Enfin, un filetage sur l'outil est modélisé par l'introduction d'une nouvelle loi de frottement à l'interface outil / matière.Cette formulation ALE générale et parallèle a montré sa robustesse pour modéliser le procédé FSW. Les résultats thermomécaniques sont en accord avec de précédents résultats validés par l'expérience. De plus l'outil numérique obtenu a montré ses capacités pour la modélisation des bavures ou des pertes de contact derrière le pion.Finalement la configuration de soudage par recouvrement industrielle a été étudiée. Pour cela des essais expérimentaux ont été réalisés pour divers paramètres du procédé et divers types de joints de recouvrement. Puis les mesures de forces et du couple dans l'outil et de la température dans l'outil et la tôle ont permis de calibrer les paramètres du modèle (frottement, loi de comportement, coefficients thermiques) et de valider les résultats EF. / Since the invention of Friction Stir Welding (FSW) in 1991 by The Welding Institute (TWI), aeronautics industry has been investigating the possibility to use this process instead of riveting with the objective to lighten its structures and more particularly the aircrafts structure panels. Aircraft panels are often straightened with stringers and profiles which are joined to the outer skin. The qualification of FSW process in aeronautics requires producing very high quality joints with the longevity of tools, which requires fine tuning of process parameters such as the geometry of the welding tool (shoulder and pin dimensions, threads on pin and shoulder) and the advancing and rotating speeds. The aim of this work is to support the design of the process by numerical simulation. It has three parts: (1) developing an efficient and accurate Arbitrary Lagrangian or Eulerian (ALE) formulation within the parallel version of Forge® software, (2) modelling the FSW process and (3) calibrating the F.E. model and validating simulation results thanks to FSW experiments on lap joints.This work is based on the parallel ALE formulation developed in Forge® to model the different possible defects taking place in FSW (flashes and worm holes). The transport algorithm of continuous fields, required by the Eulerian frame, is enhanced to take the special characteristics of the FSW's flow into account (nodes located in input plan or flashes or in contact with the tool). A new time integration scheme based on cylindrical coordinates, which are best suited for this process, is introduced. Finally, the pin and shoulder threads are modelled by introducing a new friction law at the tool / material interface.This general and parallel ALE formulation is robust enough to model the FSW process. Thermomechanical results obtained are in agreement with previous results validated by experiences. And the numerical tool demonstrated its ability to model flashes formation and losses of contact behind the pin. Finally industrial welding lap joints configuration was studied. Experimental tests were conducted with several process parameters and type of lap joint. And measure of torque and forces in tool, and temperature in tool and sheet metal allowed to calibrate model parameters (friction, behavior law, thermal coefficients) and to validate FE results.

Cette thèse est consacrée au développement d'outils pour FreeFem++ destinés à faciliter la résolution des problèmes d'optimisation. Ce travail se compose de deux parties principales. La première consiste en la programmation, la validation et l'exploitation d'interfaces permettant l¿utilisation de routines d'optimisation directement dans le logiciel. La seconde comprend le développement de solutions pour le calcul automatisé des dérivées, toujours au sein de FreeFem++, en exploitant les paradigmes de la différentiation automatique. FreeFem++ est un environnement de développement intégré dédié à la résolution numérique d¿équations aux dérivées partielles en dimension 2 et 3. Son langage ergonomique permet à l'utilisateur d'exploiter aisément ses nombreux outils de création de maillages, de résolution de systèmes linéaires, ainsi que ses bibliothèques d'éléments finis, etc... Nous introduisons les nouvelles routines d'optimisation désormais accessibles depuis la bibliothèque de modules du logiciel. En particulier, le logiciel libre d'optimisation sous contraintes IPOPT, qui implémente une méthode de points intérieurs très robuste pour l¿optimisation en grande dimension. Nous appliquons avec succès ces algorithmes à une série de problèmes concrets parmi lesquels la résolution numérique de problèmes de sur- faces minimales, la simulation de condensats de Bose-Einstein, ou encore un problème de positionnement inverse en mécanique des fluides. Une version prototypique de FreeFem++ contenant les outils de différentiation automatique est présentée, après avoir exposé les principes fondamentaux de cette méthode de calcul de dérivées pour le calcul scientifique. / The goal of this Ph.D. thesis was the development of tools for the FreeFem++ software in order to make optimization problems easier to deal with. This has been accomplished following two main directions. Firstly, a set of optimization softwares is interfaced and validated before making use of them. Then, we analyse the field of automatic differentiation as a potential mean of simplification for the users. FreeFem++ is an integrated development environment dedicated to numerically solving partial differential equations. Its high level language allows the user for a comfortable experience while using its mesh generation capabilities, linear system solvers, as well as finite elements capabilities. We describe the newly available optimization features, with a certain emphasis on the open source software IPOPT, which implements a state of the art interior points method for large scale optimization. These optimization tools are then used in a set of quite successful applications, among which minimal surfaces, Bose-Einstein condensate simulation, and an inverse positioning problem in the context of computational fluid dynamics. Finally, after an introduction to the techniques of algorithmic differentiation, we also present an unstable prototype version of FreeFem++ including automatic differentiation features.

