O objetivo deste trabalho é investigar propriedades qualitativas das equações diferenciais funcionais neutras (EDFNs) e introduzir uma classe geral de equações chamadas EDFNs em medida. Obtemos resultados sobre o comportamento assintótico para uma classe de EDFNs com coeficientes periódicos, onde o período e o retardamento estão racionalmente relacionados. Também, conseguimos mostrar que a dicotomia exponencial do operador solução das equações diferenciais funcionais com retardamento (EDFRs) não autônomas implica na existência de soluções limitadas para EDFRs não homogêneas associadas. Finalmente, através da teoria das equações diferenciais ordinárias generalizas (EDOs generalizadas), obtemos resultados de existência e unicidade, dependência contnua em relação aos dados inicias, das soluções das EDFNs em medida. Os resultados novos apresentados neste trabalho estão contidos nos artigos [31, 43] / The aim of this work is to investigate qualitative properties of neutral functional differential equations (NFDEs) and introduce a general class of equations called measure NFDE . We obtain results on the asymptotic behavior for a class of NFDEs with periodic coefficients, where the period and delay are rationally related. Moreover, we show that the exponential dichotomy of the solution operator of non autonomous retarded functional differential equations (RFDEs) implies the existence of bounded solutions to the associated non homogeneous RFDEs. Finally, using the theory of generalized ordinary differential equations (generalized ODEs), we obtain results of existence and uniqueness, continuous dependence on parameters of the solutions of measure NFDEs. The new results presented in this work are contained in the articles [31,43]

We elaborate upon the Herty-Illner macroscopic traffic models which include special non-local forces. The first chapter presents these in relation to the traffic models of Aw-Rascle and Zhang, arguing that non-local forces are necessary for a realistic description of traffic. The second chapter considers travelling wave solutions for the Herty-Illner macroscopic models. The travelling wave ansatz for the braking scenario reveals a curiously implicit nonlinear functional differential equation, the jam equation, whose unknown is, at least to conventional tools, inextricably self-argumentative! Observing that analytic solution methods fail for the jam equation yet succeed for equations with similar coefficients raises a challenging problem of pure and applied mathematical interest. An unjam equation analogous to the jam equation explored by Illner and McGregor is derived. The third chapter outlines refinements for the Herty-Illner models. Numerics allow exploration of the refined model dynamics in a variety of realistic traffic situations, leading to a discussion of the broadened applicability conferred by the refinements: ultimately the prediction of stop-and-go waves. The conclusion asserts that all of the above contribute knowledge pertinent to traffic control for reduced congestion and ameliorated vehicular flow. / Graduate

O objetivo deste trabalho é investigar propriedades qualitativas das equações diferenciais funcionais neutras (EDFNs) e introduzir uma classe geral de equações chamadas EDFNs em medida. Obtemos resultados sobre o comportamento assintótico para uma classe de EDFNs com coeficientes periódicos, onde o período e o retardamento estão racionalmente relacionados. Também, conseguimos mostrar que a dicotomia exponencial do operador solução das equações diferenciais funcionais com retardamento (EDFRs) não autônomas implica na existência de soluções limitadas para EDFRs não homogêneas associadas. Finalmente, através da teoria das equações diferenciais ordinárias generalizas (EDOs generalizadas), obtemos resultados de existência e unicidade, dependência contnua em relação aos dados inicias, das soluções das EDFNs em medida. Os resultados novos apresentados neste trabalho estão contidos nos artigos [31, 43] / The aim of this work is to investigate qualitative properties of neutral functional differential equations (NFDEs) and introduce a general class of equations called measure NFDE . We obtain results on the asymptotic behavior for a class of NFDEs with periodic coefficients, where the period and delay are rationally related. Moreover, we show that the exponential dichotomy of the solution operator of non autonomous retarded functional differential equations (RFDEs) implies the existence of bounded solutions to the associated non homogeneous RFDEs. Finally, using the theory of generalized ordinary differential equations (generalized ODEs), we obtain results of existence and uniqueness, continuous dependence on parameters of the solutions of measure NFDEs. The new results presented in this work are contained in the articles [31,43]

Neste trabalho, apresentamos novos critérios para a existência de soluções oscilatórias e não oscilatórias de equações diferenciais funcionais em medida com impulsos, separando-as em duas classes: equações diferenciais funcionais retardadas e equações diferenciais funcionais com argumento avançado. Tratamos das formas integrais destas equações diferenciais usando as integrais de Perron e Perron-Stieltjes. Assim, as funções envolvidas podem ter muitas descontinuidades e/ou podem ser de variação ilimitada. / In this work, we present new criteria for the existence of oscillatory and nonoscillatory solutions of measure functional differential equations with impulses, separating them into two classes: delay differential equations and functional differential equations with advanced argument. We deal with the integral forms of the differential equations using the Perron and the Perron-Stieltjes integrals. Thus the functions involved can have many discontinuities and/or they can be of unbounded variation.

