University, Diss.--Paderborn, 1985.

The Fokker-Planck (FP) equation is a fundamental model in thermodynamic kinetic theories and statistical mechanics. In general, the FP equation appears in a number of different fields in natural sciences, for instance in solid-state physics, quantum optics, chemical physics, theoretical biology, and circuit theory. These equations also provide a powerful mean to define robust control strategies for random models. The FP equations are partial differential equations (PDE) describing the time evolution of the probability density function (PDF) of stochastic processes. These equations are of different types depending on the underlying stochastic process. In particular, they are parabolic PDEs for the PDF of Ito processes, and hyperbolic PDEs for piecewise deterministic processes (PDP). A fundamental axiom of probability calculus requires that the integral of the PDF over all the allowable state space must be equal to one, for all time. Therefore, for the purpose of accurate numerical simulation, a discretized FP equation must guarantee conservativeness of the total probability. Furthermore, since the solution of the FP equation represents a probability density, any numerical scheme that approximates the FP equation is required to guarantee the positivity of the solution. In addition, an approximation scheme must be accurate and stable. For these purposes, for parabolic FP equations on bounded domains, we investigate the Chang-Cooper (CC) scheme for space discretization and first- and second-order backward time differencing. We prove that the resulting space-time discretization schemes are accurate, conditionally stable, conservative, and preserve positivity. Further, we discuss a finite difference discretization for the FP system corresponding to a PDP process in a bounded domain. Next, we discuss FP equations in unbounded domains. In this case, finite-difference or finite-element methods cannot be applied. By employing a suitable set of basis functions, spectral methods allow to treat unbounded domains. Since FP solutions decay exponentially at infinity, we consider Hermite functions as basis functions, which are Hermite polynomials multiplied by a Gaussian. To this end, the Hermite spectral discretization is applied to two different FP equations; the parabolic PDE corresponding to Ito processes, and the system of hyperbolic PDEs corresponding to a PDP process. The resulting discretized schemes are analyzed. Stability and spectral accuracy of the Hermite spectral discretization of the FP problems is proved. Furthermore, we investigate the conservativity of the solutions of FP equations discretized with the Hermite spectral scheme. In the last part of this thesis, we discuss optimal control problems governed by FP equations on the characterization of their solution by optimality systems. We then investigate the Hermite spectral discretization of FP optimality systems in unbounded domains. Within the framework of Hermite discretization, we obtain sparse-band systems of ordinary differential equations. We analyze the accuracy of the discretization schemes by showing spectral convergence in approximating the state, the adjoint, and the control variables that appear in the FP optimality systems. To validate our theoretical estimates, we present results of numerical experiments. / Die Fokker-Planck (FP) Gleichung ist ein grundlegendes Modell in thermodynamischen kinetischen Theorien und der statistischen Mechanik. Die FP-Gleichungen sind partielle Differentialgleichungen (PDE), welche die zeitliche Entwicklung der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF) von stochastischen Prozessen beschreiben. Diese Gleichungen sind von verschiedenen Arten, abhängig von dem zugrunde liegenden stochastischen Prozess. Insbesondere sind dies parabolische PDEs für die PDF von Ito Prozessen, und hyperbolische PDEs für teilweise deterministische Prozesse (PDP). Ein grundlegendes Axiom der Wahrscheinlichkeitsrechnung verlangt, dass das Integral der PDF über den ganzen Raum für alle Zeit muss gleich sein muss. Daher muss eine diskretisierte FP Gleichung Konservativität der Gesamtwahrscheinlichkeit garantieren. Da die Lösung der FP Gleichung eine Wahrscheinlichkeitsdichte darstellt, muss das numerische Verfahren, das die FP-Gleichung approximiert, die Positivität der Lösung gewährleisten. Darüber hinaus muss ein Approximationsschema genau und stabil sein. Für FP-Gleichungen auf begrenzte Bereiche untersuchen wir das Chang-Cooper (CC) Schema. Wir beweisen, dass die Diskretisierungsmethoden genau, bedingt stabil und konservativ sind, und Positivität bewahren. Als nächstes diskutieren wir FP Gleichungen in unbeschränkten Gebieten und wir wählen die Hermite spektrale Diskretisierung. Die resultierenden diskretisierten Schemata werden analysiert. Stabilität und spektrale Genauigkeit der Hermiten spektralen Diskretisierung ist bewiesen. Darüber hinaus untersuchen wir die Konservativität der numerischen Lösungen der FP Gleichungen. Im letzten Teil dieser Arbeit diskutieren wir Probleme der optimalen Steuerung, die von FP Gleichungen geregelt werden. Wir untersuchen dann die Hermite spektrale Diskretisierung von FP Optimalitätssystemen in unbeschränkten Gebieten. Wir erhalten spärliche Band-Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen. Wir analysieren die Genauigkeit der Diskretisierungsmethoden, indem wir spektrale Konvergenz bei der Annäherung des zustandes, das Adjoint, und die Stellgrößen, die in den FP Optimalitätssystemen erscheinen, aufzeigen. Um unsere theoretischen Schätzungen zu bestätigen, präsentieren wir Ergebnisse von numerischen Experimenten.

