Dans cette thèse, nous traitons deux problèmes de contrôle optimal stochastique. Chaque problème correspond à une Partie de ce document. Le premier problème traité est très précis, il s'agit de la valorisation des contrats optionnels de vente de type Américain (dit Put Américain) en présence de dividendes discrets (Partie I). Le deuxième est plus général, puisqu'il s'agit dans un cadre discret en temps de prouver l'existence d'un principe de programmation dynamique sous des contraintes en probabilités (Partie II). Bien que les deux problèmes soient assez distincts, le principe de programmation dynamique est au coeur de ces deux problèmes. La relation entre la valorisation d'un Put Américain et un problème de frontière libre a été prouvée par McKean. La frontière de ce problème a une signification économique claire puisqu'elle correspond à tout instant à la borne supérieure de l'ensemble des prix d'actifs pour lesquels il est préférable d'exercer tout de suite son droit de vente. La forme de cette frontière en présence de dividendes discrets n'avait pas été résolue à notre connaissance. Sous l'hypothèse que le dividende est une fonction déterministe du prix de l'actif à l'instant précédant son versement, nous étudions donc comment la frontière est modifiée. Au voisinage des dates de dividende, et dans le modèle du Chapitre 3, nous savons qualifier la monotonie de la frontière, et dans certains cas quantifier son comportement local. Dans le Chapitre 3, nous montrons que la propriété du smooth-fit est satisfaite à toute date sauf celles de versement des dividendes. Dans les deux Chapitres 3 et 4, nous donnons des conditions pour garantir la continuité de cette frontière en dehors des dates de dividende. La Partie II est originellement motivée par la gestion optimale de la production d'une centrale hydro-electrique avec une contrainte en probabilité sur le niveau d'eau du barrage à certaines dates. En utilisant les travaux de Balder sur la relaxation de Young des problèmes de commande optimale, nous nous intéressons plus spécifiquement à leur résolution par programmation dynamique. Dans le Chapitre 5, nous étendons au cadre des mesures de Young des résultats dûs à Evstigneev. Nous établissons alors qu'il est possible de résoudre par programmation dynamique certains problèmes avec des contraintes en espérances conditionnelles. Grâce aux travaux de Bouchard, Elie, Soner et Touzi sur les problèmes de cible stochastique avec perte contrôlée, nous montrons dans le Chapitre 6 qu'un problème avec contrainte en espérance peut se ramener à un problème avec des contraintes en espérances conditionnelles. Comme cas particulier, nous prouvons ainsi que le problème initial de la gestion du barrage peut se résoudre par programmation dynamique.

Méthodes et modèles numériques appliqués aux risques du marché et à l'évaluation financière Ce travail de thèse aborde deux sujets : (i) L'utilisation d'une nouvelle méthode numérique pour l'évaluation des options sur un panier d'actifs, (ii) Le risque de liquidité, la modélisation du carnet d'ordres et la microstructure de marché. Premier thème : Un algorithme glouton et ses applications pour résoudre des équa- tions aux dérivées partielles Beaucoup de problèmes d'intérêt dans différents domaines (sciences des matériaux, finance, etc) font intervenir des équations aux dérivées partielles (EDP) en grande dimension. L'exemple typique en finance est l'évaluation d'une option sur un panier d'actifs, laquelle peut être obtenue en résolvant l'EDP de Black-Scholes ayant comme dimension le nombre d'actifs considérés. Nous proposons d'é- tudier un algorithme qui a été proposé et étudié récemment dans [ACKM06, BLM09] pour résoudre des problèmes en grande dimension et essayer de contourner la malédiction de la dimension. L'idée est de représenter la solution comme une somme de produits tensoriels et de calculer itérativement les termes de cette somme en utilisant un algorithme glouton. La résolution des EDP en grande di- mension est fortement liée à