The purpose of this thesis is to generalize Filippov's operation, and to get more useful results. It includes two main parts: The C-Filippov operation for the finite and countable cases and the Filippov operation with different measures. In the first chapter, we give brief information about the importance of Filippov's operation, our goal and the ideas behind our generalizations. In the second chapter, we give some sufficient background notes. In the third chapter, we introduce the Filippov operation, explain how to calculate the Filippov of a function and give some sufficient properties of it. In the fourth chapter, we introduce a generalization of the Filippov operation, the C-Filippov, and give some of its properties which we need for the next chapter. In the fifth chapter, in the first main part, we discuss some properties of the C-Filippov for special cases and observe the differences and common properties between the Filippov and C-Filippov operations. Finally, in the sixth chapter, we present the other generalization of the Filippov operation which is Filippov with different measures. We observe the properties of the corresponding Filippovs when we know the relationship between the measures. We finish the thesis by summarizing our work and discussing future work.

Orientador: Claudio Gomes Pessoa / Banca: João Carlos da Rocha Medrado / Banca: Weber Flávio Pereira / Resumo: Este trabalho está dividido em duas partes. Na primeira, iremos introduzir a nomenclatura de Fillipov e os conceitos básicos e em seguida iremos estudar a classificação de centros em sistemas lineares por partes em duas zonas no plano. Para tal fim, iremos encontrar uma mudança de variáveis que nos permita reduzir o número de parâmetros de doze para cinco. Na segunda parte deste trabalho iremos estudar o surgimento de ciclos limites para esta classe de campo de vetores descontínuos através das aplicações de Poincaré em cada zona. Neste trabalho nos restringiremos ao caso em que não há regiões de sliding no conjunto de descontinuidade / Abstract: This work is divided into two parts. At rst part we introduce the nomenclature of Fillipov and the basics concepts and then we will study the classi cation of centers in piecewise linear systems in the plan. To this end we nd a change of variables that allows us to reduce the initial twelve parameters to ve. In the second part of this work we study the emergence of limit cycles for this class of systems through the Poincar e applications in each region of the plan. In this work we will consider only the case where the set of discontinuity has no sliding regions / Mestre

Made available in DSpace on 2015-03-03T11:52:41Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2014-03-10Bitstream added on 2015-03-03T12:07:11Z : No. of bitstreams: 1 000803634.pdf: 508680 bytes, checksum: bab04e8b7f98eda0b0883ef25409ac2f (MD5) / Este trabalho está dividido em duas partes. Na primeira, iremos introduzir a nomenclatura de Fillipov e os conceitos básicos e em seguida iremos estudar a classificação de centros em sistemas lineares por partes em duas zonas no plano. Para tal fim, iremos encontrar uma mudança de variáveis que nos permita reduzir o número de parâmetros de doze para cinco. Na segunda parte deste trabalho iremos estudar o surgimento de ciclos limites para esta classe de campo de vetores descontínuos através das aplicações de Poincaré em cada zona. Neste trabalho nos restringiremos ao caso em que não há regiões de sliding no conjunto de descontinuidade / This work is divided into two parts. At rst part we introduce the nomenclature of Fillipov and the basics concepts and then we will study the classi cation of centers in piecewise linear systems in the plan. To this end we nd a change of variables that allows us to reduce the initial twelve parameters to ve. In the second part of this work we study the emergence of limit cycles for this class of systems through the Poincar e applications in each region of the plan. In this work we will consider only the case where the set of discontinuity has no sliding regions

Orientador: Luci Any Francisco Roberto / Banca: Francisco Braun / Banca: Tiago de Carvalho / Resumo: Neste trabalho, nosso principal objetivo é estudar a existência e estabilidade de ciclos limite de costura em sistemas lineares planares de Filippov descontínuos obtidos pela agregação de dois sistemas lineares planares do tipo foco, e tendo apenas um ponto de equilíbrio. Ao usar uma forma normal adequada com cinco parâmetros, é realizado um estudo completo de algumas aplicações de Poincaré. São encontradas diferentes bifurcações que são responsáveis pelo aparecimento de ciclos limite de costura e regiões abertas no espaço de parâmetros com nenhum, um, dois e três ciclos limite de costura / Abstract: In this work our main aim is to study the existence and stability of crossing limit cycles in planar linear systems of discontinuous Filippov obtained by the aggregation of two planar linear systems of focus type, and having only one equilibrium point is considered. By using an adequate normal form with five parameters, a thorough study of some Poincar'e maps is performed. Different bifurcations which are responsible for the appearance of crossing limit cycles are detected and open regions in the parameters space with none, one, two and three crossing limit cycles are found / Mestre

