Cette thèse est constituée de deux parties indépendantes, étudiant deux aspects de la théorie des (φ,Γ)-modules en caractéristique p. La première partie porte sur l'étude de la réduction modulo p des représentations cristallines irréductibles de dimension deux. Nous donnons, pour des poids k ≤ p², un calcul explicite de la réduction de V(k,a) pour a dans un disque fermé centré en zéro, généralisant ainsi des résultats déjà connus pour k ≤ 2p. En particulier, nous calculons le plus grand rayon possible pour ce disque, et montrons que dans certains cas, la réduction qui est constante à l'intérieur du disque change sur son bord. Dans la seconde partie, nous nous intéressons aux représentations d'un sous-groupe de Borel de GL[indice]2(Q[indice]p) sur un corps de caractéristique p, et en particulier à celles qui sont lisses, irréductibles et admettent un caractère central. Une méthode pour construire de telles représentations à partir de (φ,Γ)-modules irréductibles a été décrite par Colmez dans sa construction de la correspondance de Langlands p-adique. Après avoir donné un cadre un peu plus général dans lequel la construction de Colmez fonctionne encore, nous classifions les représentations irréductibles du Borel, prouvant que la construction précédente permet d'obtenir toutes les représentations de dimension infinie. Lorsque le corps des coefficients est fini, ou algébriquement clos, nous disposons d'une interprétation galoisienne des (φ,Γ)-modules irréductibles, et la classification précédente permet alors d'obtenir une correspondance entre ces représentations du Borel et des représentations galoisiennes modulaires. / This thesis is made of two independent parts, dealing with two different aspects of characteristic p (φ,Γ)-modules. In the first part we study the reduction modulo p of -2-dimensional irreducible crystalline representations. For weights k ≤ p2, we give an explicit description of the reduction V(k,a) for a belonging to a closed disk centered at zero, generalizing results already known for k ≤ 2p. We explicitely compute the biggest possible radius for this disk, and prove that in some cases, the reduction which is constant on the interior of the disk is different for a belonging to the border of the disk. In the second part, we study the smooth, irreducible representations of a Borel subgroup of GL[indice]2(Q[indice]p) over a field of characteristic p and admitting a central character. One way of constructing such representations from irreducible (φ,Γ)-modules was described by Colmez in his construction of the p-adic Langlands correspondence. After giving a more general framework for Colmez's construction, we classify the irreducible representations of the Borel subgroup, proving that the previous construction already gives all the infinite dimensional representations. When the coefficient field is finite, Fontaine's equivalence combined with the previous classification gives a correspondence between these representations of a Borel subgroup of GL[indice]2(Q[indice]p) and modular galois representations.

Le cadre de cette thèse est celui de la théorie des représentations p-adiques, et plus particulièrement la théorie de Fontaine. Je m'intéresse au cas d'une extension métabélienne d'un corps local et construit un (phi, Gamma)-module adapté à cette extension, puis je fournis des généralisations de certains outils usuels associés à ce (phi, Gamma)-module tel qu'un complexe calculant la cohomologie de la représentation. J'établis encore les formules explicites du dictionnaire entre le monde des représentations et celui des (phi, Gamma)-modules, pour le complexe de Herr, le cup-produit ou l'application de Kummer.<br /><br />La seconde partie de ce travail est dévolue à la preuve de la loi de réciprocité de Brückner-Vostokov pour un groupe formel. Je combine pour cela des méthodes relevant des (phi, Gamma)-modules à l'aide des résultats de la première partie et des techniques spécifiques introduites par Abrashkin à travers une interprétation cohomologique de ses travaux. J'obtiens ainsi une preuve de la loi de réciprocité libre de toute hypothèse non naturelle sur l'appartenance de racines de l'unité au corps de base.