Neste trabalho, apresentamos novos critérios para a existência de soluções oscilatórias e não oscilatórias de equações diferenciais funcionais em medida com impulsos, separando-as em duas classes: equações diferenciais funcionais retardadas e equações diferenciais funcionais com argumento avançado. Tratamos das formas integrais destas equações diferenciais usando as integrais de Perron e Perron-Stieltjes. Assim, as funções envolvidas podem ter muitas descontinuidades e/ou podem ser de variação ilimitada. / In this work, we present new criteria for the existence of oscillatory and nonoscillatory solutions of measure functional differential equations with impulses, separating them into two classes: delay differential equations and functional differential equations with advanced argument. We deal with the integral forms of the differential equations using the Perron and the Perron-Stieltjes integrals. Thus the functions involved can have many discontinuities and/or they can be of unbounded variation.

The purpose of this work is to investigate continuous dependence on parameters for generalized linear differential equations in a Banach space- valued setting. More precisely, we establish a theorem inspired by the clas- sical continuous dependence result due to Z. Opial. In addition, our second outcome extends, to Banach spaces, the result proved by M. Ashordia in the framework of finite dimensional generalized linear differential equations. Roughly speaking, the continuous dependence derives from assumptions of uniform convergence of the functions in the right-hand side of the equations, together with the uniform boundedness of variation of the linear terms. Fur- thermore, applications of these results to dynamic equations on time scales and also to functional differential equations are proposed. Besides these results on continuous dependence, we complete the theory of abstract Kurzweil-Stieltjes integration so that it is well applicable for our purposes in generalized linear differential equations. In view of this, our contributions are related not only to differential equations but also to the abstract Kurzweil-Stieltjes integration theory itself. The new results presented in this work are contained in the papers [26] and [27], both accepted for publication / O objetivo deste trabalho é investigar a dependência contínua de soluções em relação a parâmetros para equações diferenciais lineares generalizadas no contexto de espaços de Banach. Mais precisamente, apresentamos um teo- rema inspirado no resultado clássico de dependência contínua obtido por Z. Opial. Nosso segundo resultado estende, para espaços de Banach, o provado por M. Ashordia no contexto de equações diferenciais lineares gen- eralizadas em dimensão finita. Em linhas gerais, a dependência contínua decorre da convergência uniforme das funções à direita das equações, junta- mente com a limitação uniforme da variação dos termos lineares. No mais, são propostas aplicações desses resultados em equações dinâmicas em escalas temporais e também em equações diferenciais funcionais. Além dos resultados em dependência contínua, completamos à teoria de integração abstrata de Kurzweil-Stieltjes de modo que esta se adeque aos nossos propósitos em equações diferenciais lineares generalizadas. Assim, nossas contribuições dizem respeito não apenas a equações diferenciais, mas também a teoria de integração abstrata de Kurzweil-Stieltjes em si. Os resultados originais apresentados neste trabalho estão contidos nos artigos [26] e [27], ambos aceitos para publicação