The topic of this thesis is the theoretical and numerical analysis of optimal control problems, whose differential constraints are given by Fokker-Planck models related to jump-diffusion processes. We tackle the issue of controlling a stochastic process by formulating a deterministic optimization problem. The key idea of our approach is to focus on the probability density function of the process, whose time evolution is modeled by the Fokker-Planck equation. Our control framework is advantageous since it allows to model the action of the control over the entire range of the process, whose statistics are characterized by the shape of its probability density function. We first investigate jump-diffusion processes, illustrating their main properties. We define stochastic initial-value problems and present results on the existence and uniqueness of their solutions. We then discuss how numerical solutions of stochastic problems are computed, focusing on the Euler-Maruyama method. We put our attention to jump-diffusion models with time- and space-dependent coefficients and jumps given by a compound Poisson process. We derive the related Fokker-Planck equations, which take the form of partial integro-differential equations. Their differential term is governed by a parabolic operator, while the nonlocal integral operator is due to the presence of the jumps. The derivation is carried out in two cases. On the one hand, we consider a process with unbounded range. On the other hand, we confine the dynamic of the sample paths to a bounded domain, and thus the behavior of the process in proximity of the boundaries has to be specified. Throughout this thesis, we set the barriers of the domain to be reflecting. The Fokker-Planck equation, endowed with initial and boundary conditions, gives rise to Fokker-Planck problems. Their solvability is discussed in suitable functional spaces. The properties of their solutions are examined, namely their regularity, positivity and probability mass conservation. Since closed-form solutions to Fokker-Planck problems are usually not available, one has to resort to numerical methods. The first main achievement of this thesis is the definition and analysis of conservative and positive-preserving numerical methods for Fokker-Planck problems. Our SIMEX1 and SIMEX2 (Splitting-Implicit-Explicit) schemes are defined within the framework given by the method of lines. The differential operator is discretized by a finite volume scheme given by the Chang-Cooper method, while the integral operator is approximated by a mid-point rule. This leads to a large system of ordinary differential equations, that we approximate with the Strang-Marchuk splitting method. This technique decomposes the original problem in a sequence of different subproblems with simpler structure, which are separately solved and linked to each other through initial conditions and final solutions. After performing the splitting step, we carry out the time integration with first- and second-order time-differencing methods. These steps give rise to the SIMEX1 and SIMEX2 methods, respectively. A full convergence and stability analysis of our schemes is included. Moreover, we are able to prove that the positivity and the mass conservation of the solution to Fokker-Planck problems are satisfied at the discrete level by the numerical solutions computed with the SIMEX schemes. The second main achievement of this thesis is the theoretical analysis and the numerical solution of optimal control problems governed by Fokker-Planck models. The field of optimal control deals with finding control functions in such a way that given cost functionals are minimized. Our framework aims at the minimization of the difference between a known sequence of values and the first moment of a jump-diffusion process; therefore, this formulation can also be considered as a parameter estimation problem for stochastic processes. Two cases are discussed, in which the form of the cost functional is continuous-in-time and discrete-in-time, respectively. The control variable enters the state equation as a coefficient of the Fokker-Planck partial integro-differential operator. We also include in the cost functional a $L^1$-penalization term, which enhances the sparsity of the solution. Therefore, the resulting optimization problem is nonconvex and nonsmooth. We derive the first-order optimality systems satisfied by the optimal solution. The computation of the optimal solution is carried out by means of proximal iterative schemes in an infinite-dimensional framework. / Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit der theoretischen und numerischen Analyse von Optimalsteuerungsproblemen, deren