Se estudian las líneas de curvatura de superficies compactas, orientables y conexas del espacio euclidiano. La estrategia consiste en usar las ideas de la Estabilidad Estructural y dar condiciones suficientes para la estabilidad de las líneas de curvatura cuando la superficie se perturba en la topología C3. Para tal efecto se estudia los puntos umbílicos Darbouxiano y sus separatrices, al igual que los ciclos hiperbólicos. La estructura de las líneas principales cerca de estos puntos será establecida, reduciendo su análisis a los puntos hiperbólicos singulares de los campos de Línea en el plano. Con esto se busca crear condiciones para que el conjunto de superficies compactas Σ(a, b, c, d) sea estructuralmente estable y abierto en el sentido C3. / Tesis

La conjetura de Fermat fue uno de los acertijos matemáticos más misteriosos hasta 1995. El problema fue formulado en 1637 por Pierre de Fermat. Él afirmó saber cómo resolverlo, sin embargo, no podía mostrar la prueba debido a que el espacio en el margen de su copia de Arithmetica de Diofanto era insuficiente. Desde entonces mucho misticismo rodeó a la conjetura. Mientras tanto, independientemente, nuevas ramas de las matemáticas se desarrollaban. La geometría algebraica y el análisis complejo permitieron a Andrew Wiles resolver finalmente la conjetura. La solución involucra, entre otras herramientas, el uso de curvas elípticas. Esto es suficiente motivo para estudiarlas. En líneas generales las curvas elípticas son polinomios cúbicos no singulares en dos variables con un punto especial de coordenadas racionales en los que podemos establecer una estructura de grupo. Para manipular las operaciones cómodamente transformamos la ecuación de la curva elíptica en una más apropiada con menos términos. Para lograr esto exploramos los aspectos fundamentales de los espacios proyectivos que facilitarían la transición. Como ya es conocido, existen casos en las matemáticas en los que hay un intercambio entre simpleza y elegancia. Uno debe profundizar un poco para alcanzar la estética. Nuestro objetivo es probar la propiedad de asociatividad del grupo en las curvas elípticas por medio del grupo de Picard de una variedad algebraica asociada. Esto provee una prueba alternativa de dicha propiedad y reemplaza los cálculos engorrosos de la prueba directa que usa solo la definición de la operación del grupo. Para lograr esto desarrollamos la teoría de divisores. Esto nos conduce al estudio de funciones racionales sobre las curvas y de este modo nos enfrentamos a uno de los resultados más importantes de la geometría algebraica: el teorema de Riemann-Roch. Basados en esto probamos que las curvas elípticas sobre los cuerpos de característica cero tienen genero uno. Finalmente definimos el grupo de Picard. Este grupo mide el grado de cuánto del conjunto de divisores no tiene origen en las funciones racionales. Luego establecemos un homomorfismo entre este grupo y la curva elíptica: esta es en una manera elaborada de afirmar que la asociatividad de una estructura se preserva en la otra. / The Fermat conjecture was one of the most mysterious puzzles of mathematics until 1995. The problem was formulated in 1637 by Pierre de Fermat. He claimed that he knew how to solve it, but was however unable to exhibit the proof because of the lack of space on the margin of his copy of Diophantus's Arithmetica. Since then a lot of mysticism surrounded the conjecture. Meanwhile, independently, new branches of mathematics were developed. Algebraic geometry and complex analysis allowed Andrew Wiles to finally solve the conjecture. The solution involves, among other tools, the use of elliptic curves. That is enough reason for their study. Roughly speaking elliptic curves are non-singular cubic polynomials in two variables with a special point of rational coordinates where a group structure can be set. In order to handle computations comfortably we transform the equation of the elliptic curve into an appropriate one with fewer terms. To achieve this goal we explore fundamental aspects of projective spaces which facilitate the transition. As it is known, in some cases there is a trade-o_ in mathematics between simplicity and elegance. One must dig a little deep to reach aesthetics. We aim to prove the associativity law of the group on elliptic curves by means of the Picard group of an associated algebraic variety. This provides an alternative proof of the property and replaces the usual burdensome computations of the straight proof by definition of the group operation. In order to achieve this, we develop the theory of divisors. This leads us to the study of rational functions on curves, and thus face one of the crucial results of algebraic geometry: the Riemann-Roch theorem. Based on this we prove that elliptic curves over fields of characteristic zero have genus one. Finally we define the Picard group. This group measures the extent of how much of the set of divisors fails to have its origin on rational functions. Then we establish a homomorphism between this group and the elliptic curve: this yields a fancy way of saying that associativy of one structure is preserved in the other. / Tesis