Jean-Marc Fontaine a montré que la catégorie tannakienne des représentations cristallines du groupe de Galois d'un corps local K est équivalente à celle des Phi-modules filtrés sur K admissibles. De plus, la théorie de Fontaine-Laffaille, sous certaines restrictions, précise ceci à l'aide d'un foncteur V_cris qui induit une équivalence abélienne entre les réseaux fortement divisibles des Phi-modules filtrés admissibles et les réseaux galoisiens des représentations galoisiennes correspondantes. <br /><br />Le but de cette thèse est d'étudier plus en détail le foncteur V_cris. A cause des restrictions liées à la théorie de Fontaine-Laffaille, les catégories considérées pour les réseaux ne sont pas stables par produit tensoriel. Mais nous montrons que malgré ce problème, V_cris a de bonnes propriétés tannakiennes, qui conduisent à des applications intéressantes pour les représentations cristallines à valeurs dans les points sur Zp d'un groupe algébrique lisse sur Zp.<br /><br />Le point clé est la construction d'un foncteur, qui à un Phi-module filtré M (vérifiant les conditions de Fontaine-Laffaille) associe un (Phi,Gamma)-module dont la représentation galoisienne associée s'identifie fonctoriellement à V_cris(M), et qui préserve le produit tensoriel (sous certaines conditions). Ce foncteur a un lien très fort avec la théorie des modules de Wach, et c'est cela qui permet d'utiliser toute la force de l'équivalence de catégories entre les représentations galoisiennes sur Zp et les (Phi,Gamma)-modules.

Cette thèse s'inscrit dans le cadre de la correspondance de Langlands locale $p$-adique, imaginée par Breuil et établie par Colmez pour GL_2(Q_p). Soit L une extension finie de Q_p et soit V une L-représentation irréductible du groupe de Galois absolu de Q_p, de dimension 2. En utilisant la théorie des (phi,Gamma)-modules de Fontaine, Colmez associe à V une GL_2(Q_p)-représentation de Banach Pi(V), unitaire, admissible, topologiquement irréductible. On donne une nouvelle preuve, nettement plus simple, d'un théorème de Colmez, qui permet de décrire les vecteurs localement analytiques Pi(V)^an de Pi(V) en fonction du (phi,\Gamma)-module surconvergent attaché à V. Le résultat principal de cette thèse est une description simple de l'action infinitésimale de GL_2(Q_p) sur Pi(V)^an. En particulier, on montre que Pi(V)^an admet un caractère infinitésimal, que l'on peut calculer en fonction des poids de Hodge-Tate de V, ce qui répond à une question de Harris. En utilisant ces résultats, on montre aussi l'absence d'un analogue p-adique d'un théorème classique de Tunnell et Saito, répondant à une autre question de Harris. Nous étendons et précisons certains résultats de Colmez concernant le modèle de Kirillov des vecteurs U-finis de Pi(V) (U est l'unipotent supérieur de GL_2(Q_p)). En combinant cette étude avec la description de l'action infinitésimale, on obtient une démonstration simple d'un des résultats principaux de Colmez, caractérisant les représentations V telles que Pi(V) possède des vecteurs localement algébriques non nuls. Ce résultat permet de faire le pont avec la correspondance classique et est un des ingrédients clés de la preuve d'Emerton de la conjecture de Fontaine-Mazur en dimension 2. On étend nos méthodes pour démontrer l'analogue de ce résultat pour les déformations infinitésimales de V. Cela répond à une question de Paskunas et a des applications à la conjecture de Breuil-Mézard. Une autre application est l'étude du module de Jacquet de Pi(V)^an. On montre qu'il est non nul si et seulement si V est trianguline, ce qui permet de donner une preuve simple des conjectures de Berger, Breuil et Emerton. Enfin, dans un travail en collaboration avec Benjamin Schraen, nous démontrons le lemme de Schur pour les représentations de Banach et localement analytiques topologiquement irréductibles d'un groupe de Lie p-adique. Ce résultat basique n'était connu que pour des groupes de Lie commutatifs et pour GL_2(Q_p).