Nebenbedingungen die Fokker-Planck-Gleichungen von Sprung-Diffusions-Prozessen sind. Unsere Strategie baut auf der Formulierung eines deterministischen Problems auf, um einen stochastischen Prozess zu steuern. Der Ausgangspunkt ist, die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion des Prozesses zu betrachten, deren zeitliche Entwicklung durch die Fokker-Planck-Gleichung modelliert wird. Dieser Ansatz ist vorteilhaft, da er es ermöglicht, den gesamten Bereich des Prozesses durch die Wirkung der Steuerung zu beeinflussen. Zuerst beschäftigen wir uns mit Sprung-Diffusions-Prozessen. Wir definieren Ausgangswertprobleme, die durch stochastische Differentialgleichungen beschrieben werden, und präsentieren Ergebnisse zur Existenz und Eindeutigkeit ihrer Lösungen. Danach diskutieren wir, wie numerische Lösungen stochastischer Probleme berechnet werden, wobei wir uns auf die Euler-Maruyama-Methode konzentrieren. Wir wenden unsere Aufmerksamkeit auf Sprung-Diffusions-Modelle mit zeit- und raumabhängigen Koeffizienten und Sprüngen, die durch einen zusammengesetzten Poisson-Prozess modelliert sind. Wir leiten die zugehörigen Fokker-Planck-Glei-chungen her, die die Form von partiellen Integro-Differentialgleichungen haben. Ihr Differentialterm wird durch einen parabolischen Operator beschrieben, während der nichtlokale Integraloperator Spr\"{u}nge modelliert. Die Ableitung wird auf zwei unterschiedlichen Arten ausgef\"{u}hrt, je nachdem, ob wir einen Prozess mit unbegrenztem oder beschränktem Bereich betrachten. In dem zweiten Fall muss das Verhalten des Prozesses in der Nähe der Grenzen spezifiziert werden; in dieser Arbeit setzen wir reflektierende Grenzen. Die Fokker-Planck-Gleichung, zusammen mit einem Anfangswert und geeigneten Randbedingungen, erzeugt das Fokker-Planck-Problem. Die Lösbarkeit dieses Pro-blems in geeigneten Funktionenräumen und die Eigenschaften dessen Lösung werden diskutiert, nämlich die Positivität und die Wahrscheinlichkeitsmassenerhaltung. Da analytische Lösungen von Fokker-Planck-Problemen oft nicht verfügbar sind, m\"{u}ssen numerische Methoden verwendet werden. Die erste bemerkenswerte Leistung dieser Arbeit ist die Definition und Analyse von konservativen numerischen Verfahren, die Fokker-Planck-Probleme lösen. Unsere SIMEX1 und SIMEX2 (Splitting-Implizit-Explizit) Schemen basieren auf der Linienmethode. Der Differentialoperator wird durch das Finite-Volumen-Schema von Chang und Cooper diskretisiert, während der Integraloperator durch eine Mittelpunktregel angenähert wird. Dies führt zu einem großen System von gewöhnlichen Differentialgleichungen, das mit der Strang-Marchuk-Splitting-Methode gelöst wird. Diese Technik teilt das ursprüngliche Problem in eine Folge verschiedener Teilprobleme mit einer einfachen Struktur, die getrennt gelöst werden und danach durch deren Anfangswerte miteinander verbunden werden. Dank der Splitting-Methode kann jedes Teilproblem implizit oder explizit gelöst werden. Schließlich wird die numerische Integration des Anfangswertsproblems mit zwei Verfahren durchgeführt, n\"{a}mlich dem Euler-Verfahren und dem Predictor-Corrector-Verfahren. Eine umfassende Konvergenz- und Stabilitätsanalyse unserer Systeme ist enthalten. Darüber hinaus können wir beweisen, dass die Positivität und die Massenerhaltung der Lösung von Fokker-Planck-Problemen auf diskreter Ebene durch die numerischen Lösungen erfüllt werden, die mit den SIMEX-Schemen berechnet wurden. Die zweite bemerkenswerte Leistung dieser Arbeit ist die theoretische Analyse und die numerische Behandlung von Optimalsteuerungsproblemen, deren Nebenbedingungen die Fokker-Planck-Probleme von Sprung-Diffusions-Prozessen sind. Der Bereich der optimalen Steuerung befasst sich mit der Suche nach einer optimalen Funktion, die eine gegebene Zielfunktion minimiert. Wir zielen auf die Minimierung des Unterschieds zwischen einer bekannten Folge von Werten und dem ersten Moment eines Sprung-Diffusions-Prozesses. Auf diese Weise kann unsere Formulierung auch als ein Parameterschätzungsproblem für stochastische Prozesse angesehen werden. Zwei Fälle sind erläutert, in denen die Zielfunktion zeitstetig beziehungsweise zeitdiskret ist. Da die Steuerung ein Koeffizient des Integro-Differentialoperators der Zustandsglei-chung ist und die Zielfunktion einen $ L^1 $-Term beinhaltet, der die dünne Besetzung der Lösung erhöht, ist das Optimierungsproblem nichtkonvex und nichtglatt. Die von der optimalen L\"{o}sung erf\"{u}llten notwendigen Bedingungen werden hergeleitet, die man mit einem System beschreiben kann. Die Berechnung optimaler Lösungen wird mithilfe von Proximal-Methoden durchgeführt, die entsprechend um den unendlichdimensionalen Fall erweitert wurden.