Made available in DSpace on 2014-12-02T11:16:49Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2014-02-28Bitstream added on 2014-12-02T11:21:26Z : No. of bitstreams: 1 000795324.pdf: 880364 bytes, checksum: b63c184ad749a25e3e5c34d0f41e7829 (MD5) / Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) / Neste trabalho estudamos sistemas planares lineares por partes em duas zonas. Uma reta passando pela origem separa o plano em duas zonas. Em cada zona consideramos um sistema linear, não necessariamente com singularidade na origem. Essa classe de sistemas possui doze parâmetros. A referência principal para esse trabalho e o artigo [6] de E. Freire, E. Ponce e F. Torres. Utilizando uma mudança de variáveis adequada, o caso particular foco-foco e reduzido para apenas cinco parâmetros. O principal objetivo e caracterizar o número de ciclos limite em função dos cinco parâmetros do sistema. A principal técnica utilizada para o estudo e a aplicação de primeiro retorno de Poincaré. Para o caso em que o sistema não possui deslize na reta de separação a conclusão e que o sistema tem no máximo um ciclo limite. Para o caso com deslize, e considerando que os focos são virtuais, a conclusão e que o sistema tem no máximo dois ciclos limite / In this work we study planar piecewise linear systems in two zones. A straight line through the origin separates the plane into two zones. In each zone we consider a linear system, not necessarily with singularity at the origin. This class system has twelve parameters. The main reference for this work is the paper [6] E. Freire, E. Ponce and F. Torres. Using an appropriate change of coordinates, the particular focus-focus case is reduced to just ve parameters. The main goal is to characterize the number of limit cycles in terms of the ve parameters of the system. The main technique used for the study is the Poincar e rst return map. For the case where the system has no sliding on the line of separatation the conclusion is that the system has at most one limit cycle. For the case with sliding motion, and considering that the foci are virtual, the conclusion is that the system has at most two limit cycles

Orientador: Tiago de Carvalho / Banca: Paulo Ricardo da Silva / Banca: Durval José Tonon / Resumo: Neste trabalho iremos abordar aspectos qualitativos e geométricos a respeito de campos de vetores suaves por partes. Nosso foco será estudar bifurcações locais e globais de codimensão um e dois e também algumas relações de equivalência para campos vetoriais suaves por partes definidos no plano. Classificaremos e caracterizaremos bifurcações genéricas por meio do retrato de fase e do diagrama de bifurcação dos campos envolvidos. Também faremos uma breve introdução sobre Sistemas Slow-Fast / Abstract: In this work we study qualitative and geometric aspects of piecewise smooth vector elds. Our focus is to study local and global bifurcations of codimension one and two and some equivalence relations for piecewise smooth vector elds de ned on the plane. We will classify and characterize generic bifurcations using the phase portrait and the bifurcation diagram of the vector elds involved. We also incorporate a brief introduction about Slow-Fast Systems / Mestre

Orientador: Paulo Ricardo da Silva / Banca: Claudio Aguinaldo Buzzi / Banca: Marcelo Messias / Banca: Marco Antônio Teixeira / Banca: Douglas Duarte Novaes / Resumo: Nesta tese estudamos sistemas dinâmi os não suaves aut nomos e não aut nomos. Consideramos ini ialmente sistemas quadráti os positivamente limitados aut nomos planares e damos ondições sobre os ampos para que o sistema de Filippov orrespondente seja limitado. Também estudamos uma lasse de sistemas quadráti os e provamos que, sob algumas restrições nos oe ientes da parte linear, os sistemas de Filippov rela ionados são limitados. Em seguida, onsideramos sistemas não aut nomos e damos ondições para a existên ia de soluções periódi as de uma lasse de equações diferen iais ordinárias não aut nomas. Por m, onsideramos equações diferen iais ordinárias não aut nomas de segunda ordem genéri as, rela ionadas a sistemas não suaves e não aut nomos, estudamos o on eito de solução destas equações e damos ondições analíti as que são satisfeitas por soluções típi as, omo as soluções deslizantes, por exemplo. A uni idade de soluções para estas equações também é estudada / Abstract: In this thesis we study autonomous and non-autonomous non-smooth dynami al systems. We initially onsider planar autonomous positively bounded quadrati systems. We give onditions on the ve tor elds for that the orrespondent Filippov system be bounded. We also study a lass of quadrati systems and we prove that, under some restri tions on the oe ients of linear part, the related Filippov systems are bounded. We then onsider non-autonomous systems and we give onditions for the existen e of periodi solutions of a ertain lass of non-autonomous ordinary di erential equations. Finally we onsider generi non-autonomous se ond order di erential equations and we study the on ept of solution of these equations and determine analyti al onditions that are satis ed by typi al solutions, sliding solutions for instan e. Moreover, the uniqueness of solutions for these equations is studied / Doutor