Neste trabalho, nós consideramos o seguinte problema de valor inicial para uma equação diferencial funcional retardada com impulsos { \'x PONTO\' = \'varepsilon\' f (t, \'x IND.t\'), t \' DIFERENTE\' \'t IND. k\', \'DELTA\' x(\'t IND. k\') = \'varepsilon\' \' I IND. k\' (x ( \'t IND.k\')), k = 0, 1, 2, ... \'x IND. t IND.0\' = \' phi\', onde f está definida em um aberto \' OMEGA\' de R x \' G POT. -\' ([- r, 0], \' R POT. n\') e assume valores em \'R POT. n\', \' \'varepsilon\' \'G POT. - ([ - r, 0], \'R POT.n\'), r .0, onde \' G POT -\' ([ - r, 0], \' R POT. n\') denota o espaço das funções de [ - r, 0] em \' R POT. n\' que estão regradas e contínuas à esquerda. Além disso, \' t IND.0 < \' t IND. 1\'< ... \'t IND. k\' < ... são momentos pré determinados de impulsos tais que \'lim SOBRE k SETA + \' INFINITO\' \'t IND. k = + \' INFINITO\' e \'DELTA\'x (\' t IND.k\') = x ( \'t POT. + IND > k) - x (\'t IND. k). Os operadores de impulso \' I IND. k\', k = 0, 1, ... são funções contínuas de \'R POT. n\' em \' R POT. n\'. Consideramos, também, que para cada x \'varepsilon\' \' G POT. -\' ([- r, \' INFINITO\'), \'R POT. n\'), t \'SETA\' f (t, \'x IND. t\') é uma função localmente Lebesgue integrável e sua integral indefinida satisfaz uma condição do tipo Carathéodory. Além disso, f é Lipschitziana na segunda variável. Definimos \' f IND. 0\' ( \'phi\') = \' lim SOBRE T \' SETA\' \' INFINITO\' \'1 SUP. T \' INT. SUP. T INF. \' T IND.0\' f (t, \' PSI\') dt e \' I IND. 0(x) = \' lim SOBRE T \'SETA\' \' INFINITO\' \' 1 SUP. T\' \' SIGMA\' IND. 0 < ou = \' t IND. i\' < T onde \' psi\' \'varepsilon\' \' G POT. -\' ([ - r, 0], \' R POT. n\', e consideremos a seguinte equação diferencial funcioonal autônoma \" média\" y PONTO = \' varepsilon\' [ \' f IND. 0\' (\' y IND. t\' + \' I IND> 0\' (y (t))], \'y IND. t IND. 0 = \' phi\'. Então provamos que, sob certas condições, a solução x(t) de (1) se aproxima da solução y(t) de (2) em tempo assintoticamente grande / In this present work, we condider the following initial value problem for a retarded functional differential equation with impulses { \'x POINT\' = \'varepsilon\' f (t, \'x IND.t\'), t \' DIFFERENT\' \'t IND. k\', \'DELTA\' x(\'t IND. k\') = \'varepsilon\' \' I IND. k\' (x ( \'t IND.k\')), k = 0, 1, 2, ... \'x IND. t IND.0\' = \' phi\', where f está defined in a open set \' OMEGA\' de R x \' G POT. -\' ([- r, 0], \' R POT. n\'), r >0, and takes values in \'R POT. n\', \' \'varepsilon\' \'G POT. - ([ - r, 0], \'R POT.n\'), r .0, where \' G POT -\' ([ - r, 0], \' R POT. n\') denotes the space of regulated functions from [ - r, 0] to \' R POT. n\' which are left continuous. Furthermore, \' t IND.0 < \' t IND. 1\'< ... \'t IND. k\' < ... are pre-assigned moments of impulse effects such that \'lim ON k ARROW + \' THE INFINITE\' \'t IND. k = + \' THE INFINITE\' e \'DELTA\'x (\' t IND.k\') = x ( \'t POT. + IND>k) - x (\'t IND. k). The impulse operators \' I IND. k\', k = 0, 1, ... are continuous mappings from \'R POT. n\' to \' R POT. n\'. For each x \'varepsilon\' \' G POT. -\' ([- r, \' THE INFINITE\'), \'R POT. n\'), t \'ARROW\' f (t, \'x IND. t\') is locally Lebesgue integrable and its indefinite integral satisfies a Carathéodory. Moreover, f é Lipschitzian with respect to the second variable. We define \' f IND. 0\' ( \'phi\') = \' lim ON T \' ARROW\' \' THE INFINITE\' \'1 SUP. T \' INT. SUP. T INF. \' T IND.0\' f (t, \' PSI\') dt and \' I IND. 0(x) = \' lim ON T \'ARROW\' \' THE INFINITE\' \' 1 SUP. T\' \' SIGMA\' IND. 0 < or = \' t IND. i\' < T where \' psi\' \'varepsilon\' \' G POT. -\' ([ - r, 0], \' R POT. n\', and consider the \"averaged\" autonomous functional differential equation \'y PONTO = \' varepsilon\' [ \' f IND. 0\' (\' y IND. t\' + \' I IND> 0\' (y (t))], \'y IND. t IND. 0 = \' phi\'. Then we prove that, under certain conditions, the solution x(t) of (1) in aproximates the solution y(t) de (2) in an asymptotically large time interval

Estamos interessados em estudar o comportamento assintótico das soluções de uma classe de Equações Diferenciais Funcionais (EDF) lineares e autônomas do tipo neutro, onde os coeficientes, na parte não neutra, são funções periódicas de período comum w! e os retardamentos são múltiplos de w. Para isto, utilizamo-nos da teoria espectral de operadores aplicada ao chamado operador monodrômico \'PI\' : C \'SETA\' C, cuja ação é evoluir um dado estado um passo de tamanho w. Calculamos o resolvente deste operador, donde inferimos todas as propriedades espectrais que nos permitem determinar o comportamento assintótico das soluções. Mostramos a importância de se determinar autovalores dominantes para a obtenção das estimativas, e mostramos resultados neste sentido. Estudamos em detalhe três exemplos que ilustram a teoria e demonstram sua aplicabilidade / We are interested in the study of the asymptotic behavior of the solutions of a class of linear autonomous Functional Differential Equations (FDE) of neutral type, where the coeficients of the non neutral part are periodic functions with common period w and the time delays are multiples of w. We employ the spectral theory for linear operators applied to the so called monodromic operator \'PI\' : C \'ARROW\'! C, whose action is to evolve a given state one step of size w. We compute the resolvent of this operator, from where we infer the spectral properties that allows us to determine the asymptotic behavior of the solutions. We show the importance to determine whether an eigenvalue is dominant, in order to obtain the estimates for the correspondet solution, and we show results in this direction. Finally we study in detail three examples that illustrate the theory and demonstrate its applicability

