Sur une variété kählérienne compacte connexe de dimension $2m$, $\omega $ étant la forme de Kähler, $\Omega $ une forme volume donnée dans $[\omega ]^m$ et $k$ un entier $1

Cette thèse s'intéresse à des familles de fonctions zêta spectrales (séries de Dirichlet) qui peuvent être associées à certaines algèbres d'opérateurs sur des espaces de Hilbert. Dans ce mémoire, la principale question étudiée sur ces fonctions zêta est l'existence d'un prolongement méromorphe à partir d'un demi-plan ouvert du plan complexe au plan complexe tout entier. Généralisant une idée de Nigel Higson, on propose dans la partie I, une méthode pour prouver l'existence de ce prolongement méromorphe pour certains fonction zêta spectrales. Cette méthode s’effectue dans le cadre d'algèbres d'opérateurs différentiels généralisés et elle s'appuie sur une suite de réduction. Le théorème principal donne, sous certaines conditions, l'existence d'un prolongement méromorphe, une localisation des pôles dans les supports de suites arithmétiques et une borne supérieure pour l'ordre de ces pôles. Dans la partie II, on reformule la méthode de la partie I dans le contexte et avec le vocabulaire des triplets spectraux de Connes et Moscovici. Dans la troisième partie, on donne une application pour des fonctions zêta associées à des opérateurs de type Laplace sur des variétés lisses, compactes et sans bord. Cet exemple a été initialement traité par Nigel Higson avec cette approche en 2006. Une deuxième application traite de fonctions zêta associées au tore non commutatif. Dans la partie IV, on utilise le calcul pseudodifférentiel associé à des algèbres de Lie nilpotentes et développé par Dominique Manchon, pour construire de nouveaux triplets spectraux. Dans la partie V se trouve la principale application de la méthode exposée dans ce mémoire. On prouve l'existence du prolongement méromorphe pour des fonctions zêta provenant de représentations de Kirillov d'une classe d'algèbre de Lie nilpotentes. / The thesis is about a families of zeta functions (Dirichlet series) that may be associated to certain algebras of Hilbert space operators. In this thesis, the main question in studying these zeta functions is to establish their meromorphic continuation from a half-plane in the complex plane to the full plane.Following an idea of Nigel Higson, we develop, in part I, a method for proving the existence of a meromorphic continuation for some spectral zeta functions. The method is based on algebras of generalized differential operators. The more important tool is the reduction sequence. The main theorem states, under some conditions, the existence of a meromorphic continuation, a localization of the poles in supports of arithmetic sequences and an upper bound of their order. A formulation of the method into the framework of Connes and Moscovici, the regular spectral triples, setting in part II. In the third part, we give an application for zeta functions associate to a Laplace-type operator on a smooth, closed manifold. This example was initially treated in this way by Nigel Higson in 2006. We give another application for zeta functions associate to the noncommutative torus. In part IV, using the work of Dominique Manchon on algebras of pseudodifferential operators associated to unitary representations of nilpotent Lie group, we construct new spectral triples. In part V, set the main application of the method. We applicate the reduction method for some algebras of generalized differential operators, arising from a Kirillov representation of a class of nilpotent Lie algebras.

Dans cette étude, on cherche à résoudre un problème qui est au cœur de toute théorie de la perception : celui de l'invariance perceptive. Plus précisément, on cherche à modéliser les mécanismes neurophysiologiques qui sous-tendent l'acquisition de cette propriété fondamentale du système perceptif, qui consiste à "reconnaître" l'invariance de certaines qualités des objets dans l'environnement, malgré la diversité de formes que peut présenter l'information que le système en reçoit. Le point de départ est essentiellement neurophysiologique. A partir de la description du comportement et de l'organisation des neurones dans différentes régions du cerveau, spécialement des neurones impliqués dans la perception visuelle, on définit la notion de répertoire, qui va être le concept de base de notre modèle. Un répertoire est conçu comme le support neuronal de toute activité perceptive ; muni de deux variétés différentielles, la variété réceptrice et la variété effectrice, il est composé d'éléments qui représentent les unités fonctionnelles de notre modèle. Les données psychologiques et neurophysiologiques sur les capacités d'adaptation et d'apprentissage du système nerveux nous conduisent à définir une dynamique de renforcement sur les répertoires. Cette dynamique consiste en des modifications des poids des éléments du répertoire, c'est-à-dire de leur contribution à son comportement global. On démontre alors que, dans des conditions convenables, le répertoire va se stabiliser sous l'effet du renforcement et s'adapter aux contraintes environnementales auxquelles il est soumis. La théorie mathématique utilisée pour faire cette démonstration est celle des processus de Markov telle qu'elle a été développée par Norman (1972) pour les modèles d'apprentissage. On s'intéresse particulièrement à certains types de répertoires (répertoires disjoints et répertoires à renforcement sélectif) pour lesquels les processus stochastiques d'apprentissage se ramènent, en première approximation, à des processus dynamiques déterministes. On discute alors des points forts et des faiblesses du modèle, en comparant ses performances d'une part à la réalité biologique qu'il est censé représenter et d'autre part à d'autres types de modélisation qui ont pu être proposés. On essaie ensuite d'appliquer le modèle à la résolution du problème posé : on prouve que la stabilisation de répertoires bien choisis permet de rendre compte de l'acquisition d'invariants perceptifs impliqués dans des comportements sensori-moteurs simples. Au passage, on est amené à se poser le problème de la stabilisation de* systèmes de répertoires et on le résout en partie. Enfin, on essaie de généraliser ces résultats à des processus perceptifs plus complexes, ce qui nous conduit à lier la notion d'invariants perceptifs à celle d'action de groupes de Lie sur des variétés et l'on montre l'intérêt de cette approche dont la première formulation remonte à Poincaré (1902, 1905).