Cette thèse est consacrée à l’étude de la répartition des coefficients de fonctions L automorphes de GL(m) avec m = 2. D’une part, nous avons traité le premier changement de signes de ces coefficients, i.e. des problèmes de type Linnik, et obtenu des majorations du type polynômial. D’autre part, nous avons étudié les sommes longues et courtes des coefficients de fonctions L de GL(m) sur les nombres premiers pour tester leur décompensation, respectivement. / In the thesis we have studied the distribution of the coefficients of automorphic L-functions for GL(m) with m = 2. On the one hand, we have treated the first sign change of these coefficients, i.e. the Linnik-type problems, and obtained the polynomial-type estimates. On the other hand, we studied the long and short summations of coefficients of L-functions for GL(m) on the prime numbers to test their decompensation, respectively.

Soit g = 1 ou 2 et p > 3 un nombre premier. Pour le groupe symplectique GSp2g, les systèmes de valeurs propres de Hecke apparaissant dans les espaces de formes automorphes classiques, d’un niveau modéré fixé et de poids variable, sont interpolés p-adiquement par un espace rigide analytique, la vari´et´e de Hecke pour GSp2g. Un sous-domaine suffisamment petit de cette variété peut être décrit comme l’espace rigide analytique associé `a une algèbre profinie T. Une composante irréductible de T est d´efinie par un anneau profini I et un morphisme θ : T → I. Dans le cas résiduellement irréductible on peut associer `a θ une représentation ρθ : Gal(Q/Q) → GSp2g(I). On étudie l’image de ρθ quand θ décrit une composante de pente positive de T. Pour g = 1 il s’agit d’un travail en commun avec A. Lovita et J. Tilouine. On suppose que g = 1 o`u que g = 2 et θ est résiduellement de type cube sym2trique. On montre que Im ρθ est “grande” et que sa taille est li´ee aux “congruences fortuites” de θ avec les transferts de familles pour groupes de rang plus petit. Plus précisement, on agrandit un sous-anneau I0de I[1/p] en un anneau B et on définit une sous-algèbre de Lie G de gsp2g(B) associée `a Im ρθ. On prouve qu’il existe un idéal non-nul l de I0 tel que l · sp2g(B) ⊂ G. Pour g = 1 les facteurs premiers de l correspondent aux points CM de la famille θ. Pour g = 2 les facteurs premiers de l correspondent `a des congruences fortuites de θ avec des sous-familles de dimension 0 ou 1, obtenues par des transferts de type cube sym´etrique de points ou familles de la courbe de Hecke pour GL2. / Let g = 1 or 2 and p > 3 be a prime. For the symplectic group GSp2g the Hecke eigensystems appearing in the spaces of classical automorphic forms, of a fixed tame level and varying weight, are p-adically interpolated by a rigid analytic space, the GSp2g-eigenvariety. A sufficiently small subdomain of the eigenvariety can be described as the rigid analytic space associated with a profinite algebra T. An irreducible component of T is defined by a profinite ring I and a morphism θ : T → I. In the residually irreducible case we can attach to θ a representation ρθ : Gal(Q/Q) → GSp2g(I). We study the image of ρθ when θ describes a positive slope component of T. In the case g = 1 this is a joint work with A. Iovita and J. Tilouine. Suppose either that g = 1 or that g = 2 and θ is residually of symmetric cube type. We prove that Im ρθ is “big” and that its size is related to the “accidental congruences” of θ with the subfamilies that are obtained as lifts of families for groups of smaller rank. More precisely, we enlarge a subring I0 of I[1/p] to a ring B and we define a Lie subalgebra G of gsp2g(B) associated with Im ρθ. We prove that there exists a non-zero ideal l of I0 such that l · sp2g(B) ⊂ G. For g = 1 the prime factors of l correspond to the CM points of the family θ. Such points do not define congruences between θ and a CM family, so we call them accidental congruence points. For g = 2 the prime factors of l correspond to accidental congruences of θ with subfamilies of dimension 0 or 1 that are symmetric cube lifts of points or families of the GL2-eigencurve.