A dinâmica da equação diferencial com retardo x 2 pontos + 2ax ponto + bx = f(x ), para a função não linear f(x) = tanh(x), foi analisada como função dos parâmetros a, b, e do retardo , onde x = x(t ). Esse modelo descreve um oscilador harmônico amortecido sujeito a retroalimentação com retardo . Nesse estudo, examinamos os casos de retroalimentação negativa ( < 0) e positiva ( > 0). Usamos o método de passos para mostrar a propriedade de suavização da solução, da equação diferencial não linear com retardo, com o crescimento de t. Fizemos a análise da estabilidade local, construímos as cartas de estabilidade no espaço de parâmetros, e mostramos que o espectro de autovalores é discreto e, no máximo, enumerável. Foram construídos diagramas de bifurcação que exibiram a ocorrência da bifurcação de Hopf supercrítica, da bifurcação de forquilha supercrítica, e da bifurcação de Hopf dupla. Para alguns pontos de bifurcação de Hopf dupla, ressonantes e não ressonantes, foi calculada numericamente a série temporal, construído o espaço de fase e gerado o mapa de primeiro retorno para uma dada seção de Poincaré. Por fim, realizamos a discretização da equação do oscilador e fizemos uma breve análise da dinâmica da equação não linear de diferenças resultante. / The dynamics of the delay differential equation x 2 pontos + 2ax ponto + bx = f(x ), for the nonlinear function f(x) = tanh(x), has been analyzed as a function of the parameters a, b, and the delay , where x = x(t ). This model describes a damped harmonic oscillator subject to feedback with delay . Here, we have examined the cases of negative feedback (< 0) and positive feedback ( > 0). The method of steps have been used to show the property of solutions smoothing, for the nonlinear delay differential equation, for the increasing t. We have analyzed the local stability, made the stability charts, and showed that the spectrum of eigenvalues is discrete and at most enumerable. We have constructed the bifurcation diagrams that showed the occurrence of supercritical Hopf bifurcation, the supercritical pitchfork bifurcation and double Hopf bifurcation. For some points of resonant and non-resonant double Hopf bifurcation we have numerically calculated the time series, produced the phase space, and generated the first return map for a given Poincaré section. Finally, we have performed a discretization of the equation and made a brief analysis of the dynamics of the resulting nonlinear difference equation.

The purpose of this work is to investigate continuous dependence on parameters for generalized linear differential equations in a Banach space- valued setting. More precisely, we establish a theorem inspired by the clas- sical continuous dependence result due to Z. Opial. In addition, our second outcome extends, to Banach spaces, the result proved by M. Ashordia in the framework of finite dimensional generalized linear differential equations. Roughly speaking, the continuous dependence derives from assumptions of uniform convergence of the functions in the right-hand side of the equations, together with the uniform boundedness of variation of the linear terms. Fur- thermore, applications of these results to dynamic equations on time scales and also to functional differential equations are proposed. Besides these results on continuous dependence, we complete the theory of abstract Kurzweil-Stieltjes integration so that it is well applicable for our purposes in generalized linear differential equations. In view of this, our contributions are related not only to differential equations but also to the abstract Kurzweil-Stieltjes integration theory itself. The new results presented in this work are contained in the papers [26] and [27], both accepted for publication / O objetivo deste trabalho é investigar a dependência contínua de soluções em relação a parâmetros para equações diferenciais lineares generalizadas no contexto de espaços de Banach. Mais precisamente, apresentamos um teo- rema inspirado no resultado clássico de dependência contínua obtido por Z. Opial. Nosso segundo resultado estende, para espaços de Banach, o provado por M. Ashordia no contexto de equações diferenciais lineares gen- eralizadas em dimensão finita. Em linhas gerais, a dependência contínua decorre da convergência uniforme das funções à direita das equações, junta- mente com a limitação uniforme da variação dos termos lineares. No mais, são propostas aplicações desses resultados em equações dinâmicas em escalas temporais e também em equações diferenciais funcionais. Além dos resultados em dependência contínua, completamos à teoria de integração abstrata de Kurzweil-Stieltjes de modo que esta se adeque aos nossos propósitos em equações diferenciais lineares generalizadas. Assim, nossas contribuições dizem respeito não apenas a equações diferenciais, mas também a teoria de integração abstrata de Kurzweil-Stieltjes em si. Os resultados originais apresentados neste trabalho estão contidos nos artigos [26] e [27], ambos aceitos para publicação