Ma thèse a pour objectifs d’étudier et d’améliorer le confort d’un coussin d’assise dans le cas d’un fauteuil roulant pour handicapé, afin de limiter au mieux, l’apparition des escarres.Mes travaux ont pour principal objectif de modéliser et de simuler numériquement un coussin de type nid d’abeille de marque ‘‘Stimulite® Honeycomb Cushion’’ en contact avec un fessier afin de pouvoir (i) modéliser le comportement mécanique de contact, (ii) d’évaluer la pression ainsi que la distribution des contraintes à l’interface coussin/fessier, et (iii) d’intégrer les échanges thermomécaniques.Par ailleurs, des essais expérimentaux ont été effectués pour quantifier les lois de comportement des matériaux constituants le coussin nid d’abeille. J’ai également utilisé une nappe permettant de mesurer la pression à l’interface coussin/fessier. Parallèlement, une caméra infrarouge a été utilisée pour mesurer la répartition de la température sur le coussin et le fessier pour une personne assise pendant une durée variable. / The aim of this thesis is to study and improve the comfort of a wheelchair cushion for handicapped, to reduce the appearance of pressure ulcers.In the study, the main objective is to model and simulate numerically a type of cushion, namely ‘‘Stimulite® Honeycomb Cushion Classis’’, in contact with a buttocks-tissue in order to (i) model the mechanical behavior of contact, (ii) evaluate the pressure and the stress distribution at the interface cushion/buttock-tissue, and (iii) integrate thermo-mechanical exchanges.Moreover, the experimental tests were carried out to quantify the law of behavior of material constituent of the honeycomb cushion. I also used a pressure-mapping sensor TexiMat® to measure the pressure at the interface cushion/buttocks-tissue.Meanwhile, an infrared camera was used to measure the temperature distribution on the cushion and buttocks-tissue of a person sitting during variable periods.

This master's thesis deals with stress analysis and optimalization frame of the self- loading package transporter. It consists the analysis of original frame, the proposed changes and analysis of new frame.

This master’s thesis deals with VUT 081 Kondor composite fuselage design and control system layout design. Load computation and selection of critical load cases are made. Principal inner surfaces of the fuselage are designed with respect to basic ergonomic requirements of the crew. Construction materials are chosen and a layup of composite materials is performed. Fuselage FEM model is made in MSC Patran/Nastran system and the structure-strength analysis is given for chosen load cases.

This Master´s thesis describes the design of composite horizontal tail of VUT 100 aircraft. Load calculation and selection of the critical load cases is performed. Internal structure of stabilizer and right elevator is designed. Construction materials are chosen and the structure of the composite materials is proposed. FEM models of stabilizer and the right elevator are created in MSC Patran system and consequently the strength test of the models for the selected load cases is executed using MSC Nastran software and COMPOST.