El presente trabajo de investigación tuvo por objetivo analizar cómo estudiantes de cuarto de secundaria movilizan el concepto de la semejanza de triángulos por medio de diferentes representaciones semióticas. Se realizó con estudiantes de cuarto grado de educación secundaria de una institución educativa privada de Lima cuyas edades estuvieron comprendidas entre 14 y 15 años. La problemática que dio origen a este estudio se fundamentó en la dificultad que tienen los estudiantes para movilizar el concepto de semejanza de triángulos en la solución de problemas, dificultad generada por la enseñanza a través del uso directo de la proporción de semejanza, sin el tiempo adecuado para desarrollarlo en clase y sin el empleo de algún software que facilite el planteamiento de los problemas. Se utilizó como metodología aspectos de la Ingeniería Didáctica y como referente teórico la Teoría de Registros de Representación Semiótica, dando énfasis en el registro figural, en sus diversas aprehensiones. Con respecto a la parte experimental de la investigación, se realizó una secuencia de tres actividades con la intención que los estudiantes movilicen el concepto de semejanza de triángulos en la resolución de problemas de la vida cotidiana utilizando tanto lápiz y papel y el GeoGebra. En la primera actividad se abordó dos problemas con registro figural y apoyados por el GeoGebra, en la segunda actividad se propuso un problema sin registro figural pero apoyado por el GeoGebra y en la tercera actividad se planteó un problema sin registro figural y sin apoyo del GeoGebra. Asimismo, se identificó los cambios de registro de representación semiótica, así como la aprehensión perceptiva, secuencial, operatoria y discursiva que movilizaron los estudiantes en la secuencia de actividades y se concluyó que los estudiantes de cuarto grado de secundaria lograron movilizar el concepto de semejanza de triángulos por medio de diferentes representaciones semióticas y el GeoGebra. / The objective of this research work was to analyze how high school fourth grade students mobilize the concept of the similarity of triangles through different semiotic representations. It was carried out with fourth-grade students of secondary education from a private educational institution in Lima whose ages ranged from 14 to 15 years. The problem that gave rise to this study was based on the difficulty that students have in mobilizing the concept of similarity of triangles in solving problems, a difficulty generated by teaching through the direct use of the similarity ratio, without time suitable to develop it in class and without the use of some software that facilitates the approach of the problems. Aspects of Didactic Engineering were used as a methodology and the Theory of Registers of Semiotic Representation as a theoretical reference, emphasizing the figural register, in its various apprehensions. Regarding the experimental part of the research, a sequence of three activities was carried out with the intention that students mobilize the concept of similarity of triangles in solving problems of everyday life using both pencil and paper and GeoGebra. In the first activity two problems with figural registration and supported by GeoGebra were addressed, in the second activity a problem was proposed without figural registration but supported by GeoGebra and the third activity raised a problem without figural registration and without GeoGebra support. Likewise, the changes in the register of semiotic representation were identified, as well as the perceptual, sequential, operative and discursive apprehension that the students mobilized in the sequence of activities and it was concluded that the fourth-grade students of secondary school managed to mobilize the concept of similarity of triangles by medium of different semiotic representations and GeoGebra.

La presente investigación tiene como objetivo identificar los conocimientos y algunas creencias de un profesor de educación secundaria, sobre el proceso de enseñanza y aprendizaje de la mediatriz, usando algunas herramientas proporcionadas por el enfoque Ontosemiótico (EOS). Se ha tomado del mencionado enfoque, las categorías de análisis de los conocimientos del profesor y las trayectorias didácticas en el proceso de instrucción. La metodología utilizada es del tipo cualitativa, interpretativa y descriptiva, y utiliza el estudio de casos para describir y analizar los conocimientos matemáticos y didácticos que pone en juego un profesor durante un proceso de instrucción. El análisis de las prácticas y objetos matemáticos muestran que el profesor tiene un conocimiento común del objeto matemático mediatriz, pero no un conocimiento especializado del mismo. / This research has as objective to identify knowledge and some beliefs of a teacher of secondary education, about the teaching learning process of the bisector, using certain tools provided by the Ontosemiotic approach (EOS). It has been taken from the mentioned approach, the analysis categories of teacher knowledge and didactic paths in the process of instruction. The methodology used is qualitative, interpretative and descriptive type, and it uses the case studies to describe and analyze the mathematical and didactic knowledge that a teacher puts in play during an instruction process. The analysis of the practices and mathematical objects show that the teacher has a common knowledge of the bisector mathematical object, but no specialized knowledge of it.

