Introducción al análisis de algoritmos. Tiempos asintóticos. Descripción de problema.

Magíster en Ciencias de la Ingeniería, Mención Matemáticas Aplicadas. Ingeniero Civil Matemático / En este trabajo se estudia un sistema de partículas cuya dinámica está determinada por mecanismos de ramificación y selección. Cada una de las $N\in \mathbb{N}$ partículas del sistema espera un tiempo exponencial de tasa $\tau > 0$ para generar un nuevo individuo posicionado, relativo al padre, según una medida de probabilidad $\mu$ en $\R$. Inmediatamente después de un evento de ramificación se elimina la partícula que está más a la izquierda dejando la cantidad de individuos constate. Si $\max x^N(t)$ es la posición de la partícula de más a la derecha a tiempo $t\geq 0$ entonces bajo ciertas hipótesis sobre $\mu$ se prueba que $\frac{\max x^N(t)}{t} \stackrel{t\to\infty}{\longrightarrow} v_N $ c.s., donde $v_N$ es una constante determinista, y que $v_N\nearrow v < \infty$, donde $v$ es la velocidad de la partícula de más a la derecha del sistema anterior pero sin el mecanismo de selección. El resultado principal de esta tesis determina una cota para la velocidad de convergencia de $v_N$ a $v$. Específicamente se prueba que $\liminf_{N\to\infty }(v - v_N)(\log N)^2 \geq C$ donde $C$ es una constante explícita dependiente de la transformada de Laplace de $\mu$. Finalmente se estudia un sistema similar a tiempo discreto y se exploran extensiones para el caso en que entre tiempos de ramificación las partículas se mueven según un proceso de Lévy.

En la presente tesis se han introducido y estudiado nuevas nociones de función co-radiante de valor real extendido y de valor conjunto, definidas en un cono de un espacio euclídeo. El estudio exhaustivo que se hace de ellas ha permitido hacer contribuciones en el análisis multivaluado no convexo, así como disponer de herramientas matemáticas adecuadas para analizar con un nivel de generalidad superior, las tradicionales funciones de producción que en la teoría económica se las denomina funciones de rendimientos decrecientes a escala. Se proponen las funciones alfa-co-radiantes que incluyen funciones como las de Cobb-Douglas de grado alfa y las de elasticidad de sustitución constante. Asimismo, se presentan representaciones convexas de las funciones alfa co-radiantes y se hacen algunos aportes para las funciones cóncavas y homogéneas de grado alfa. Los resultados de mayor relevancia en esta tesis se basan en las nociones originales de aplicación multivaluada coradiante, así como en la de aplicación multivaluada inversa co-radiante. Las aplicaciones multivaluadas co-radiantes de valor no convexo son importantes para el moderno tratamiento matemático de las tecnolog´ıas de producción. Se presenta un análisis minucioso de estas aplicaciones desde el punto de vista de la convexidad abstracta. Esto ´ultimo posee un conjunto de técnicas para problemas no convexos, usando ideas provenientes del análisis convexo. Los principales resultados son las representaciones externas para aplicaciones multivaluadas co-radiantes y para aplicaciones multivaluadas inversas co-radiantes, valiéndonos de aplicaciones multivaluadas denominadas elementales o generadoras. Asimismo, se define la función coste asociada a una aplicación multivaluada de producción y se hace un análisis de esta función en el esquema de la convexidad abstracta. Finalmente, se establecen condiciones que permiten recuperar una aplicación multivaluada primitiva a partir de la función coste. Cabe mencionar, que la convexidad abstracta tiene importantes aportes en áreas como la Optimización Global y la Teoríıa del Transporte ´ Optimo; por consiguiente la tesis se enmarca en un área de investigación de gran interés en la actualidad, que va más allá del esquema económico que motivó la presente investigación. / In this thesis have been introduced and studied new notions of co-radiant function of extended real and set value, defined in a cone of a Euclidean space. The comprehensive study that is made of them has allowed contributions in non-convex multivalued analysis, as well as the availability of proper mathematical tools to analyze with a level of greater generality, the traditional functions of production which in theory economic are known as diminishing returns to scale functions. Alpha-co-radiant functions that include alpha grade Cobb-Douglas and constant elasticity of substitution functions are presented. Also, convex representations of alpha co-radiant functions are presented and some contributions to the concave and homogeneous functions of alpha grade are made. The results of greater relevance in this thesis are based on the original notions of co-radiant multivalued map, as well as on inverse co-radiant multivalued map. The co-radiant multivalued maps of non convex value are important to the modern mathematical treatment of the production technologies. A thorough analysis of these maps is presented from the point of view of abstract convexity. This last has a set of techniques for not convex problems, using ideas from the convex analysis. The main results are the external representations for co-radiant multivalued maps and inverse co-radiant multivalued maps through multivalued maps called elemental or generating maps. Also, the cost function associated with a multivalued map of production is defined and an analysis of this function in the scheme of abstract convexity is made. Finally, conditions are established in order to recover a primitive multivalued map from the cost function. It is worth mentioning, that the abstract convexity has significant contributions in areas such as Global Optimization and the Theory of the Optimal Transportation; therefore the thesis is part of an area of research of great interest today, which goes far beyond the economic scheme that gave rise to the present investigation. / Tesis

