Nous étudions dans ce travail les mouvements de foule intervenant dans les situa- tions d'urgence. Nous proposons un modèle macroscopique (la foule est représentée par une densité de personnes) obéissant à deux principes très simples. Tout d'abord, chaque personne possède une vitesse souhaitée (typiquement celle qui la mène vers la sortie), qu'elle adopterait en l'absence des autres. Ensuite, la foule doit respecter une contrainte de congestion, et la densité de personnes doit rester inférieure à une valeur fixée. Cette contrainte impose une vitesse de déplacement différente de la vitesse souhaitée. Nous choisissons de prendre comme vitesse réelle celle qui est la plus proche, au sens des moindres carrés, de la vitesse souhaitée, parmi les champs de vitesses admissibles, au sens où ils respectent la contrainte de densité maximale. Le modèle obtenu s'écrit sous la forme d'une équation de transport impliquant une vitesse peu régulière a priori, et qui ne peut être étudiée par des méthodes classiques. Nous démontrons un résultat d'existence grâce à la théorie du transport optimal, tout d'abord dans le cas d'une vitesse donnée comme le gradient d'une fonction, puis dans le cas général. Nous mettons également en œuvre un schéma numérique de type catching-up : à chaque pas de temps, la densité est déplacée selon le champ de vitesse souhaitée, puis est projetée sur l'ensemble des densités admissibles. Les résultats obtenus fournissent des temps d'évacuation dont l'ordre de grandeur est proche de la réalité.

Nous étudions dans ce travail les mouvements de foule intervenant dans les situa- tions d’urgence. Nous proposons un modèle macroscopique (la foule est représentée par une densité de personnes) obéissant à deux principes très simples. Tout d’abord, chaque personne possède une vitesse souhaitée (typiquement celle qui la mène vers la sortie), qu’elle adopterait en l’absence des autres. Ensuite, la foule doit respecter une contrainte de congestion, et la densité de personnes doit rester inférieure à une valeur fixée. Cette contrainte impose une vitesse de déplacement différente de la vitesse souhaitée. Nous choisissons de prendre comme vitesse réelle celle qui est la plus proche, au sens des moindres carrés, de la vitesse souhaitée, parmi les champs de vitesses admissibles, au sens où ils respectent la contrainte de densité maximale. Le modèle obtenu s’écrit sous la forme d’une équation de transport impliquant une vitesse peu régulière a priori, et qui ne peut être étudiée par des méthodes classiques. Nous démontrons un résultat d’existence grâce à la théorie du transport optimal, tout d’abord dans le cas d’une vitesse donnée comme le gradient d’une fonction, puis dans le cas général. Nous mettons également en œuvre un schéma numérique de type catching-up : à chaque pas de temps, la densité est déplacée selon le champ de vitesse souhaitée, puis est projetée sur l’ensemble des densités admissibles. Les résultats obtenus fournissent des temps d’évacuation dont l’ordre de grandeur est proche de la réalité. / In this work, we aim at modelling crowd motion in emergency situations. We propose a macroscopic model (where people are represented as a density) following two basic principles. First, each individual has a spontaneous velocity (typically, the one which leads to the nearest exit) which would be fulfilled in the absence of other people. On the other hand, the crowd has to respect a congestion constraint, and its density must remain underneath a critical density. This constraint prevents people from following their desired velocity. The actual velocity we consider is the closest, in a mean square sense, to the desired one, among the velocities which respect the maximal density constraint.The mathematical formulation writes as a transport equation which cannot be studied with classical methods, since the real velocity field has no a priori regularity, even if the desired velocity is smooth. Thanks to the optimal transport theory, we prove an existence result, first in the case where the desired velocity is the gradient of a given function, and then in the general framework. We also propose a numerical scheme which follows the catching-up principle: at each time step, we move the density according to the spontaneous velocity, and then project it onto the space of admissible densities. The numerical results we obtain reproduce qualitatively the experimental observations