La presente investigación tiene por objetivo analizar las aprehensiones en el registro gráfico(gráfico de puntos y diagrama de cajas) que los profesores del nivel secundaria movilizan al percibir y describir la variación de los datos en el proceso de transnumeración, para lo cual nos planteamos la siguiente pregunta de investigación: ¿Cómo los profesores de matemática del nivel secundario movilizan las aprehensiones en el registro gráfico(gráfico de puntos y diagrama de cajas) al percibir y describir la variación de los datos en el proceso de transnumeración? En esta investigación utilizamos como base teórica aspectos del Pensamiento Estadístico, específicamente la transnumeración, y la Teoría de Registros de Representación Semiótica adaptada para el aprendizaje de la estadística, específicamente las aprehensiones del registro gráfico, y en cuanto a la metodología optamos por el estudio de casos. En la parte experimental, propusimos dos actividades encaminadas a la construcción del diagrama de cajas y luego percibir y describir la variación de los datos por medio de las aprehensiones del registro gráfico en el desarrollo del proceso de transnumeración. Especificamente analizamos las aprehensiones perceptiva y discursiva del registro gráfico que movilizaron los profesores e identificamos las técnicas transnumerativas que utilizaron los profesores durante el proceso de transnumeración para realizar el análisis de variación. Finalmente todavía existe en los profesores la dificultad en el cálculo e interpretación de los cuartiles, a pesar que tienen conocimientos de la estadística descriptiva. Además se constató que muy pocos profesores conocían el gráfico de puntos y el diagrama de cajas. Palabras clave: variación, aprehensiones, transnumeración, geogebra. / The present research aims to analyze the apprehensions that the secondary school teachers mobilize in the graphical register (Dot-plot and Box-plot) in perceiving and describing the variation of the data in the process of transnumeración, for which we ask the following question of Research: How do mathematics teachers at the secondary level mobilize apprehensions in the graphical register (Dot-plot and Box-plot) in perceiving and describing the variation of data in the transnumeration process? In this research we use as theoretical basis aspects of Statistical Thinking, specifically the transnumeration, and the Theory of Semiotic Representation Registers adapted for the learning of statistics, specifically the apprehensions of the graphic registry, and as for the methodology we opted for the study of Cases. In the experimental part, we proposed two activities aimed at the construction of the box diagram and then perceive and describe the variation of the data through the apprehensions of the graphic record in the development of the transnumeration process. Specifically we analyze the perceptive and discursive apprehensions of the graphic record that the teachers mobilized and we identified the transnumerative techniques that teachers used during the transnumeration process to perform the analysis of variation. Finally, it is still difficult for teachers to calculate and interpret the quartiles, even though they have a knowledge of descriptive statistics. In addition, it was found that very few teachers knew the dot plot and the box diagram.

Debido a las dificultades identificadas en la enseñanza de la estadística respecto a la variación y sus medidas, la presente investigación aborda el trabajo con profesores de matemática, sobre los procesos de transnumeración, como parte del Pensamiento Estadístico, en el estudio de la variación en base a las nociones de la media y desviación estándar. Nuestro trabajo se orienta en los fundamentos teóricos de Wild y Pfannkuch (1999) y nos permitió responder a nuestra pregunta de investigación: ¿Cómo se presentan los procesos de transnumeración al desarrollar actividades sobre variación en profesores de matemática? Nuestra metodología de la investigación fue de tipo cualitativa, específicamente el estudio de caso. En la implementación de nuestras actividades participaron 14 profesores de matemática de la Educación Básica Regular (EBR) y se realizó en tres encuentros donde se trataron específicamente el gráfico de puntos, el estudio de la variación en uno y dos conjuntos de datos. De acuerdo a nuestros resultados, pudimos observar los procesos de transnumeración realizados por los profesores que los llevaron a comprender la variación y cómo el gráfico de puntos, mediante el software geogebra, les permitió movilizar diversas nociones estadísticas, más allá de realizar cálculos. Además de ello, pudimos constatar algunas concepciones y obstáculos de los profesores respecto a la enseñanza de la estadística. / Due to the difficulties identified in the teaching of statistics regarding variation and its measures, the present research deals with the work with teachers of mathematics, on the processes of transnumeration, as part of the Statistical Thinking, in the study of the variation in base to the notions of the mean and standard deviation. Our work is based on the theoretical foundations of Wild and Pfannkuch (1999) and allowed us to answer our research question: How are transnumeration processes presented when developing activities on variation in mathematics teachers? Our research methodology was qualitative, specifically the case study. In the implementation of our activities, 14 teachers of mathematics of the Regular Basic Education (EBR) participated in three meetings, where the points chart was specifically treated, the study of variation in one and two data sets. According to our results, we were able to observe the processes of transnumeration carried out by the teachers that led them to understand the variation and how the point graph, through the software geogebra, allowed them to mobilize diverse statistical notions, beyond performing calculations. In addition, we were able to verify some conceptions and obstacles of teachers regarding the teaching of statistics.