Orientador: Claudio Aguinaldo Buzzi / Banca: Pedro Toniol Cardin / Banca: Ricardo Miranda Martins / Resumo: Neste trabalho estudamos sistemas planares lineares por partes em duas zonas. Uma reta passando pela origem separa o plano em duas zonas. Em cada zona consideramos um sistema linear, não necessariamente com singularidade na origem. Essa classe de sistemas possui doze parâmetros. A referência principal para esse trabalho e o artigo [6] de E. Freire, E. Ponce e F. Torres. Utilizando uma mudança de variáveis adequada, o caso particular foco-foco e reduzido para apenas cinco parâmetros. O principal objetivo e caracterizar o número de ciclos limite em função dos cinco parâmetros do sistema. A principal técnica utilizada para o estudo e a aplicação de primeiro retorno de Poincaré. Para o caso em que o sistema não possui deslize na reta de separação a conclusão e que o sistema tem no máximo um ciclo limite. Para o caso com deslize, e considerando que os focos são virtuais, a conclusão e que o sistema tem no máximo dois ciclos limite / Abstract: In this work we study planar piecewise linear systems in two zones. A straight line through the origin separates the plane into two zones. In each zone we consider a linear system, not necessarily with singularity at the origin. This class system has twelve parameters. The main reference for this work is the paper [6] E. Freire, E. Ponce and F. Torres. Using an appropriate change of coordinates, the particular focus-focus case is reduced to just ve parameters. The main goal is to characterize the number of limit cycles in terms of the ve parameters of the system. The main technique used for the study is the Poincar e rst return map. For the case where the system has no sliding on the line of separatation the conclusion is that the system has at most one limit cycle. For the case with sliding motion, and considering that the foci are virtual, the conclusion is that the system has at most two limit cycles / Mestre

Avian influenza is a contagious viral disease caused by influenza virus type A. Avian influenza can be disastrous (if it occurs), due to the short incubation period (about 1--4 days). Thus it is important to study this disease so that we are more prepared to manage it in the future. A classical system of differential equations (the half-saturated incidence model) and three Filippov models --- an avian-only model with culling of infected birds, an SIIR (Susceptible-Infected-Infected-Recovered) model with quarantine of infected humans and an avian-only model with culling both susceptible and infected birds --- that are governed by ordinary differential equations with discontinuous right-hand sides (i.e., differential inclusion) are proposed to study the transmission of avian influenza. The effect of half-saturated incidence is investigated, and the outcome of this model is compared with the bilinear incidence model. Both models remain endemic whenever their respective basic reproduction numbers are greater than one. The half-saturated incidence model generates more infected individuals than the bilinear incidence model. This may be because the bilinear incidence model is underestimating the number of infected individuals at the outbreak. For the Filippov models, the number of infected individuals is used as a reference in applying control strategies. If this number is greater than a threshold value, a control measure has to be employed immediately to avoid a more severe outbreak. Otherwise, no action is necessary. We perform dynamical system analysis for all models. The existence of sliding modes and the flow on the discontinuity surfaces are determined. In addition, numerical simulations are conducted to illustrate the dynamics of the models. Our results suggest that if appropriate tolerance thresholds are chosen such that all trajectories of the Filippov models are converging to an equilibrium point that lies in the region below the infected tolerance threshold or on the discontinuity surface, then no control strategy is necessary as we consider the outbreak is tolerable. Otherwise, we have to apply control strategies to contain the outbreak. Hence a well-defined threshold policy is crucial for us to combat avian influenza effectively.

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