Ulm, Univ., Diss., 2008.

Universiẗat, Diss., 1997--Freiburg (Breisgau).

University, Diss., 2006--Kassel.

Techn. University, Diss., 2000--Berlin.

Für mikroskopische Teilchen, die sich durch eine überdämpfte Fockker-Planck-Gleichung beschreiben lassen, werden thermodynamische Größen definiert. Es wird ein Ausdruck für die irreversible Arbeit berechnet. Weiterhin wird ein Kreisprozess konstruiert und für diesen der Wirkungsrad am Punkt maximaler Leistung berechnet. Als Spezialfall wird dann ein Teilchen in einem harmonischen Potential betrachtet. Alle Ergebnisse stammen bereits aus einer Veröffentlichung, es werden jedoch hier alle Berechnungen angegeben.

Für mikroskopische Teilchen, die sich durch eine überdämpfte Fockker-Planck-Gleichung beschreiben lassen, werden thermodynamische Größen definiert. Es wird ein Ausdruck für die irreversible Arbeit berechnet. Weiterhin wird ein Kreisprozess konstruiert und für diesen der Wirkungsrad am Punkt maximaler Leistung berechnet. Als Spezialfall wird dann ein Teilchen in einem harmonischen Potential betrachtet. Alle Ergebnisse stammen bereits aus einer Veröffentlichung, es werden jedoch hier alle Berechnungen angegeben.

In dieser Arbeit werden verschieden Ansätze diskutiert, die zum Verständnis und zur Beschreibung anomalen Diffusionsverhaltens beitragen, wobei insbesondere zwei unterschiedliche Aspekte hervorgehoben werden. Zum einen wird das Entropieproduktions-Paradoxon beschrieben, welches bei der Analyse der Entropieproduktion bei der anomalen Diffusion, beschrieben durch fraktionale Diffusionsgleichungen auftritt. Andererseits wird ein detaillierter Vergleich zwischen Lösungen verallgemeinerter Diffusionsgleichungen mit numerischen Daten präsentiert, die durch Iteration der Mastergleichung auf verschiedenen Fraktalen produziert worden sind. Die Entropieproduktionsrate für superdiffusive Prozesse wird berechnet und zeigt einen unerwarteten Anstieg beim Übergang von dissipativer Diffusion zur reversiblen Wellenausbreitung. Dieses Entropieproduktions-Paradoxon ist die direkte Konsequenz einer anwachsenden intrinsischen Rate bei Prozessen mit zunehmendem Wellencharakter. Nach Berücksichtigung dieser Rate zeigt die Entropie den erwarteten monotonen Abfall. Diese Überlegungen werden für generalisierte Entropiedefinitionen, wie die Tsallis- und Renyi-Entropien, fortgeführt. Der zweite Aspekt bezieht sich auf die anomale Diffusion auf Fraktalen, im Besonderen auf Sierpinski-Dreiecke und -Teppiche. Die entsprechenden Mastergleichungen werden iteriert und die auf diese Weise numerisch gewonnenen Wahrscheinlichkeitsverteilungen werden mit den Lösungen vier verschiedener verallgemeinerter Diffusionsgleichungen verglichen.