Cette thèse étudie l'existence de points de torsion pour les modules de Drinfeld de rang 2 sur des extensions finies de F_q(T), pour q puissance d'un nombre premier. Notre approche suit celle de Mazur et Merel pour la torsion des courbes elliptiques sur les corps de nombres : nous introduisons un quotient de la jacobienne d'une courbe modulaire de Drinfeld, défini à l'aide d'un symbole modulaire de Teitelbaum particulier, et étudions ses propriétés. Sous une hypothèse de dualité entre algèbre de Hecke et formes modulaires pour F_q[T], ainsi qu'une hypothèse technique mineure, on montre le résultat suivant : s'il existe un module de Drinfeld de rang 2 sur une extension de degré au plus q de F_q(T), muni d'un point de torsion d'ordre un idéal premier n de F_q[T], alors le degré de n est au plus max(q,4). Nous utilisons pour cela une description de l'action de l'algèbre de Hecke sur les symboles modulaires de Teitelbaum et sur les formes modulaires pour F_q[T]. Lorsque le degré de n est petit, on obtient des résultats non conditionnels : il n'existe aucun module de Drinfeld de rang 2 sur une extension de degré au plus 2 (resp. au plus 3) de F_q(T) possédant un point de torsion d'ordre un idéal premier de degré 3 (resp. de degré 4 si q est au moins 7). Cela confirme partiellement une conjecture de Poonen et Schweizer de borne uniforme sur la torsion des modules de Drinfeld.

Le résultat principal de cette thèse est une formule asymptotique pour le quatrième moment des fonctions L automorphes de niveau p', où p est un nombre premier et v-x. Il prolonge le travail de Rouymi, qui a calculé les trois premiers moments de niveau p, et il généralise les résultats obtenus en niveau premier par Duke, Friedlander & Iwaniec et Kowalski, Michel & Vanderkam. / The main result of this dissertation is an asymptotic formula for the fourth moment of automorphic L-functions of prime power level p, v-x. This is a continuation of the work of Rouymi, who computed the first three moments at prime power level, and a generalisation of results obtained for prime level by Duke, Friedlander & Iwaniec and Kowalski, Michel & Vanderkam.

Nous proposons deux applications à l'arithmétique des travaux récents de James Arthur sur la classification endoscopique du spectre discret des groupes symplectiques et orthogonaux. La première consiste à ôter une hypothèse d'irréductibilité dans un résultat de Richard Taylor décrivant l'image des conjugaisons complexes par les représentations galoisiennes p-adiques associées aux représentations automorphes cuspidales algébriques régulières essentiellement autoduales pour le groupe GL_{2n+1} sur un corps totalement réel. Nous l'étendons également au cas de GL_{2n}, sous une hypothèse de parité du caractère multiplicatif. Nous utilisons un résultat de déformation p-adique. Plus précisément, nous montrons l'abondance de points correspondant à des représentations galoisiennes (quasi-)irréductibles sur les variétés de Hecke pour les groupes symplectiques et orthogonaux pairs. La classification d'Arthur est utilisée à la fois pour définir les représentations galoisiennes et pour transférer des représentations automorphes autoduales (pas nécessairement cuspidales) de groupes linéaires aux groupes symplectiques et orthogonaux. La deuxième application concerne le calcul explicite de dimensions d'espaces de formes automorphes ou modulaires. Notre contribution principale est un algorithme calculant les intégrales orbitales aux éléments de torsion des groupes classiques p-adiques non ramifiés, pour l'unité de l'algèbre de Hecke non ramifiée. Cela permet le calcul du côté géométrique de la formule des traces d'Arthur, et donc celui de la caractéristique d'Euler du spectre discret en niveau un. La classification d'Arthur permet l'analyse fine de cette caractéristique d'Euler, jusqu'à en déduire les dimensions des espaces de formes automorphes. De là il n'est pas difficile d'apporter une réponse à un problème plus classique: déterminer les dimensions des espaces de formes modulaires de Siegel à valeurs vectorielles.

