Se estudian en esta memoria dos aspectos del problema de inmersión de la Teoría de Galois: la existencia de soluciones con condiciones prefijadas sobre la ramificación (capítulos I y II-1) y la construcción efectiva de soluciones (capítulos II-2, II-3 y III). En el capítulo I se revisa primeramente la Teoría de Galois sobre esquemas. Obtenemos que todo recubrimiento principal de un esquema conexo “X” es suma directa de recubrimientos galoisianos de X, isomorfos, generalizando así el resultado de Hasse relativo a la estructura de las galoisianas sobre un cuerpo. El estudio del concepto de recubrimiento de un esquema conexo nos permite plantear el problema de inmersión sobre esquemas. Traduciendo a este lenguaje el problema de inmersión sobre un cuerpo de números, con conjunto de ramificación prefijado, se observa que la obstrucción a la resolubilidad de este problema viene dada por un elemento de un grupo de cohomología étale. Esto nos permite obtener condiciones para que, de la resolubilidad de un problema de inmersión sobre un cuerpo de números “K”, dado por una extensión de grupos central, con núcleo abeliano, pueda deducirse la existencia de soluciones, con conjunto de ramificación prefijado. Dichas condiciones se expresan en términos de número de clases de ideales del anillo de enteros del cuerpo K. En el capítulo II nos planteamos si, para un problema de inmersión del tipo considerado en el capítulo anterior, puede obtenerse un cuerpo solución sin aumentar el conjunto de ramificación. Para ello, se estudia previamente la variedad de las soluciones con conjunto de ramificación prefijado a un problema de inmersión sobre un cuerpo de números. El objetivo del capítulo III es construir explícitamente las soluciones a problemas de inmersión dados por extensiones espinoriales.

Heidelberg, Univ., Diss., 2006.

Orientador: Prof. Dr. Francisco César Polcino Milies / Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do ABC, Programa de Pós-Graduação em Matemática , 2014. / Códigos sobre anéis vem sendo estudados desde a década de 70 e hoje sabe-se que alguns códigos não-lineares sobre corpos são imagens de códigos lineares sobre anéis Zpm. Neste trabalho, lidamos com códigos sobre Anéis de Galois, que são uma generalização tanto para corpos finitos quanto para anéis Zpm. Em uma primeira parte dedicada a anéis, definimos anéis de Galois como um caso particular de anéis locais, mostramos a equivalência entre essa definição e a construção clássica desses anéis como extensões de Zpm e apresentamos propriedades importantes. Em seguida, na parte referente à Teoria de Códigos, descrevemos as bases necessárias desse assunto e apresentamos um método permitindo a obtenção de um algoritmo de decodificação para um código sobre um anel de Galois a partir de algoritmos de decodificação para códigos lineares sobre o corpo de resíduos desse anel. / Codes over rings are a research subject since the 70¿s and today is well known that some non-linear codes over fields are images of linear codes over Zpm rings. In this work we deal with codes over Galois rings, which generalize both finite fields and Zpm rings. In a first part concerning ring theory, we define Galois rings as a particular case of local rings, show the equivalence of this definition to the classical construction of such rings as extensions of Zpm and present important properties of these structures. Next, concerning Coding Theory, we describe the basic facts of this subject and present a method that alows us to obtain decoding alogrithms for a linear code over a Galois ring from decoding algorithms for linear codes over the residue field of that ring.

Conselho Nacional de Desenvolvimento CientÃfico e TecnolÃgico / O objetivo principal deste trabalho à apresentar alguns resultados, relativos ao nÃmero de classes do subcorpo real maximal de um corpo ciclotÃmico.Para isso, iremos inicialmente provar a finitude do grupo das classes de ideais e fazer um breve estudo da decomposiÃÃo de ideais primos em uma extensÃo. Na sequÃncia, apresentaremos o subcorpo real maximal de um corpo ciclotÃmico e usaremos alguns resultados relativos a caracteres e somas gaussianas, para justificar a imersÃo de um corpo quadrÃtico real em um subcorpo real maximal particular. Depois disso, vamos apresentar os resultados de dois artigos, o primeiro de N. C. Ankeny, S. Chowla E H. Hasse, e o segundo de Hideo Yokoi. Ambos tem por objetivo, estudar o nÃmero de classes do subcorpo real maximal de um corpo ciclotÃmico. / The aim of this paper is to present some results on the number of classes of real maximal subcorpo a body ciclotÃmico.Para this, we will first prove the finiteness of the group of classes of ideals and make a brief study of the decomposition of prime ideals in a extension. Following, we present the real subcorpo a maximal cyclotomic fields and will use some results on the characters and Gaussian sums, to justify the dumping of a body in a real quadratic subcorpo maximal real particular. After that, we present the results of two articles, the first of N. C. Ankeny, S. Chowla and H. Hasse, and the second of Hideo Yokoi. Both have the objective of studying the number of classes of real subcorpo a maximal cyclotomic fields.