Cette thèse comporte deux parties distinctes, toutes les deux liées à la théorie du transport optimal. Dans la première partie, nous considérons une variété riemannienne, deux mesures à densité régulière et un coût de transport, typiquement la distance géodésique quadratique et nous nous intéressons à la régularité de l'application de transport optimal. Le critère décisif à cette régularité s'avère être le signe du tenseur de Ma-Trudinger-Wang (MTW). Nous présentons tout d'abord une synthèse des travaux réalisés sur ce tenseur. Nous nous intéressons ensuite au lien entre la géométrie des lieux d'injectivité et le tenseur MTW. Nous montrons que dans de nombreux cas, la positivité du tenseur MTW implique la convexité des lieux d'injectivité. La deuxième partie de cette thèse est liée aux équations aux dérivées partielles. Certaines peuvent être considérées comme des flots gradients dans l'espace de Wasserstein W2. C'est le cas de l'équation de Keller-Segel en dimension 2. Pour cette équation nous nous intéressons au problème de quantification de la masse lors de l'explosion des solutions ; cette explosion apparaît lorsque la masse initiale est supérieure à un seuil critique Mc. Nous cherchons alors à montrer qu'elle consiste en la formation d'un Dirac de masse Mc. Nous considérons ici un modèle particulaire en dimension 1 ayant le même comportement que l'équation de Keller-Segel. Pour ce modèle nous exhibons des bassins d'attractions à l'intérieur desquels l'explosion se produit avec seulement le nombre critique de particules. Finalement nous nous intéressons au profil d'explosion : à l'aide d'un changement d'échelle parabolique nous montrons que la structure de l'explosion correspond aux points critiques d'une certaine fonctionnelle.

Cette thèse comporte deux parties distinctes, toutes les deux liées à la théorie du transport optimal. Dans la première partie, nous considérons une variété riemannienne, deux mesures à densité régulière et un coût de transport, typiquement la distance géodésique quadratique et nous nous intéressons à la régularité de l’application de transport optimal. Le critère décisif à cette régularité s’avère être le signe du tenseur de Ma-Trudinger-Wang (MTW). Nous présentons tout d’abord une synthèse des travaux réalisés sur ce tenseur. Nous nous intéressons ensuite au lien entre la géométrie des lieux d’injectivité et le tenseur MTW. Nous montrons que dans de nombreux cas, la positivité du tenseur MTW implique la convexité des lieux d’injectivité. La deuxième partie de cette thèse est liée aux équations aux dérivées partielles. Certaines peuvent être considérées comme des flots gradients dans l’espace de Wasserstein W2. C’est le cas de l’équation de Keller-Segel en dimension 2. Pour cette équation nous nous intéressons au problème de quantification de la masse lors de l’explosion des solutions ; cette explosion apparaît lorsque la masse initiale est supérieure à un seuil critique Mc. Nous cherchons alors à montrer qu’elle consiste en la formation d’un Dirac de masse Mc. Nous considérons ici un modèle particulaire en dimension 1 ayant le même comportement que l’équation de Keller-Segel. Pour ce modèle nous exhibons des bassins d’attractions à l’intérieur desquels l’explosion se produit avec seulement le nombre critique de particules. Finalement nous nous intéressons au profil d’explosion : à l’aide d’un changement d’échelle parabolique nous montrons que la structure de l’explosion correspond aux points critiques d’une certaine fonctionnelle. / This thesis consists in two distinct parts both related to the optimal transport theory.The first part deals with the regularity of the optimal transport map. The key tool is the Ma-Trundinger-Wang tensor and especially its positivity. We first give a review of the known results about the MTW tensor. We then explore the geometrical consequences of the MTW tensor on the injectivity domain. We prove that in many cases the positivity of MTW implies the convexity of the injectivity domain. The second part is devoted to the behaviour of a Keller-Segel solution in the super critical case. In particular we are interested in the mass quantization problem: we wish to quantify the mass aggregated when the blow-up occurs. In order to study the behaviour of the solution we consider a particle approximation of a Keller-Segel type equation in dimension 1. We define this approximation using the gradient flow interpretation of the Keller-Segel equation and the particular structure of the Wasserstein space in dimension 1. We show two kinds of results; we first prove a stability theorem for the blow-up mechanism: we exhibit basins of attraction in which the solution blows up with only the critical number of particles. We then prove a rigidity theorem for the blow-up mechanism: thanks to a parabolic rescaling we prove that the structure of the blow-up is given by the critical points of a certain functional.