Les nombres de Tamagawa des courbes elliptiques apparaissent dans la formulation de la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer comme certains facteurs locaux. Bloch et Kato (1990) ont trouvé une vaste généralisation de cette définition classique en termes de la théorie de Hodge p-adique. Ils ont associé un nombre de Tamagawa Tam(T) à tout réseau T de représentations p-adiques de de Rham au sens de J.-M. Fontaine. Ces nombres interviennent dans les conjectures de Bloch et Kato sur les valeurs spéciales des fonctions L des motifs.J.-M. Fontaine et B.Perrin-Riou ont formulé une conjecture reliant Tam(T) et le nombre de Tamagawa Tam(T*}(1)) de la représentation duale. Cette conjecture est connue pour les représentations cristallines ce qui permet de calculer explicitement les nombres de Tamagawa des représentations cristallines dont les poids de Hodge-Tate sont tous positifs. En revanche, dans la plupart des autres cas, nous n'avons pas de méthode de calcul explicite. Cette thèse a pour but de donner un encadrement des nombres de Tamagawa des représentations absolument cristallines le long de la tour cyclotomique sans hypothèses supplémentaires sur les poids de Hodge-Tate. Le premier chapitre de cette thèse est dédié à des rappels sur la théorie de Hodge p-adique, la classification de Fontaine des représentations p-adique de corps locaux via la théorie des (phi, Gamma)-modules, sur la cohomologie galoisienne, sur les modules de Wach ou sur la cohomologie d'Iwasawa. Le second chapitre est dédié à l'exponentielle de Bloch and Kato. Seront rappelées sa définition et sa construction de l'exponentielle de Bloch and Kato en termes de (phi, Gamma)-modules faite par D.Benois. Cette dernière construction permet de généraliser deux résultats de D.Benois et L.Berger qui relient l'exponentielle aux modules de Wach et qui permet de décrire des objets qui apparaissent naturellement dans l'étude des nombres de Tamagawa. Le dernier chapitre est le cœur de cette thèse. Nous commencerons en définissant les nombres de Tamagawa Tam(T) et en donnant certaines propriétés et résultats déjà connus. Nous énonçons ensuite le théorème final qui donne un encadrement des nombres de Tamagawa d'une représentation absolument cristalline V. Y sont également donnés certains cas d'égalité qui permettent de retrouver des formules connues --- lorsque V est positive ou lorsqu'elle provient d'une courbe elliptique et plus généralement d'un groupe formel de dimension 1 et de hauteur 2. Pour prouver ces résultats, nous écrivons les nombres de Tamagawa sous forme d'un indice généralisé dans lequel apparaissent les objets étudiés dans le chapitre précédent. La thèse se termine avec l'étude de plusieurs cas particuliers qui permettent de retrouver des résultats déjà connus. / Tamagawa numbers of elliptic curves appear in the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture as local factors. Bloch and Kato generalized the definition using p-adic Hodge theory in 1990. Indeed they associated a number Tam(T) to each lattice T of de Rham representation in the sense of J-M\,Fontaine. This Tamagawa numbers are used in the conjectures of Bloch and Kato on the special values of L-functions of motives.J-M\,Fontaine and B.\,Perrin-Riou expressed a conjecture linking Tam(T) to the Tamagawa number Tam(T*(1)) of the dual representation. This conjecture is now well known for crystalline representations. This yields an explicit formula for Tamagawa number of crystalline p-adic representations having positive Hodge-Tate weights.On the other hand, we have no explicit formula for Tamagawa numbers of most of the crystalline representations. The purpose of the thesis is to give bounds of Tamagawa numbers of crystalline p-adic representations of unramified local field along the cyclotomic tower without further conditions on the Hodge-Tate weights.The first chapter of this thesis is dedicated to reminders on p-adic Hodge-Tate theory, Fontaine's classification of p-adic representations of local fields via (phi, Gamma)-modules, Galois and Iwasawa cohomology, Wach modules etc.The second chapter is dedicated to the Bloch and Kato's exponential map. We will recall its definition and its construction in terms of (phi, Gamma)-modules due to D.Benois. This construction will lead to the generalization of two results of D.\,Benois and L.\,Berger which link the exponential map and Wach modules and give a good description of the objects which naturally appear in the study of Tamagawa numbers.The last chapter is the heart of the thesis. We will begin by giving a definition of Tamagawa number Tam(T) and some first properties and results on theses numbers.We will next express the main theorems which give bounds of Tamagawa numbers of crystalline p-adic representations of unramified local field along the cyclotomic tower. We will also give equality conditions. This allows us to recover already known results such as Tamagawa numbers of positive crystalline representations or of representations coming from elliptic curves.To prove these results, we will write Tamagawa numbers as a generalized index of the modules defined in terms of Wach modules. Theses modules have been deeply studied in the second chapter of this thesis.