Neste trabalho, apresentamos um estudo sobre a existência ou não de bases normais auto-duais para extensões galoisianas finitas de corpos, mostrando que toda extensão galoisiana finita de grau ímpar posui uma base normal auto-dual, enquanto que para extensões galoisianas de grau par, apresentamos algumas condições suficientes que garantem a não existência de bases normais auto-duais / In this work, we present a study about the existence or not of self-dual normal bases for finite galoisian extensions of fields, showing that all the odd degree finite galoisian extension has a self-dual normal base, whereas for even degree galoisian extensions, we present some sufficient conditions that assure the non-existence of self-dual normal bases

Orientador: Antonio José Engler / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-08-24T22:18:49Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Matos_FabioAlexandrede_D.pdf: 1117786 bytes, checksum: ce8cedb8cf95de8f81d4d520e2d308ad (MD5) Previous issue date: 2014 / Resumo: Apresentaremos neste trabalho um estudo sobre a aritmética corpos de característica distinta de 2 com um número finito de classes de quadrados. Dividido em duas partes, começaremos com um estudo do radical de Kaplansky de um corpo F e seu comportamento em 2-extensões de F. Na segunda parte introduziremos um novo objeto, as bases distinguidas, e exploraremos suas propriedades obtendo uma generalização do Teorema 90 de Hilbert, versão para o radical de Kaplansky, e propriedades cohomológicas de corpos que possuam base distinguida / Abstract: We will present in this work a study about the arithmetic of fields of characteristic different from 2 with a finite number of square class. Divided in two parts, we will start with a study of the Kaplansky¿s radical of a field F and its behavior in 2-extensions of F. In the second part will introduce a new object, the distinguished bases, and we will explore its properties obtaining a generalization of Hilbert¿s Theorem 90 for the Kaplansky's radical and cohomological properties of fields that own distinguished basis / Doutorado / Matematica / Doutor em Matemática

In this thesis we study the properties of Lagrangian matroids of dessins d'enfants (also known as maps on orientable surfaces) and their behaviour under the action of the absolute Galois group Gal(Q). We show that while the Lagrangian matroid of a dessin itself is not invariant under this action, some of its properties, namely its width and parity, are. We also study the partial duals of a dessin and their Lagrangian matroids and show that certain partial duals can always be defined over their field of moduli. We prove some results on the representations of Lagrangian matroids as well. A relationship between dessins, their partial duals and tropical curves arising from monodromy groups of dessins is observed.

