É feita uma revisão crítica das propriedades fundamentais dos sistemas de Ermakov, compreendendo a lei de superposição não linear e a linearização dos sistemas de Ermakov nos casos em que a função freqüência depende apenas do tempo. Apresentam-se as aplicações mais relevantes dos sistemas de Ermakov na mecânica quântica. A teoria de Lewis e Riesenfeld é apresentada e utilizada na procura de estados coerentes e fases de Berry geométricas para sistemas quânticos. Sistemas de Ermakov generalizados são sis.temas de Ermakov cuja função freqüência depende não apenas do tempo, mas também das variáveis dinâmicas e suas derivadas. Encontram-se sistemas de Ermakov generalizados que admitem linearização. Com isto, são ampliados resultados previamente conhecidos na literatura, concernentes aos casos em que a freqüência depende apenas do tempo. Analisa-se a estrutura do grupo de simetrias de Lie geométricas dos sistemas de Ermakov generalizados. São consideradas algumas extensões dos sistemas de Ermakov a muitas dimensões, com ênfase nas abordagens baseadas em simetrias de Lie. É considerada a questão da existência de formulações Hamiltonianas associadas aos sistemas de Ermakov generalizados, com aplicação a um problema de três corpos com potencial de Calogero e a um sistema admitindo simetria dinâmica. Aplicando o teorema de Noether aos sistemas de Ermakov generalizados Hamiltonianos, encontra-se uma nova classe de sistemas dinâmicos completamente integrável. É obtida a solução exata das equações de movimento clássica e quântica para esta nova classe de sistemas. O teorema de Noether é aplicado ao movimento não relativístico de uma partícula carregada sob ação de um campo eletromagnético geral. Com isto, obtém-se um par de equações diferenciais parciais lineares satisfeitas pelos campos elétrico e magnético compatíveis com a existência de simetrias de Noether geométricas. A solução deste par de equações é analisada com profundidade no caso em que o campo magnético é devido a um monopolo magnético fixo na origem. É obtido o grupo de simetrias de Noether e as constantes de movimento exatas associadas. Aplica-se este resultado aos sistemas de uma partícula carregada sob ação de um monopolo magnético com a superposição de forças harmônica ou gravitacional dependentes do tempo. Em ambos os casos, considera-se uma força centrífuga extra. / The key properties of Ermakov systems are critically reviewed, including the nonlinear superposition law relating the solutions for the equations of motion and the linearization of Ermakov systems with frequency function depending only on time. The most relevant applications of Ermakov systems in quantum mechanics are presented. Thc Lewis and Riesenfeld theory is reviewed and used in the search for coherent states and geometric Berry's phases for quantum systems. Generalized Ermakov systems are Ermakov systems with frequency function depending also on the dynamical variables and their time derivatives. The linearization of generalized Ermakov systems is considered, extending known results on the literature concerning usual Ermakov systems. The Lie group structure of generalized Ermakov systems is analysed. Multi- dimensional extensions of generalized Ermakov systems obtained by Lie symmetry analysis are studied. New Hamiltonian formulations associated to generalized Ermakov systems are presented, with application to a three-body Calogero potential and to a system possessing dynamical symmetry. Noether's theorem applied to Hamiltonian generalized Ermakov systems leads to a new completely integrable dynamical system. The exact solutions for the corresponding classical and quantum equations of motion are found. Noether's theorem is applied to nonrelativistic charged particle motion under general electromagnetic fields. The electromagnetic fields compatible with Noether point symmetries are shown to satisfy a pair of coupled, linear partial differential equations. The solution for this pair of linear equations is found when the magnetic field is due to a magnetic monopole fixed at the origin. The associated Noether symmetries and constants of motion are obtained. The result is applied to the motion of a charged particle under a magnetic monopole with superimposed time-dependent harmonic or gravitacional forces. In both cases the influence of an additional centrifugai force is allowed.