Les nombres de Tamagawa des courbes elliptiques apparaissent dans la formulation de la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer comme certains facteurs locaux. Bloch et Kato (1990) ont trouvé une vaste généralisation de cette définition classique en termes de la théorie de Hodge p-adique. Ils ont associé un nombre de Tamagawa Tam(T) à tout réseau T de représentations p-adiques de de Rham au sens de J.-M. Fontaine. Ces nombres interviennent dans les conjectures de Bloch et Kato sur les valeurs spéciales des fonctions L des motifs.J.-M. Fontaine et B.Perrin-Riou ont formulé une conjecture reliant Tam(T) et le nombre de Tamagawa Tam(T*}(1)) de la représentation duale. Cette conjecture est connue pour les représentations cristallines ce qui permet de calculer explicitement les nombres de Tamagawa des représentations cristallines dont les poids de Hodge-Tate sont tous positifs. En revanche, dans la plupart des autres cas, nous n'avons pas de méthode de calcul explicite. Cette thèse a pour but de donner un encadrement des nombres de Tamagawa des représentations absolument cristallines le long de la tour cyclotomique sans hypothèses supplémentaires sur les poids de Hodge-Tate. Le premier chapitre de cette thèse est dédié à des rappels sur la théorie de Hodge p-adique, la classification de Fontaine des représentations p-adique de corps locaux via la théorie des (phi, Gamma)-modules, sur la cohomologie galoisienne, sur les modules de Wach ou sur la cohomologie d'Iwasawa. Le second chapitre est dédié à l'exponentielle de Bloch and Kato. Seront rappelées sa définition et sa construction de l'exponentielle de Bloch and Kato en termes de (phi, Gamma)-modules faite par D.Benois. Cette dernière construction permet de généraliser deux résultats de D.Benois et L.Berger qui relient l'exponentielle aux modules de Wach et qui permet de décrire des objets qui apparaissent naturellement dans l'étude des nombres de Tamagawa. Le dernier chapitre est le cœur de cette thèse. Nous commencerons en définissant les nombres de Tamagawa Tam(T) et en donnant certaines propriétés et résultats déjà connus. Nous énonçons ensuite le théorème final qui donne un encadrement des nombres de Tamagawa d'une représentation absolument cristalline V. Y sont également donnés certains cas d'égalité qui permettent de retrouver des formules connues --- lorsque V est positive ou lorsqu'elle provient d'une courbe elliptique et plus généralement d'un groupe formel de dimension 1 et de hauteur 2. Pour prouver ces résultats, nous écrivons les nombres de Tamagawa sous forme d'un indice généralisé dans lequel apparaissent les objets étudiés dans le chapitre précédent. La thèse se termine avec l'étude de plusieurs cas particuliers qui permettent de retrouver des résultats déjà connus.