Dans cette thèse, on s'intéresse, sous deux aspects différents, à la cohomologie des variétés de Griffiths-Schmid attachées à une forme anisotrope du groupe SU(2,2). Ces variétés ont l'avantage, au contraire des variétés de Shimura, de parfois faire apparaître dans leur cohomologie des limites dégénérées de séries discrètes. La première partie étudie ce phénomène dans le cas des limites totalement dégénérées. On prouve que les classes attachées à ces représentations peuvent s'exprimer comme cup-produits d'autres classes attachées à des séries discrètes. La seconde partie étudie les liens entre deux différentes variétés de Griffiths-Schmid obtenues à partir de deux structures complexes. L'une est celle considérée dans la première partie, et l'autre est fibrée holomorphiquement sur une variété de Shimura. On prouve l'existence d'une application bijective entre certains espaces de cohomologie, en s'appuyant sur une interprétation en termes de fonctions holomorphes de la cohomologie de Dolbeault. Ce résultat est généralisé dans l'annexe aux cas des groupes SU(n,n) et SU(n+1,n).

Résumé anglais: <p><p>This thesis consists of an introductory text followed by two separate parts which may be read independently of each other. In Part I we analyze certain hyperbolic structures arising when studying gravity in the vicinity of spacelike singularities (the BKL-limit). In this limit, spatial points decouple and the dynamics exhibits ultralocal behaviour which may be mapped to an auxiliary problem given in terms of a (possibly chaotic) hyperbolic billiard. In all supergravities arising as low-energy limits of string theory or M-theory, the billiard dynamics takes place within the fundamental Weyl chambers of certain hyperbolic Kac-Moody algebras, suggesting that these algebras generate hidden infinite-dimensional symmetries of gravity. We investigate the modification of the billiard dynamics when the original gravitational theory is formulated on a compact spatial manifold of arbitrary topology, revealing fascinating mathematical structures known as galleries. We further use the conjectured hyperbolic symmetry E10 to generate and classify certain cosmological (S-brane) solutions in eleven-dimensional supergravity. Finally, we show in detail that eleven-dimensional supergravity and massive type IIA supergravity are dynamically unified within the framework of a geodesic sigma model for a particle moving on the infinite-dimensional coset space E10/K(E10). <p><p>Part II of the thesis is devoted to a study of how (U-)dualities in string theory provide powerful constraints on perturbative and non-perturbative quantum corrections. These dualities are typically given by certain arithmetic groups G(Z) which are conjectured to be preserved in the effective action. The exact couplings are given by moduli-dependent functions which are manifestly invariant under G(Z), known as automorphic forms. We discuss in detail various methods of constructing automorphic forms, with particular emphasis on a special class of functions known as (non-holomorphic) Eisenstein series. We provide detailed examples for the physically relevant cases of SL(2,Z) and SL(3,Z), for which we construct their respective Eisenstein series and compute their (non-abelian) Fourier expansions. We also discuss the possibility that certain generalized Eisenstein series, which are covariant under the maximal compact subgroup K(G), could play a role in determining the exact effective action for toroidally compactified higher derivative corrections. Finally, we propose that in the case of rigid Calabi-Yau compactifications in type IIA string theory, the exact universal hypermultiplet moduli space exhibits a quantum duality group given by the emph{Picard modular group} SU(2,1;Z[i]). To verify this proposal we construct an SU(2,1;Z[i])-invariant Eisenstein series, and we present preliminary results for its Fourier expansion which reveals the expected contributions from D2-brane and NS5-brane instantons. <p><p>/<p><p>Résumé francais: <p><p>Cette thèse est composée d'une introduction suivie de deux parties qui peuvent être lues indépendemment. Dans la première partie, nous analysons des structures hyperboliques apparaissant dans l'étude de la gravité au voisinage d'une singularité de type espace (la limite BKL). Dans cette limite, les points spatiaux se découplent et la dynamique suit un comportement ultralocal qui peut être reformulé en termes d'un billiard hyperbolique (qui peut être chaotique). Dans toutes les supergravités qui sont des limites de basse énergie de théories de cordes ou de la théorie M, la dynamique du billiard prend place à l'intérieur des chambres de Weyl fondamentales de certaines algèbres de Kac-Moody hyperboliques, ce qui suggère que ces algèbres correspondent à des symétries cachées de dimension infinie de la gravité. Nous examinons comment la dynamique du billard est modifiée quand la théorie de gravité originale est formulée sur une variété spatiale compacte de topologie arbitraire, révélant ainsi de fascinantes structures mathématiques appelées galleries. De plus, dans le cadre de la supergravité à onze dimensions, nous utilisons la symétrie hyperbolique conjecturée E10 pour engendrer et classifier certaines solutions cosmologiques (S-branes). Finalement, nous montrons en détail que la supergravité à onze dimensions et la supergravité de type IIA massive sont dynamiquement unifiées dans le contexte d'un modèle sigma géodesique pour une particule se déplaçant sur l'espace quotient de dimension infinie E10/K(E10).<p><p><p>La deuxième partie de cette thèse est consacrée à étudier comment les dualités U en théorie des cordes fournissent des contraintes puissantes sur les corrections quantiques perturbatives et non perturbatives. Ces dualités sont typiquement données par des groupes arithmétiques G(Z) dont il est conjecturé qu'ils préservent l'action effective. Les couplages exacts sont donnés par des fonctions des moduli qui sont manifestement invariantes sous G(Z), et qu'on appelle des formes automorphiques. Nous discutons en détail différentes méthodes de construction de ces formes automorphiques, en insistant particulièrement sur une classe spéciale de fonctions appelées séries d'Eisenstein (non holomorphiques). Nous présentons comme exemples les cas de SL(2,Z) et SL(3,Z), qui sont physiquement pertinents. Nous construisons les séries d'Eisenstein correspondantes et leurs expansions de Fourier (non abéliennes). Nous discutons également la possibilité que certaines séries d'Eisenstein généralisées, qui sont covariantes sous le sous-groupe compact maximal, pourraient jouer un rôle dans la détermination des actions effectives exactes pour les théories incluant des corrections de dérivées supérieures compactifiées sur des tores.<p><p> / Doctorat en Sciences / info:eu-repo/semantics/nonPublished