É feita uma revisão crítica das propriedades fundamentais dos sistemas de Ermakov, compreendendo a lei de superposição não linear e a linearização dos sistemas de Ermakov nos casos em que a função freqüência depende apenas do tempo. Apresentam-se as aplicações mais relevantes dos sistemas de Ermakov na mecânica quântica. A teoria de Lewis e Riesenfeld é apresentada e utilizada na procura de estados coerentes e fases de Berry geométricas para sistemas quânticos. Sistemas de Ermakov generalizados são sis.temas de Ermakov cuja função freqüência depende não apenas do tempo, mas também das variáveis dinâmicas e suas derivadas. Encontram-se sistemas de Ermakov generalizados que admitem linearização. Com isto, são ampliados resultados previamente conhecidos na literatura, concernentes aos casos em que a freqüência depende apenas do tempo. Analisa-se a estrutura do grupo de simetrias de Lie geométricas dos sistemas de Ermakov generalizados. São consideradas algumas extensões dos sistemas de Ermakov a muitas dimensões, com ênfase nas abordagens baseadas em simetrias de Lie. É considerada a questão da existência de formulações Hamiltonianas associadas aos sistemas de Ermakov generalizados, com aplicação a um problema de três corpos com potencial de Calogero e a um sistema admitindo simetria dinâmica. Aplicando o teorema de Noether aos sistemas de Ermakov generalizados Hamiltonianos, encontra-se uma nova classe de sistemas dinâmicos completamente integrável. É obtida a solução exata das equações de movimento clássica e quântica para esta nova classe de sistemas. O teorema de Noether é aplicado ao movimento não relativístico de uma partícula carregada sob ação de um campo eletromagnético geral. Com isto, obtém-se um par de equações diferenciais parciais lineares satisfeitas pelos campos elétrico e magnético compatíveis com a existência de simetrias de Noether geométricas. A solução deste par de equações é analisada com profundidade no caso em que o campo magnético é devido a um monopolo magnético fixo na origem. É obtido o grupo de simetrias de Noether e as constantes de movimento exatas associadas. Aplica-se este resultado aos sistemas de uma partícula carregada sob ação de um monopolo magnético com a superposição de forças harmônica ou gravitacional dependentes do tempo. Em ambos os casos, considera-se uma força centrífuga extra. / The key properties of Ermakov systems are critically reviewed, including the nonlinear superposition law relating the solutions for the equations of motion and the linearization of Ermakov systems with frequency function depending only on time. The most relevant applications of Ermakov systems in quantum mechanics are presented. Thc Lewis and Riesenfeld theory is reviewed and used in the search for coherent states and geometric Berry's phases for quantum systems. Generalized Ermakov systems are Ermakov systems with frequency function depending also on the dynamical variables and their time derivatives. The linearization of generalized Ermakov systems is considered, extending known results on the literature concerning usual Ermakov systems. The Lie group structure of generalized Ermakov systems is analysed. Multi- dimensional extensions of generalized Ermakov systems obtained by Lie symmetry analysis are studied. New Hamiltonian formulations associated to generalized Ermakov systems are presented, with application to a three-body Calogero potential and to a system possessing dynamical symmetry. Noether's theorem applied to Hamiltonian generalized Ermakov systems leads to a new completely integrable dynamical system. The exact solutions for the corresponding classical and quantum equations of motion are found. Noether's theorem is applied to nonrelativistic charged particle motion under general electromagnetic fields. The electromagnetic fields compatible with Noether point symmetries are shown to satisfy a pair of coupled, linear partial differential equations. The solution for this pair of linear equations is found when the magnetic field is due to a magnetic monopole fixed at the origin. The associated Noether symmetries and constants of motion are obtained. The result is applied to the motion of a charged particle under a magnetic monopole with superimposed time-dependent harmonic or gravitacional forces. In both cases the influence of an additional centrifugai force is allowed.

É feita uma revisão crítica das propriedades fundamentais dos sistemas de Ermakov, compreendendo a lei de superposição não linear e a linearização dos sistemas de Ermakov nos casos em que a função freqüência depende apenas do tempo. Apresentam-se as aplicações mais relevantes dos sistemas de Ermakov na mecânica quântica. A teoria de Lewis e Riesenfeld é apresentada e utilizada na procura de estados coerentes e fases de Berry geométricas para sistemas quânticos. Sistemas de Ermakov generalizados são sis.temas de Ermakov cuja função freqüência depende não apenas do tempo, mas também das variáveis dinâmicas e suas derivadas. Encontram-se sistemas de Ermakov generalizados que admitem linearização. Com isto, são ampliados resultados previamente conhecidos na literatura, concernentes aos casos em que a freqüência depende apenas do tempo. Analisa-se a estrutura do grupo de simetrias de Lie geométricas dos sistemas de Ermakov generalizados. São consideradas algumas extensões dos sistemas de Ermakov a muitas dimensões, com ênfase nas abordagens baseadas em simetrias de Lie. É considerada a questão da existência de formulações Hamiltonianas associadas aos sistemas de Ermakov generalizados, com aplicação a um problema de três corpos com potencial de Calogero e a um sistema admitindo simetria dinâmica. Aplicando o teorema de Noether aos sistemas de Ermakov generalizados Hamiltonianos, encontra-se uma nova classe de sistemas dinâmicos completamente integrável. É obtida a solução