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Trata sobre los operadores lineales en el álgebra geométrica Euclideana Tridimensional AG(3), que es el álgebra de Clifford en el espacio euclideano R3. El objetivo es mostrar que los operadores lineales se pueden reescribir usando el formalismo del álgebra geométrica, mejorando el tratamiento matemático tradicional. Este nuevo enfoque presenta una visión alternativa del álgebra de matrices, porque trabaja directamente con vectores sin recurrir a sus componentes en alguna base, por ello esta versión invariante facilita el cálculo. Los operadores lineales más importantes serán representados en términos del álgebra geométrica, usando la suma y producto de multivectores. / Tesis

Una foliación algebraica unidimensional Fα es aquella que es generada por un campo vectorial meromorfo α ∈ H0(Pn,ΘPn(1 − d)), donde d > 1 sobre el espacio proyectivo complejo Pn. En este trabajo estudiaremos cómo determinar las foliaciones holomorfas unidimensionales mediante sus singularidades usando la cohomología de haces asociadas a las foliaciones holomorfas. El trabajo está basado en la investigación desarrollada por Xavier Gómez-Mont y George Kempf en [GMK89]. / A one-dimensional algebraic foliation Fα is generated by a meromorphic vector eld α ∈ H0(Pn,ΘPn(1 − d)), where d > 1 on the complex projective space Pn. In this work we will study how to determine one-dimensional holomorphic foliations through their singularities using the cohomology of sheaves associated with holomorphic foliations. This work is based on the research developed by Xavier Gómez-Mont and George Kempf in [GMK89].

La conjetura de Fermat fue uno de los acertijos matemáticos más misteriosos hasta 1995. El problema fue formulado en 1637 por Pierre de Fermat. Él afirmó saber cómo resolverlo, sin embargo, no podía mostrar la prueba debido a que el espacio en el margen de su copia de Arithmetica de Diofanto era insuficiente. Desde entonces mucho misticismo rodeó a la conjetura. Mientras tanto, independientemente, nuevas ramas de las matemáticas se desarrollaban. La geometría algebraica y el análisis complejo permitieron a Andrew Wiles resolver finalmente la conjetura. La solución involucra, entre otras herramientas, el uso de curvas elípticas. Esto es suficiente motivo para estudiarlas. En líneas generales las curvas elípticas son polinomios cúbicos no singulares en dos variables con un punto especial de coordenadas racionales en los que podemos establecer una estructura de grupo. Para manipular las operaciones cómodamente transformamos la ecuación de la curva elíptica en una más apropiada con menos términos. Para lograr esto exploramos los aspectos fundamentales de los espacios proyectivos que facilitarían la transición. Como ya es conocido, existen casos en las matemáticas en los que hay un intercambio entre simpleza y elegancia. Uno debe profundizar un poco para alcanzar la estética. Nuestro objetivo es probar la propiedad de asociatividad del grupo en las curvas elípticas por medio del grupo de Picard de una variedad algebraica asociada. Esto provee una prueba alternativa de dicha propiedad y reemplaza los cálculos engorrosos de la prueba directa que usa solo la definición de la operación del grupo. Para lograr esto desarrollamos la teoría de divisores. Esto nos conduce al estudio de funciones racionales sobre las curvas y de este modo nos enfrentamos a uno de los resultados más importantes de la geometría algebraica: el teorema de Riemann-Roch. Basados en esto probamos que las curvas elípticas sobre los cuerpos de característica cero tienen genero uno. Finalmente definimos el grupo de Picard. Este grupo mide el grado de cuánto del conjunto de divisores no tiene origen en las funciones racionales. Luego establecemos un homomorfismo entre este grupo y la curva elíptica: esta es en una manera elaborada de afirmar que la asociatividad de una estructura se preserva en la otra. / The Fermat conjecture was one of the most mysterious puzzles of mathematics until 1995. The problem was formulated in 1637 by Pierre de Fermat. He claimed that he knew how to solve it, but was however unable to exhibit the proof because of the lack of space on the margin of his copy of Diophantus's Arithmetica. Since then a lot of mysticism surrounded the conjecture. Meanwhile, independently, new branches of mathematics were developed. Algebraic geometry and complex analysis allowed Andrew Wiles to finally solve the conjecture. The solution involves, among other tools, the use of elliptic curves. That is enough reason for their study. Roughly speaking elliptic curves are non-singular cubic polynomials in two variables with a special point of rational coordinates where a group structure can be set. In order to handle computations comfortably we transform the equation of the elliptic curve into an appropriate one with fewer terms. To achieve this goal we explore fundamental aspects of projective spaces which facilitate the transition. As it is known, in some cases there is a trade-o_ in mathematics between simplicity and elegance. One must dig a little deep to reach aesthetics. We aim to prove the associativity law of the group on elliptic curves by means of the Picard group of an associated algebraic variety. This provides an alternative proof of the property and replaces the usual burdensome computations of the straight proof by definition of the group operation. In order to achieve this, we develop the theory of divisors. This leads us to the study of rational functions on curves, and thus face one of the crucial results of algebraic geometry: the Riemann-Roch theorem. Based on this we prove that elliptic curves over fields of characteristic zero have genus one. Finally we define the Picard group. This group measures the extent of how much of the set of divisors fails to have its origin on rational functions. Then we establish a homomorphism between this group and the elliptic curve: this yields a fancy way of saying that associativy of one structure is preserved in the other.