Cette thèse est consacrée à l'étude des représentations automorphes algébriques des groupes linéaires découvertes par Chenevier-Renard. On s'intéresse plus particulièrement à leurs paramètres de Satake. Pour cela, nous utilisons la théorie d'Arthur afin de faire apparaître ces représentations par le biais de représentations automorphes discrètes des groupes spéciaux orthogonaux de réseaux bien choisis. Ensuite, on détermine des propriétés d'opérateurs de Hecke agissant sur ces mêmes réseaux, ce qui nous donne de nombreuses informations sur ces paramètres de Satake. On arrive notamment à déterminer la trace dans la représentation standard de nombreux paramètres de Satake des représentations algébriques évoquées, dont les poids peuvent être arbitrairement grands. Ces résultats nous permettent aussi de déterminer de nombreux opérateurs de Hecke, associés aux voisinage de Kneser, vus comme endomorphismes agissant sur les classes d'isomorphisme des réseaux pairs de déterminant 2 en dimension 23 ou 25. / In this these we study the different algebraic automorphic representations discovered by Chenevier-Renard. We focus more particularly on their Satake parameters. To do so, we use Arthur's theory, which enables us to see these representations through discrete automorphic representations for the special orthogonal group of well chosen lattices. Afterwards, we can compute some properties of Hecke operators acting on these lattices. This gives us a lot of information on these Satake parameters. In particular, we can determine the trace in the standard representation for many of these algebraic representations, which weight can be arbitrarily high. These results also enable us to compute many Hecke operators, connected to the notion of neighbourhood developed by Kneser, seen as linear operators acting on the classes of isomorphism of even lattices with determinant 2 in dimension 23 or 25.