la représentation des fonctions en grande dimension. Dans le Chapitre 1, nous décrivons différentes approches pour représenter des fonctions en grande dimension et nous introduisons les problèmes en grande dimension en finance qui sont traités dans ce travail de thèse. La méthode sélectionnée dans ce manuscrit est une méthode d'approximation non-linéaire ap- pelée Proper Generalized Decomposition (PGD). Le Chapitre 2 montre l'application de cette méthode pour l'approximation de la solution d'une EDP linéaire (le problème de Poisson) et pour l'approxima- tion d'une fonction de carré intégrable par une somme des produits tensoriels. Un étude numérique de ce dernier problème est présenté dans le Chapitre 3. Le problème de Poisson et celui de l'approxima- tion d'une fonction de carré intégrable serviront de base dans le Chapitre 4 pour résoudre l'équation de Black-Scholes en utilisant l'approche PGD. Dans des exemples numériques, nous avons obtenu des résultats jusqu'en dimension 10. Outre l'approximation de la solution de l'équation de Black-Scholes, nous proposons une méthode de réduction de variance des méthodes Monte Carlo classiques pour évaluer des options financières. Second thème : Risque de liquidité, modélisation du carnet d'ordres, microstructure de marché Le risque de liquidité et la microstructure de marché sont devenus des sujets très importants dans les mathématiques financières. La dérégulation des marchés financiers et la compétition entre eux pour attirer plus d'investisseurs constituent une des raisons possibles. Les règles de cotation sont en train de changer et, en général, plus d'information est disponible. En particulier, il est possible de savoir à chaque instant le nombre d'ordres en attente pour certains actifs et d'avoir un historique de toutes les transactions passées. Dans ce travail, nous étudions comment utiliser cette information pour exécuter de facon optimale la vente ou l'achat des ordres. Ceci est lié au comportement des traders qui veulent minimiser leurs coûts de transaction. La structure du carnet d'ordres (Limit Order Book) est très complexe. Les ordres peuvent seulement être placés dans une grille des prix. A chaque instant, le nombre d'ordres en attente d'achat (ou vente) pour chaque prix est enregistré. Pour un prix donné, quand deux ordres se correspondent, ils sont exécutés selon une règle First In First Out. Ainsi, à cause de cette complexité, un modèle exhaustif du carnet d'ordres peut ne pas nous amener à un modèle où, par exemple, il pourrait être difficile de tirer des conclusions sur la stratégie optimale du trader. Nous devons donc proposer des modèles qui puissent capturer les caractéristiques les plus importantes de la structure du carnet d'ordres tout en restant possible d'obtenir des résultats analytiques. Dans [AFS10], Alfonsi, Fruth et Schied ont proposé un modèle simple du carnet d'ordres. Dans ce modèle, il est possible de trouver explicitement la stratégie optimale pour acheter (ou vendre) une quantité donnée d'actions avant une maturité. L'idée est de diviser l'ordre d'achat (ou de vente) dans d'autres ordres plus petits afin de trouver l'équilibre entre l'acquisition des nouveaux ordres et leur prix. Ce travail de thèse se concentre sur une extension du modèle du carnet d'ordres introduit par Alfonsi, Fruth et Schied. Ici, l'originalité est de permettre à la profondeur du carnet d'ordres de dépendre du temps, ce qui représente une nouvelle caractéristique du carnet d'ordres qui a été illustré par [JJ88, GM92, HH95, KW96]. Dans ce cadre, nous résolvons le problème de l'exécution optimale pour des stratégies discrétes et continues. Ceci nous donne, en particulier, des conditions suffisantes pour exclure les manipulations des prix au sens de Huberman et Stanzl [HS04] ou de Transaction- Triggered Price Manipulation (voir Alfonsi, Schied et Slynko). Ces conditions nous donnent des intu- itions qualitatives sur la manière dont les teneurs de marché (market makers) peuvent créer ou pas des manipulations des prix.