La Teoría de los Juegos se caracteriza por ser un instrumento de análisis matemático que actualmente se utiliza en diversas ciencias sociales, y preponderantemente estudiada y utilizada por la Economía. Teniendo en cuenta la importancia de esta herramienta analítica en esta investigación, se pretende analizar las transacciones extrajudiciales que se han celebrado en el año 2012 en el distrito de Huancayo. Para este fin, la presente investigación consta de seis capítulos. En el primer capítulo se realiza una introducción a la teoría de los juegos, planteándose el problema, los objetivos e hipótesis. / Tesis

Esta tesis tiene como objetivo analizar las acciones de los estudiantes de los cursos de Análisis Matemático I de las carreras de ingeniería de la Universidad San Ignacio de Loyola, durante una secuencia de aprendizaje de la función definida por tramos mediada por el GeoGebra. Debido a que el análisis estuvo centrado en aquellas acciones que instrumentalizaban al GeoGebra y a la función definida por tramos, nos planteamos responder las siguientes interrogantes: ¿Cómo una secuencia de aprendizaje puede minimizar las dificultades que se presentan a los estudiantes cuando instrumentalizan algunas propiedades del software GeoGebra en su aprendizaje de la función definida por tramos? ¿ Cómo una secuencia de aprendizaje puede minimizar las dificultades que se presentan a los estudiantes al instrumentalizar propiedades de la función definida por tramos en su aprendizaje con el GeoGebra?. Para este estudio elegimos como referencial teórico el Enfoque de Instrumental de Rabardel (2011) y como referencial metodológico la Ingeniería Didáctica de Artigue (1995). Este enfoque nos permitió esclarecer las preguntas planteadas y los objetivos deseados, siendo el aspecto central el proceso denominado Génesis Instrumental. Producto de nuestro análisis identificamos en las interacciones de los estudiantes con el GeoGebra y con la función definida por tramos, que los estudiantes movilizaron esquemas de uso pre existentes que permitieron minimizar las dificultades en la secuencia de aprendizaje, y que además, en las últimas actividades algunas de las propiedades de estos dos artefactos conservaron las funciones adquiridas durante sus respectivas transformaciones a instrumentos. / Tesis

En los últimos años ha tomado auge nuevamente el estudio de desigualdades de tipo mixtas pesadas, debido a que, desde el año 2005 hasta la actualidad, se han resuelto algunas de las conjeturas propuestas en los años 80 en relación a ese tipo de estimaciones. La mayoría de estos resultados han sido obtenidos en el contexto lineal. En esta tesis, comenzamos el estudio de este tipo de desigualdades en el contexto multilineal. Concretamente, obtenemos desigualdades pesadas mixtas para operadores de Calderón-Zygmund multilineales y para la integral fraccionaria multilineal. Además, probamos extensiones vectoriales de estos resultados. / In the last years, the study of weighted mixed type inequalities has taken on relevance again, since, from 2005 up to the present day, some of the conjectures related to this type of estimates raised in the 80's have been solved. Most of these results have been obtained in the linear context. In this thesis, we begin the study of this type of inequalities in the multilinear setting. To be more specific, we obtain weighted mixed type inequalities for multilinear Calderón-Zygmund operators and for the multilinear fractional integral. Furthermore, we prove vector-valued extensions of these results.

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