Un outil clé dans la théorie des représentations p-adiques est l'algèbre d'Iwasawa, construit par Iwasawa pour étudier les nombres de classes d'une tour de corps de nombres. Pour un nombre premier p, l'algèbre d'Iwasawa d'un groupe de Lie p-adique G, est l'algèbre de groupe G complétée non-commutative. C'est aussi l'algèbre des mesures p-adiques sur G. Les objets provenant de groupes semi-simples, simplement connectés ont des présentations explicites comme la présentation par Serre des algèbres semi-simples et la présentation de groupe de Chevalley par Steinberg. Dans la partie I, nous donnons une description explicite des certaines algèbres d'Iwasawa. Nous trouvons une présentation explicite (par générateurs et relations) de l'algèbre d'Iwasawa pour le sous-groupe de congruence principal de tout groupe de Chevalley semi-simple, scindé et simplement connexe sur Z_p. Nous étendons également la méthode pour l'algèbre d'Iwasawa du sous-groupe pro-p Iwahori de GL (n, Z_p). Motivé par le changement de base entre les algèbres d'Iwasawa sur une extension de Q_p nous étudions les représentations p-adiques globalement analytiques au sens d'Emerton. Nous fournissons également des résultats concernant la représentation de série principale globalement analytique sous l'action du sous-groupe pro-p Iwahori de GL (n, Z_p) et déterminons la condition d'irréductibilité. Dans la partie II, nous faisons des expériences numériques en utilisant SAGE pour confirmer heuristiquement la conjecture de Greenberg sur la p-rationalité affirmant l'existence de corps de nombres "p-rationnels" ayant des groupes de Galois (Z/2Z)^t. Les corps p-rationnels sont des corps de nombres algébriques dont la cohomologie galoisienne est particulièrement simple. Ils sont utilisés pour construire des représentations galoisiennes ayant des images ouvertes. En généralisant le travail de Greenberg, nous construisons de nouvelles représentations galoisiennes du groupe de Galois absolu de Q ayant des images ouvertes dans des groupes réductifs sur Z_p (ex GL (n, Z_p), SL (n, Z_p ), SO (n, Z_p), Sp (2n, Z_p)). Nous prouvons des résultats qui montrent l'existence d'extensions de Lie p-adiques de Q où le groupe de Galois correspond à une certaine algèbre de Lie p-adique (par exemple sl(n), so(n), sp(2n)). Cela répond au problème classique de Galois inverse pour l'algèbre de Lie simple p-adique. / A key tool in p-adic representation theory is the Iwasawa algebra, originally constructed by Iwasawa in 1960's to study the class groups of number fields. Since then, it appeared in varied settings such as Lazard's work on p-adic Lie groups and Fontaine's work on local Galois representations. For a prime p, the Iwasawa algebra of a p-adic Lie group G, is a non-commutative completed group algebra of G which is also the algebra of p-adic measures on G. It is a general principle that objects coming from semi-simple, simply connected (split) groups have explicit presentations like Serre's presentation of semi-simple algebras and Steinberg's presentation of Chevalley groups as noticed by Clozel. In Part I, we lay the foundation by giving an explicit description of certain Iwasawa algebras. We first find an explicit presentation (by generators and relations) of the Iwasawa algebra for the principal congruence subgroup of any semi-simple, simply connected Chevalley group over Z_p. Furthermore, we extend the method to give a set of generators and relations for the Iwasawa algebra of the pro-p Iwahori subgroup of GL(n,Z_p). The base change map between the Iwasawa algebras over an extension of Q_p motivates us to study the globally analytic p-adic representations following Emerton's work. We also provide results concerning the globally analytic induced principal series representation under the action of the pro-p Iwahori subgroup of GL(n,Z_p) and determine its condition of irreducibility. In Part II, we do numerical experiments using a computer algebra system SAGE which give heuristic support to Greenberg's p-rationality conjecture affirming the existence of "p-rational" number fields with Galois groups (Z/2Z)^t. The p-rational fields are algebraic number fields whose Galois cohomology is particularly simple and they offer ways of constructing Galois representations with big open images. We go beyond Greenberg's work and construct new Galois representations of the absolute Galois group of Q with big open images in reductive groups over Z_p (ex. GL(n, Z_p), SL(n, Z_p), SO(n, Z_p), Sp(2n, Z_p)). We are proving results which show the existence of p-adic Lie extensions of Q where the Galois group corresponds to a certain specific p-adic Lie algebra (ex. sl(n), so(n), sp(2n)). This relates our work with a more general and classical inverse Galois problem for p-adic Lie extensions.

La théorie de Galois a eu un impact sur les mathématiques plus important que ce qu'elle laissait présager au départ. Son résultat le plus important est le théorème de correspondance qui s'énonce de la manière suivante :si L/K est une extension de corps finie galoisienne et si G = Gal(L/K) est son groupe de Galois, alors il existe une correspondance biunivoque entre les corps intermédiaires de L/K et les sous-groupes de G. Explicitement, si G_0 est un sous-groupe de G, alors on lui associe l'ensemble des G_0-invariants L^(G_0) qui est un corps intermédiaire de L/K. D'autre part, si L_0 est un corps intermédiaire de L/K, alors on lui associe le groupe de Galois Gal(L/L_0) qui est un sous-groupe de G.Il existe de nombreuses manières de généraliser la théorie de Galois, celle que nous avons choisie utilise les algèbres de Hopf. L'idée, introduite par Chase et Sweedler, est de remplacer l'action de groupe G par une action d'algèbre de Hopf H. De telles extensions sont appelées Hopf-galoisiennes.La première étape vers la généralisation du théorème de correspondance est due à Chase et Sweedler :si L/K est une extension Hopf-galoisienne d'algèbre de Hopf H et si H_0 est une sous-algèbre de Hopf de H, alors on peut construire l'ensemble des H_0-invariants L^(H_0) qui est un corps intermédiaire de L/K. Malheureusement, contrairement au cas des extensions galoisiennes, tous les corps intermédiaires de L/K ne s'obtiennent pas de cette manière et une caractérisation des corps de la forme L^(H_0) ne semble pas être connue.Le but de cette thèse est de généraliser le théorème de correspondance pour des extensions Hopf-galoisiennes finies séparables. Dans ce but, nous avons caractérisé de manière naturelle et intrinsèque les corps intermédiaires de L/K qui peuvent s'écrire sous la forme L^(H_0) pour une certaine sous-algèbre de Hopf H_0 de H. Ainsi, nous avons pu prouver un théorème de correspondance tout à fait analogue à celui de la théorie de Galois. Nous avons également établi, à l'instar de la théorie de Galois, une variante du théorème de correspondance pour les sous-algèbres de Hopf qui sont normales.Un apport essentiel à cette thèse est fourni par les travaux de Greither et Pareigis. Ceux-ci ont associé un groupe à une extension Hopf-galoisienne finie séparable. Nous avons prouvé qu'il était possible de traduire le théorème de correspondance en termes de ce groupe. De plus, ce groupe nous a permis de construire une structure Hopf-galoisienne alternative nous aidant à mieux comprendre le théorème de correspondance.Enfin, nous avons proposé une définition d'extensions Hopf-galoisiennes pour des extensions de corps infinies séparables et avons obtenu des résultats encourageants. Cela ouvre un nouveau champ de possibilités pour des recherches futures. / Doctorat en Sciences / info:eu-repo/semantics/nonPublished