Cette thèse est constituée de deux parties indépendantes, étudiant deux aspects de la théorie des (φ,Γ)-modules en caractéristique p. La première partie porte sur l'étude de la réduction modulo p des représentations cristallines irréductibles de dimension deux. Nous donnons, pour des poids k ≤ p², un calcul explicite de la réduction de V(k,a) pour a dans un disque fermé centré en zéro, généralisant ainsi des résultats déjà connus pour k ≤ 2p. En particulier, nous calculons le plus grand rayon possible pour ce disque, et montrons que dans certains cas, la réduction qui est constante à l'intérieur du disque change sur son bord. Dans la seconde partie, nous nous intéressons aux représentations d'un sous-groupe de Borel de GL[indice]2(Q[indice]p) sur un corps de caractéristique p, et en particulier à celles qui sont lisses, irréductibles et admettent un caractère central. Une méthode pour construire de telles représentations à partir de (φ,Γ)-modules irréductibles a été décrite par Colmez dans sa construction de la correspondance de Langlands p-adique. Après avoir donné un cadre un peu plus général dans lequel la construction de Colmez fonctionne encore, nous classifions les représentations irréductibles du Borel, prouvant que la construction précédente permet d'obtenir toutes les représentations de dimension infinie. Lorsque le corps des coefficients est fini, ou algébriquement clos, nous disposons d'une interprétation galoisienne des (φ,Γ)-modules irréductibles, et la classification précédente permet alors d'obtenir une correspondance entre ces représentations du Borel et des représentations galoisiennes modulaires.

Nous étudions, dans cette thèse, la construction des fonctions L p-adiques des motifs sur $\Q$ et, plus particulièrement, des formes modulaires.Dans les premiers trois chapitres on étend des constructions de Perrin-Riou pour construire, pour une représentation p-adique de de Rham $V$ du groupe de Galois absolu $\mathscr{G}_\qp$ de $\qp$ (ou, plus généralement, un alpha gamma-module de de Rham sur l'anneau de Robba) et un système compatible d'éléments globaux, une fonction L p-adique. On montre, en utilisant des lois de réciprocité montrées par Perrin-Riou, Colmez, Cherbonnier-Colmez, Berger et Nakamura, que ces fonctions interpolent des valeurs arithmétiques intéressantes aux caractères localement algébriques.Dans les derniers trois chapitres, on se spécialise au cas de dimension $2$. On démontre, en s'inspirant des techniques de Nakamura et des nouvelles techniques de changement de poids de Colmez introduites pour l'étude des vecteurs localement algébriques dans la correspondance de Langlands L p-adique pour $\mathrm{GL}_2(\qp)$, une équation fonctionnelle pour notre fonction L p-adique. Comme une application de cette équation fonctionnelle, on fournit les argument manquants dans les travaux de Nakamura, complétant la preuve de la conjecture $\epsilon$ locale de Kato pour les représentations de dimension $2$. Pour le motif associé à une forme modulaire, on utilise tous ces résultats pour interpréter les valeurs interpolées par la fonction L p-adique en termes des valeurs spéciales de la fonction $L$ complexe de cette forme. / This thesis studies the construction of $p$-adic $L$-functions associated to motives over $\Q$ and, in particular, to modular forms.In the first three chapters we generalize some constructions of Perrin-Riou in order to construct, for any $p$-adic de Rham representation $V$ of the absolute Galois group $\mathscr{G}_\qp$ of $\qp$ (or, more generally, any de Rham $(\varphi, \Gamma)$-module over the Robba ring) and any compatible system of global elements, a $p$-adic $L$-function. We show, by the use of some reciprocity laws proved by Perrin-Riou, Colmez, Cherbonnier-Colmez, Berger and Nakamura, that these functions interpolate interesting arithmetic values at locally algebraic characters.The last three chapters deal with the particular case of dimension $2$. We show, inspired by some techniques of Nakamura and certain weight change techniques introduced by Colmez for the study of locally algebraic vectors in the $p$-adic Langlads correspondence for $\mathrm{GL}_2(\qp)$, that our $p$-adic $L$-function satisfies a functional equation. As an application of our functional equation, we fulfil the missing arguments in the work of Nakamura, providing a complete proof of Kato's local $\epsilon$-conjecture for $2$-dimensional representations. For the motive associated to a modular form, we use these results to interpret the interpolated values of the $p$-adic $L$-function in terms of special values of the complex $L$-function of the form.