Regensburg, Universiẗat, Diss., 2002.

Neste trabalho estudamos três generalizações para o último Teorema de Fermat. A primeira generalização trata de expoentes negativos e de expoentes racionais. Além de mostrar em que casos estas equações possuem soluções, damos uma caracterização completa para todas as soluções inteiras não-nulas existentes. A segunda generalização também trata de expoentes racionais, porém num contexto mais amplo. Aqui permitimos que as raízes n-ésimas sejam complexas, não necessariamente reais. Na terceira generalização vemos que o último Teorema de Fermat também vale para expoentes inteiros gaussianos. / In this work we study three extensions of Fermat's Last Theorem. The first extension deals with negative and rational exponents. Here we show when these equations have nonzero integral solutions and we characterize these solutions when they exist. The second extension also deals with rational exponents, but in a wider context. Here we allow the use of complex roots, not necessarily the real ones. In the third extension we show that Fermat's Last Theorem also holds for Gaussian integer exponents.

Neste trabalho estudamos três generalizações para o último Teorema de Fermat. A primeira generalização trata de expoentes negativos e de expoentes racionais. Além de mostrar em que casos estas equações possuem soluções, damos uma caracterização completa para todas as soluções inteiras não-nulas existentes. A segunda generalização também trata de expoentes racionais, porém num contexto mais amplo. Aqui permitimos que as raízes n-ésimas sejam complexas, não necessariamente reais. Na terceira generalização vemos que o último Teorema de Fermat também vale para expoentes inteiros gaussianos. / In this work we study three extensions of Fermat's Last Theorem. The first extension deals with negative and rational exponents. Here we show when these equations have nonzero integral solutions and we characterize these solutions when they exist. The second extension also deals with rational exponents, but in a wider context. Here we allow the use of complex roots, not necessarily the real ones. In the third extension we show that Fermat's Last Theorem also holds for Gaussian integer exponents.

Neste trabalho estudamos três generalizações para o último Teorema de Fermat. A primeira generalização trata de expoentes negativos e de expoentes racionais. Além de mostrar em que casos estas equações possuem soluções, damos uma caracterização completa para todas as soluções inteiras não-nulas existentes. A segunda generalização também trata de expoentes racionais, porém num contexto mais amplo. Aqui permitimos que as raízes n-ésimas sejam complexas, não necessariamente reais. Na terceira generalização vemos que o último Teorema de Fermat também vale para expoentes inteiros gaussianos. / In this work we study three extensions of Fermat's Last Theorem. The first extension deals with negative and rational exponents. Here we show when these equations have nonzero integral solutions and we characterize these solutions when they exist. The second extension also deals with rational exponents, but in a wider context. Here we allow the use of complex roots, not necessarily the real ones. In the third extension we show that Fermat's Last Theorem also holds for Gaussian integer exponents.

This report focuses on the discovery of Fermat numbers as well as the subsequent innovations in processes for finding factors of Fermat numbers. The property of the prime factors of Fermat numbers, as well as the connections between Fermat numbers and other areas of mathematics, is also discussed. / text

Giessen, Universiẗat, Diss., 1999.

NASCIMENTO, Natália Medeiros do. Equações diofantinas e o método das secantes e tangentes de Fermat. 2014. 45 f. Dissertação (Mestrado em Matemática em Rede Nacional) - Centro de Ciências, Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, 2014. / Submitted by Erivan Almeida (eneiro@bol.com.br) on 2014-08-28T19:14:10Z No. of bitstreams: 1 2014_dis_nmnascimento.pdf: 519563 bytes, checksum: c112efa25b4d5ca74054cdfb0a870303 (MD5) / Approved for entry into archive by Rocilda Sales(rocilda@ufc.br) on 2014-08-29T16:18:33Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2014_dis_nmnascimento.pdf: 519563 bytes, checksum: c112efa25b4d5ca74054cdfb0a870303 (MD5) / Made available in DSpace on 2014-08-29T16:18:33Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2014_dis_nmnascimento.pdf: 519563 bytes, checksum: c112efa25b4d5ca74054cdfb0a870303 (MD5) Previous issue date: 2014 / Over the past decades, the transmission of mathematical knowledge in basic education has undergone several changes. The “Teaching Traditional” math was based on memorizing formulas, so there mechanization in problem solving where the student was seen as a liability to be process. The new vision of education that seeks to signify exposed to room content, motivated the choice of this theme, as diophantine equations involving situations problems can be easily noticed in our daily lives. The objective of this work is an opportunity for a realization of an advisory reading for the teacher of basic education, and assert that these equations can be applied in basic education as a tool that encourages the logical thinking, reasoning, understanding and mathematical interpretation. The formulation of this material which is divided into five chapters was through literature review through descriptive research. The introduction comprises the first chapter. The second chapter deals with the Legacy of Diophantus: life and works, emphasizing his work entitled “Arithmetica” which contributed significantly to the development of number theory. The third chapter deals with linear Diophantine equations in n variables. The fourth chapter discusses the Pythagorean tender, Fermat’s of secants and Tangents method, in finding rational solutions to equations with rational coefficients, of the form ax2 + by2 = c and a particular case Fermat’s Last Theorem. The fifth chapter is composed of problems on linear diophantine equations. / Ao longo das últimas décadas, a transmissão do conhecimento matemático na Educação Básica sofreu diversas mudanças. “O Ensino Tradicional” da matemática era baseado na memorização de fórmulas, havendo assim uma mecanização no processo de resolução de problemas, onde o discente era visto como um ser passivo. A nova visão de ensino, que busca significar o que conteúdo exposto em sala, motivou a escolha desse tema, visto que situações problemas envolvendo equações diofantinas podem ser facilmente percebidas em nosso cotidiano. O objetivo deste trabalho é oportunizar a realização de uma leitura consultiva para o professor do Ensino Básico, e asseverar que essas equações podem ser aplicadas na Educação Básica como uma ferramenta que instiga o pensamento lógico, o raciocínio, a compreensão e a interpretação matemática. A formulação desse material que está dividido em cinco capítulos se deu através de levantamento bibliográfico por meio de pesquisas descritivas. A introdução compõe o primeiro capítulo. O segundo capítulo versa sobre o Legado de Diofanto: vida e obras, ressaltando sua obra titulada “Arithmetica” que contribuiu significativamente para o desenvolvimento da teoria dos números. O terceiro capítulo trata das equações diofantinas lineares de n variáveis. O quarto capítulo aborda as ternas itagóricas, o Método das Secantes e Tangentes de Fermat na busca de soluções racionais para quações, com coeficientes racionais, da forma ax2+by2 = c, e um caso particular do Último Teorema de Fermat. O quinto capítulo é composto de problemas sobre equações diofantinas lineares.