Les réseaux de neurones artificiels connaissent des succès dans plusieurs domaines. Maisles utilisateurs des réseaux de neurones sont souvent confrontés aux problèmes de définitionde son architecture et d’interprétabilité de ses résultats. Plusieurs travaux ont essayé d’apporterune solution à ces problèmes. Pour les problèmes d’architecture, certains auteurs proposentde déduire cette architecture à partir d’un ensemble de connaissances décrivant le domaine duproblème et d’autres proposent d’ajouter de manière incrémentale les neurones à un réseauayant une taille initiale minimale. Les solutions proposées pour le problème d’interprétabilitédes résultats consistent à extraire un ensemble de règles décrivant le fonctionnement du réseau.Cette thèse contribue à la résolution de ces deux problèmes. Nous nous limitons à l’utilisationdes réseaux de neurones dans la résolution des problèmes de classification.Nous présentons dans cette thèse un état de l’art des méthodes existantes de recherche d’architecturede réseaux de neurones : une étude théorique et expérimentale est aussi faite. Decette étude, nous observons comme limites de ces méthodes la disponibilité absolue des connaissancespour construire un réseau interprétable et la construction des réseaux difficiles à interpréteren absence de connaissances. En alternative, nous proposons une méthode appelée CLANN(Concept Lattice-based Artificial Neural network) basée les treillis de Galois qui construit undemi-treillis à partir des données et déduire de ce demi-treillis l’architacture du réseau. CLANNétant limitée à la résolution des problèmes à deux classes, nous proposons MCLANN permettantd’étendre cette méthodes de recherche d’architecture des réseaux de neurones aux problèmes àplusieurs classes.Nous proposons aussi une méthode appelée ’Approche des MaxSubsets’ pour l’extractiondes règles à partir d’un réseau de neurones. La particularité de cette méthode est la possibilitéd’extraire les deux formats de règles (’si alors’ et ’m parmi N’) à partir d’une structure quenous construisons. Nous proposons aussi une façon d’expliquer le résultat calculé par le réseauconstruit par la méthode MCLANN au sujet d’un exemple. / The artificial neural networks are successfully applied in many applications. But theusers are confronted with two problems : defining the architecture of the neural network able tosolve their problems and interpreting the network result. Many research works propose some solutionsabout these problems : to find out the architecture of the network, some authors proposeto use the problem domain theory and deduct the network architecture and some others proposeto dynamically add neurons in the existing networks until satisfaction. For the interpretabilityproblem, solutions consist to extract rules which describe the network behaviour after training.The contributions of this thesis concern these problems. The thesis are limited to the use of theartificial neural networks in solving the classification problem.In this thesis, we present a state of art of the existing methods of finding the neural networkarchitecture : we present a theoritical and experimental study of these methods. From this study,we observe some limits : difficulty to use some method when the knowledges are not available ;and the network is seem as ’black box’ when using other methods. We a new method calledCLANN (Concept Lattice-based Artificial Neural Network) which builds from the training dataa semi concepts lattice and translates this semi lattice into the network architecture. As CLANNis limited to the two classes problems, we propose MCLANN which extends CLANN to manyclasses problems.A new method of rules extraction called ’MaxSubsets Approach’ is also presented in thisthesis. Its particularity is the possibility of extracting the two kind of rules (If then and M-of-N)from an internal structure.We describe how to explain the MCLANN built network result aboutsome inputs.