exata das equações de movimento clássica e quântica para esta nova classe de sistemas. O teorema de Noether é aplicado ao movimento não relativístico de uma partícula carregada sob ação de um campo eletromagnético geral. Com isto, obtém-se um par de equações diferenciais parciais lineares satisfeitas pelos campos elétrico e magnético compatíveis com a existência de simetrias de Noether geométricas. A solução deste par de equações é analisada com profundidade no caso em que o campo magnético é devido a um monopolo magnético fixo na origem. É obtido o grupo de simetrias de Noether e as constantes de movimento exatas associadas. Aplica-se este resultado aos sistemas de uma partícula carregada sob ação de um monopolo magnético com a superposição de forças harmônica ou gravitacional dependentes do tempo. Em ambos os casos, considera-se uma força centrífuga extra. / The key properties of Ermakov systems are critically reviewed, including the nonlinear superposition law relating the solutions for the equations of motion and the linearization of Ermakov systems with frequency function depending only on time. The most relevant applications of Ermakov systems in quantum mechanics are presented. Thc Lewis and Riesenfeld theory is reviewed and used in the search for coherent states and geometric Berry's phases for quantum systems. Generalized Ermakov systems are Ermakov systems with frequency function depending also on the dynamical variables and their time derivatives. The linearization of generalized Ermakov systems is considered, extending known results on the literature concerning usual Ermakov systems. The Lie group structure of generalized Ermakov systems is analysed. Multi- dimensional extensions of generalized Ermakov systems obtained by Lie symmetry analysis are studied. New Hamiltonian formulations associated to generalized Ermakov systems are presented, with application to a three-body Calogero potential and to a system possessing dynamical symmetry. Noether's theorem applied to Hamiltonian generalized Ermakov systems leads to a new completely integrable dynamical system. The exact solutions for the corresponding classical and quantum equations of motion are found. Noether's theorem is applied to nonrelativistic charged particle motion under general electromagnetic fields. The electromagnetic fields compatible with Noether point symmetries are shown to satisfy a pair of coupled, linear partial differential equations. The solution for this pair of linear equations is found when the magnetic field is due to a magnetic monopole fixed at the origin. The associated Noether symmetries and constants of motion are obtained. The result is applied to the motion of a charged particle under a magnetic monopole with superimposed time-dependent harmonic or gravitacional forces. In both cases the influence of an additional centrifugai force is allowed.

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É considerado o problema de encontrar descrições de Poisson (formulações Hamiltonianas generalizadas) associadas a modelos físicos. Aspectos básicos e aplicações dos sistemas de Poisson são explanados utilizando a linguagem da geometria diferencial. Sobre geometria diferencial, consta um capítulo com noções fundamentais. São consideradas as Mecânicas de Nambu e Birkho:ff e suas relações com a Mecânica Hamiltoniana generalizada. A questão da estábilidade é discutida do ponto de vista das formulações de Poisson. Os métodos existentes atualmente para derivação de estruturas Hamiltonianas generalizadas são expostos. Em particular, o processo de redução é estudado. Propõe-se uma abordagem dedutiva e inédita para construção de formulações de Poisson. O novo método é capaz de resolver (localmente) a questão de como encontrar descrições Hamiltonianas de sistemas dinâmicos com no máximo três dimensões. Nos casos tridimensionais nos quais é conhecida uma superfície à qual as trajetórias são sempre tangentes, a nova estratégia reduz esta questão à solução de uma equação diferencial parcial de primeira ordem linear. Deste modo demonstra-se a existência (local) genérica de estruturas de Poisson para sistemas tridimensionais. O caso tridimensional é analizado com detalhe, par ticularmente no concernente à invari ância conforme da identid ade de Jacobi nesta dimensionalidade. A abordagem tratada nesta dissertação é aplicada a vários sistemas tridimensionais de interesse. / The problem of finding Poisson descriptions (generalized Hamiltonian formulations) assoei ateei with physical models is considered. The basic features anel aplications of Poisson systems are explained in the language of differential geometry. One chapter is included with the fundamental notions on differential geometry. The Nambu anel Birkhoff's Mechanics anel their relationship with the generalized Hamiltonian Mechanics are considered. The question of stability is discussed from the point of view of the Poisson formulations. The currently existing methods for derivation of generalized Hamiltonian structures are reviewed. Particularly, the reduction process is analized. A deductive approach is proposed for the construction of Poisson formu lations. The new method can solve (locally) the question of how to finei Hamiltonian descriptions of dynamical systems in, at most, three dimensions. When a surface to wich the motion is always tangent is known , in three dimensions the new approach reduces the problem to the solution of a linear partia! differential equation of first order. This demonstrates the general existence (local) of Poisson structures for tridimensional systems. The tridimensional case is analized in detail, particularly in what concerns the conformai invariance of the Jacobi identity in this dimensionality. The approach proposed in this dissertation is applied to various tridimensional systems of interest.