En este trabajo, se estudia fundamentalmente diversas relaciones aritméticas que hay en los semigrupos numéricos, como por ejemplo, obtener el conjunto de lagunas, teniendo solamente el conjunto Apery; también, dado un conjunto de elementos generadores, se asociará a cada uno de ellos, un propio semigrupo numérico. Se analiza, haciendo una descripción de diversos conceptos de la Geometría Algebraica, los cuales se relacionan con los semigrupos numéricos, mediante los semigrupos de Weierstrass, que tienen fundamento, en el teorema de Riemann-Roch. / Tesis

Se estudian los sistemas de dos niveles sin recurrir al espacio de Hilbert el cual es sustituido por el álgebra geométrica del espacio tridimensional (Espacio de Hilbert). En esta descripción los estados son codificados mediante elementos de un ideal izquierdo mínimo del álgebra par de G3, mientras los operadores son codificados mediante la combinación lineal de los vectores del álgebra impar de (Espacio de Hilbert). La dinámica que obedecen estos sistemas está gobernada por la ecuación de “Schrödinger real" ya que el número imaginario (i) es sustituido por el pseudoescalar de (Espacio de Hilbert). Introduciendo los idempotentes primitivos del álgebra geométrica, se generalizan las descripciones previas estando en completo acuerdo con la literatura convencional. Utilizando los axiomas del álgebra geométrica, se demuestra que las relaciones de conmutación canónica que obedecen los operadores de espín son consecuencia de la anticonmutatividad del producto geométrico.

Se estudian las líneas de curvatura de superficies compactas, orientables y conexas del espacio euclidiano. La estrategia consiste en usar las ideas de la Estabilidad Estructural y dar condiciones suficientes para la estabilidad de las líneas de curvatura cuando la superficie se perturba en la topología C3. Para tal efecto se estudia los puntos umbílicos Darbouxiano y sus separatrices, al igual que los ciclos hiperbólicos. La estructura de las líneas principales cerca de estos puntos será establecida, reduciendo su análisis a los puntos hiperbólicos singulares de los campos de Línea en el plano. Con esto se busca crear condiciones para que el conjunto de superficies compactas Σ(a, b, c, d) sea estructuralmente estable y abierto en el sentido C3. / Tesis

En el presente trabajo se introduce el concepto de curva algebraica afín y se presenta el proceso de compactificación como curvas algebraicas proyectivas. El objetivo de la tesis es presentar una demostración geométrica de la fórmula “grado género” de una curva lisa. Este teorema relaciona el género topológico de una curva con su grado algebraico. / Tesis