La conjetura de Fermat fue uno de los acertijos matemáticos más misteriosos hasta 1995. El problema fue formulado en 1637 por Pierre de Fermat. Él afirmó saber cómo resolverlo, sin embargo, no podía mostrar la prueba debido a que el espacio en el margen de su copia de Arithmetica de Diofanto era insuficiente. Desde entonces mucho misticismo rodeó a la conjetura. Mientras tanto, independientemente, nuevas ramas de las matemáticas se desarrollaban. La geometría algebraica y el análisis complejo permitieron a Andrew Wiles resolver finalmente la conjetura. La solución involucra, entre otras herramientas, el uso de curvas elípticas. Esto es suficiente motivo para estudiarlas. En líneas generales las curvas elípticas son polinomios cúbicos no singulares en dos variables con un punto especial de coordenadas racionales en los que podemos establecer una estructura de grupo. Para manipular las operaciones cómodamente transformamos la ecuación de la curva elíptica en una más apropiada con menos términos. Para lograr esto exploramos los aspectos fundamentales de los espacios proyectivos que facilitarían la transición. Como ya es conocido, existen casos en las matemáticas en los que hay un intercambio entre simpleza y elegancia. Uno debe profundizar un poco para alcanzar la estética. Nuestro objetivo es probar la propiedad de asociatividad del grupo en las curvas elípticas por medio del grupo de Picard de una variedad algebraica asociada. Esto provee una prueba alternativa de dicha propiedad y reemplaza los cálculos engorrosos de la prueba directa que usa solo la definición de la operación del grupo. Para lograr esto desarrollamos la teoría de divisores. Esto nos conduce al estudio de funciones racionales sobre las curvas y de este modo nos enfrentamos a uno de los resultados más importantes de la geometría algebraica: el teorema de Riemann-Roch. Basados en esto probamos que las curvas elípticas sobre los cuerpos de característica cero tienen genero uno. Finalmente definimos el grupo de Picard. Este grupo mide el grado de cuánto del conjunto de divisores no tiene origen en las funciones racionales. Luego establecemos un homomorfismo entre este grupo y la curva elíptica: esta es en una manera elaborada de afirmar que la asociatividad de una estructura se preserva en la otra. / The Fermat conjecture was one of the most mysterious puzzles of mathematics until 1995. The problem was formulated in 1637 by Pierre de Fermat. He claimed that he knew how to solve it, but was however unable to exhibit the proof because of the lack of space on the margin of his copy of Diophantus's Arithmetica. Since then a lot of mysticism surrounded the conjecture. Meanwhile, independently, new branches of mathematics were developed. Algebraic geometry and complex analysis allowed Andrew Wiles to finally solve the conjecture. The solution involves, among other tools, the use of elliptic curves. That is enough reason for their study. Roughly speaking elliptic curves are non-singular cubic polynomials in two variables with a special point of rational coordinates where a group structure can be set. In order to handle computations comfortably we transform the equation of the elliptic curve into an appropriate one with fewer terms. To achieve this goal we explore fundamental aspects of projective spaces which facilitate the transition. As it is known, in some cases there is a trade-o_ in mathematics between simplicity and elegance. One must dig a little deep to reach aesthetics. We aim to prove the associativity law of the group on elliptic curves by means of the Picard group of an associated algebraic variety. This provides an alternative proof of the property and replaces the usual burdensome computations of the straight proof by definition of the group operation. In order to achieve this, we develop the theory of divisors. This leads us to the study of rational functions on curves, and thus face one of the crucial results of algebraic geometry: the Riemann-Roch theorem. Based on this we prove that elliptic curves over fields of characteristic zero have genus one. Finally we define the Picard group. This group measures the extent of how much of the set of divisors fails to have its origin on rational functions. Then we establish a homomorphism between this group and the elliptic curve: this yields a fancy way of saying that associativy of one structure is preserved in the other. / Tesis

Dissertação (mestrado) - Universidade Federal de Santa Catarina. Centro de Ciências Físicas e Matemáticas. Programa de Pós-Graduação em Matemática e Computação Científica / Made available in DSpace on 2013-07-15T23:40:07Z (GMT). No. of bitstreams: 1 212803.pdf: 834398 bytes, checksum: 6a20f97764ea6c75c492d9c5a8233b7d (MD5)

Orientadores: Francisco Thaine Prada, Tenkasi M. Viswanathan / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Ciencia da Computação / Made available in DSpace on 2018-07-17T22:05:05Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Tanaami_Samuel_M.pdf: 1845448 bytes, checksum: 7d367828f79435d232fee074160ec927 (MD5) Previous issue date: 1989 / Resumo: Não informado. / Abstract: Not informed. / Mestrado / Mestre em Matemática