É considerado o problema de encontrar descrições de Poisson (formulações Hamiltonianas generalizadas) associadas a modelos físicos. Aspectos básicos e aplicações dos sistemas de Poisson são explanados utilizando a linguagem da geometria diferencial. Sobre geometria diferencial, consta um capítulo com noções fundamentais. São consideradas as Mecânicas de Nambu e Birkho:ff e suas relações com a Mecânica Hamiltoniana generalizada. A questão da estábilidade é discutida do ponto de vista das formulações de Poisson. Os métodos existentes atualmente para derivação de estruturas Hamiltonianas generalizadas são expostos. Em particular, o processo de redução é estudado. Propõe-se uma abordagem dedutiva e inédita para construção de formulações de Poisson. O novo método é capaz de resolver (localmente) a questão de como encontrar descrições Hamiltonianas de sistemas dinâmicos com no máximo três dimensões. Nos casos tridimensionais nos quais é conhecida uma superfície à qual as trajetórias são sempre tangentes, a nova estratégia reduz esta questão à solução de uma equação diferencial parcial de primeira ordem linear. Deste modo demonstra-se a existência (local) genérica de estruturas de Poisson para sistemas tridimensionais. O caso tridimensional é analizado com detalhe, par ticularmente no concernente à invari ância conforme da identid ade de Jacobi nesta dimensionalidade. A abordagem tratada nesta dissertação é aplicada a vários sistemas tridimensionais de interesse. / The problem of finding Poisson descriptions (generalized Hamiltonian formulations) assoei ateei with physical models is considered. The basic features anel aplications of Poisson systems are explained in the language of differential geometry. One chapter is included with the fundamental notions on differential geometry. The Nambu anel Birkhoff's Mechanics anel their relationship with the generalized Hamiltonian Mechanics are considered. The question of stability is discussed from the point of view of the Poisson formulations. The currently existing methods for derivation of generalized Hamiltonian structures are reviewed. Particularly, the reduction process is analized. A deductive approach is proposed for the construction of Poisson formu lations. The new method can solve (locally) the question of how to finei Hamiltonian descriptions of dynamical systems in, at most, three dimensions. When a surface to wich the motion is always tangent is known , in three dimensions the new approach reduces the problem to the solution of a linear partia! differential equation of first order. This demonstrates the general existence (local) of Poisson structures for tridimensional systems. The tridimensional case is analized in detail, particularly in what concerns the conformai invariance of the Jacobi identity in this dimensionality. The approach proposed in this dissertation is applied to various tridimensional systems of interest.

É considerado o problema de encontrar descrições de Poisson (formulações Hamiltonianas generalizadas) associadas a modelos físicos. Aspectos básicos e aplicações dos sistemas de Poisson são explanados utilizando a linguagem da geometria diferencial. Sobre geometria diferencial, consta um capítulo com noções fundamentais. São consideradas as Mecânicas de Nambu e Birkho:ff e suas relações com a Mecânica Hamiltoniana generalizada. A questão da estábilidade é discutida do ponto de vista das formulações de Poisson. Os métodos existentes atualmente para derivação de estruturas Hamiltonianas generalizadas são expostos. Em particular, o processo de redução é estudado. Propõe-se uma abordagem dedutiva e inédita para construção de formulações de Poisson. O novo método é capaz de resolver (localmente) a questão de como encontrar descrições Hamiltonianas de sistemas dinâmicos com no máximo três dimensões. Nos casos tridimensionais nos quais é conhecida uma superfície à qual as trajetórias são sempre tangentes, a nova estratégia reduz esta questão à solução de uma equação diferencial parcial de primeira ordem linear. Deste modo demonstra-se a existência (local) genérica de estruturas de Poisson para sistemas tridimensionais. O caso tridimensional é analizado com detalhe, par ticularmente no concernente à invari ância conforme da identid ade de Jacobi nesta dimensionalidade. A abordagem tratada nesta dissertação é aplicada a vários sistemas tridimensionais de interesse. / The problem of finding Poisson descriptions (generalized Hamiltonian formulations) assoei ateei with physical models is considered. The basic features anel aplications of Poisson systems are explained in the language of differential geometry. One chapter is included with the fundamental notions on differential geometry. The Nambu anel Birkhoff's Mechanics anel their relationship with the generalized Hamiltonian Mechanics are considered. The question of stability is discussed from the point of view of the Poisson formulations. The currently existing methods for derivation of generalized Hamiltonian structures are reviewed. Particularly, the reduction process is analized. A deductive approach is proposed for the construction of Poisson formu lations. The new method can solve (locally) the question of how to finei Hamiltonian descriptions of dynamical systems in, at most, three dimensions. When a surface to wich the motion is always tangent is known , in three dimensions the new approach reduces the problem to the solution of a linear partia! differential equation of first order. This demonstrates the general existence (local) of Poisson structures for tridimensional systems. The tridimensional case is analized in detail, particularly in what concerns the conformai invariance of the Jacobi identity in this dimensionality. The approach proposed in this dissertation is applied to various tridimensional systems of interest.