L'étude s'attache à évaluer le marché potentiel des véhicules électriques auprès des ménages français. L'analyse porte non seulement sur les déterminants financiers de la demande, mais aussi sur les obstacles socio-économiques à l'adoption des véhicules électriques par ces ménages. L'approche désagrégée qui est appliquée à partir de la base de données de l'Enquête Nationale Transports et Déplacements 2007/2008 permet d'identifier les combinaisons d'instruments financiers les plus à même de garantir certains niveaux de pénétration du véhicule électrique dans la prochaine décennie. Les conclusions et observations tirées de l'étude permettent de formuler diverses suggestions à l'attention des constructeurs automobiles et des décideurs publics affichant la volonté de soutenir l'essor du véhicule électrique.

Cette thèse est consacrée à l'approximation de l'espérance d'une fonctionnelle (pouvant dépendre de toute la trajectoire) appliquée à un processus de diffusion (pouvant être multidimensionnel). La motivation de ce travail vient des mathématiques financières où la valorisation d'options se réduit au calcul de telles espérances. La rapidité des calculs de prix et des procédures de calibration est une contrainte opérationnelle très forte et nous apportons des outils temps-réel (ou du moins plus compétitifs que les simulations de Monte Carlo dans le cas multidimensionnel) afin de combler ces besoins. Pour obtenir des formules d'approximation, on choisit un modèle proxy dans lequel les calculs analytiques sont possibles, puis nous utilisons des développements stochastiques autour de ce modèle proxy et le calcul de Malliavin afin d'approcher les quantités d'intérêt. Dans le cas où le calcul de Malliavin ne peut pas être appliqué, nous développons une méthodologie alternative combinant calcul d'Itô et arguments d'EDP. Toutes les approches (allant des EDPs à l'analyse stochastique) permettent d'obtenir des formules explicites et des estimations d'erreur précises en fonction des paramètres du modèle. Bien que le résultat final soit souvent le même, la dérivation explicite du développement peut être très différente et nous comparons les approches, tant du point de vue de la manière dont les termes correctifs sont rendus explicites que des hypothèses requises pour obtenir les estimées d'erreur. Nous considérons différentes classes de modèles et fonctionnelles lors des quatre Parties de la thèse. Dans la Partie I, nous nous concentrons sur les modèles à volatilité locale et nous obtenons des nouvelles formules d'approximation pour les prix, les sensibilités (delta) et les volatilités implicites des produits vanilles surpassant en précision les formules connues jusque-là. Nous présentons aussi des nouveaux résultats concernant la valorisation des options à départ différé. La Partie II traite de l'approximation analytique des prix vanilles dans les modèles combinant volatilité locale et stochastique (type Heston). Ce modèle est très délicat à analyser car ses moments ne sont pas tous finis et qu'il n'est pas régulier au sens de Malliavin. L'analyse d'erreur est originale et l'idée est de travailler sur une régularisation appropriée du payoff et sur un modèle habilement modifié, régulier au sens de Malliavin et à partir duquel on peut contrôler la distance par rapport au modèle initial. La Partie III porte sur la valorisation des options barrières régulières dans le cadre des modèles à volatilité locale. C'est un cas non considéré dans la littérature, difficile à cause de l'indicatrice des temps de sorties. Nous mélangeons calcul d'Itô, arguments d'EDP, propriétés de martingales et de convolutions temporelles de densités afin de décomposer l'erreur d'approximation et d'expliciter les termes correctifs. Nous obtenons des formules d'approximation explicites et très précises sous une hypothèse martingale. La Partie IV présente une nouvelle méthodologie (dénotée SAFE) pour l'approximation en loi efficace des diffusions multidimensionnelles dans un cadre assez général. Nous combinons l'utilisation d'un proxy Gaussien pour approcher la loi de la diffusion multidimensionnelle et une interpolation locale de la fonction terminale par éléments finis. Nous donnons une estimation de la complexité de notre méthodologie. Nous montrons une efficacité améliorée par rapport aux simulations de Monte Carlo dans les dimensions petites et moyennes (jusqu'à 10).