Cette thèse a deux résultats d'analyse harmonique sur des groupes réductifs. Soit G connexe et défini sur un corps de nombres F, A les adèles et K un sous-groupe compact maximal de G(A). On a étudié la décomposition de l'espace des fonctions de carré intégrable sur le l'espace quotient G(F)\G(A)/K, en tant que module sur une algèbre de Hecke global. Des résultats similaires que ceux obtenus ici ont été établies par divers auteurs pour de nombreux cas particuliers. La caractéristique principale de la présente approche réside dans le fait qu'il est uniforme. Cette approche a été inspirée par des résultats de G. Heckman et E. Opdam dans les problèmes spectraux pour les algèbre de Hecke graduée. Dans la démonstration, nous avons besoin d'un résultat par M. Reeder sur les espaces de poids des représentations (anti)sphériques de la série discrète de l’algèbre de Hecke affine, aussi, nous sommes confrontés au problème du calcul de certains constantes rationnelles dans le spectre global mesurer en termes de mesures de Plancherel locales.Pour le second résultat, nous montrons qu'un complexe de Coxeter et un immeuble euclidienne peuvent être dotés de fonctions de Morse PL qui permet d'écrire des contractions explicites des complexes cellulaires sous-jacents. Cette approche par la théorie de Morse pour étudier les immeubles de Bruhat-Tits a été inspiré par les idées de G. Savin et M. Bestvina dans le cas de l’immeuble de SL(n). Nous conjecturer que ces contractions ont de bonnes bornes sur leurs coefficients et peuvent donc être utilisés pour calculer les groupes Ext entre les représentations tempérée d'une manière analogue à celle qui a été fait par M. Solleveld et E. Opdam. / This thesis contains two results on harmonic analysis of reductive groups. First, let G be connected and defined over a number field F, A be the ring of adèles and K be a maximal compact subgroup of G(A). We studied the decomposition of the space of square-integrable functions on the quotient G(F)\G(A)/K, as a module for a global Hecke algebra. Similar results than the ones obtained here have been established by various authors for many special cases of reductive groups. The main feature of the present approach is the fact that it is uniform. Such approach was greatly inspired by results of G. Heckman and E. Opdam in treating spectral problems for graded affine Hecke algebras. In the proof, we need a result by M. Reeder on the weight spaces of the (anti)spherical discrete series representations of affine Hecke algebras, as well as we are faced with the problem of computing certain rational constants factors involved in the global spectral measure in terms of local Plancherel measures which are known only in the affine Hecke algebra context.
As for the second result, we show that a Coxeter complex and a Euclidean building can be endowed with piecewise linear Morse functions that allows one to write down explicit contractions of the underlying cell complexes. Such approach via PL Morse theory to study buildings was heavily inspired by ideas from G. Savin and M. Bestvina in the specific case of the building of SL(n). We conjecture that these contractions have nice bounds on their coefficients and thus can be used to compute Ext groups between tempered representations in an analogous way as was done by M. Solleveld and E. Opdam.

Dans cette thèse nous étudions les propriétés p-adiques des variétés de Shimura de type P.E.L qui ont bonne réduction en p et pour lesquelles le lieu ordinaire est vide. Dans un premier chapitre on construit des invariants qui découpent dans les variétés de Shimura un ouvert dense, le lieu mu-ordinaire, et nous étudions les propriétés géométriques de ces invariants. Dans le second chapitre nous étendons au cas mu-ordinaire la théorie du sous-groupe canonique, et construisons donc pour des familles de groupes p-divisibles “presque” mu-ordinaire une filtration canonique de la p^n-torsion. Cela s’applique en particulier à certains voisinages rigides stricts du lieu mu-ordinaires des variétés de Shimura étudiées. Dans le troisième chapitre, qui est un travail en commun avec Stéphane Bijakowski, nous reconstruisons des invariants dans un cadre plus étendu que dans le premier chapitre sur certains modèles locaux de variétés de Shimura, lorsque l’on autorise le nombre premier p à ramifier dans la donnée de Shimura locale. Enfin, dans le quatrième chapitre on met en application les constructions des deux premiers chapitres pour construire une variété rigide, une variété de Hecke, qui paramètre les familles p-adiques de formes modulaires de Picard de pente finie, lorsque p est inerte dans le corps quadratique imaginaire de la donnée de Picard. / In this thesis we study the p-adic properties of P.E.L. type Shimura varieties which have good reduction at p and for which the ordinary locus is empty. In the first chapter, we construct locally some invariants that cuts out inside the Shimura varieties an open and dense locus, the mu-ordinary locus, and study the geometric properties of these invariants. In the second chapter we extend to the unramified mu-ordinary case the theory of the canonical subgroup. Thus, we construct for ’nearly’ mu-ordinary families of p-divisible groups a canonical filtration of the p^n-torsion. This applies in particular to some strict rigid neighbourhoods of the mu-ordinary locus of the Shimura varieties previously studied. In the third chapter, which is a collaboration with Stéphane Bijakowski, we extend the construction of the invariants of the first chapter to some local integral models of Shimura varieties where the prime p can be ramified in the local datum. Finally, in the last chapter, we use the constructions of the first two chapter to construct a rigid variety, the Eigenvariety, which parametrises the finite slope p-adic families of Picard automorphic forms when the prime p is inert in the quadratic imaginary field of the Picard datum.