La presente investigación tiene como objetivo analizar cómo ocurre el proceso de génesis instrumental del circuncentro en estudiantes de 14 y 15 años del tercer grado de Educación Secundaria, en una secuencia de actividades en la que utilizan el Geogebra. Debido a que nuestro estudio está centrado en la génesis instrumental, nos planteamos la siguiente pregunta de investigación: ¿Cómo ocurre el proceso de génesis instrumental del circuncentro en estudiantes de tercer grado de educación secundaria en una secuencia de actividades en la que utilizan el Geogebra? Para este estudio tomamos como marco teórico al Enfoque Instrumental de Rabardel y como marco metodológico algunos aspectos de la Ingeniería Didáctica de Artigue. En el análisis identificamos en los estudiantes el desarrollo de esquemas de uso y de acción instrumentada cuando desarrollan una secuencia de actividades que moviliza nociones del circuncentro.

En esta tesis se expone una propuesta didáctica para la enseñanza de los cuadriláteros en base al modelo de Van Hiele para estudiantes del quinto grado de educación primaria. Este modelo consta de dos aspectos, que son, la descriptiva y la prescriptiva. La descriptiva busca identificar el nivel de razonamiento del estudiante y, la prescriptiva, que es la parte metodológica permite diseñar actividades en cada nivel de razonamiento, que puede permitir al estudiante, transitar al nivel inmediato superior de razonamiento. De esta manera se busca identificar las prácticas pedagógicas que contribuyan a que los estudiantes alcancen una actitud más asertiva en la apropiación de las definiciones geométricas y establecer relaciones entre las propiedades de los cuadriláteros. Por otro lado la metodología de investigación– acción busca mejorar la práctica docente, al integrar el trabajo intelectual y la reflexión con la experiencia. La aplicación de una propuesta didáctica, diseñado en actividades didácticas, nos permite analizar y describir el proceso de adquisición de los niveles de razonamiento en los estudiantes de primaria sobre el objeto matemático cuadriláteros. Lo que nos permite afirmar, que la aplicación de una secuencia de actividades diseñadas en base al modelo de Van Hiele, permite a los estudiantes de quinto grado de primaria, lograr el nivel II de razonamiento geométrico. / A didactic proposal is exposed in this thesis for teaching quadrilaterals based on the Van Hiele model to fifth grade elementary school students. This model consists of two aspects, which are the descriptive and the prescriptive one. The descrptive one aims to identify a student’s level of reasoning, and the prescriptive one, which is the methodological part, allows for designing activities in each level of reasoning, which may allow the student to move to the inmediate superior level of reasoning. This way, we are looking to identify the educational practices that contribute to students reaching a more assertive attitude in geometric definition appropriation, and to establish relations between the properties of the quadrilaterals. On the other hand, the research–action methodology aims to improve the teaching practice by integrating intellectual work and reflection with experience. Applying a didactic proposal, designed in didactic activities, allows us to analyze and describe the acquisition process of the reasoning levels in elementary students on the quadrilateral mathematical object. This allows us to state that applying a sequence of didactic activities, whose design is based on the Van Hiele model, allows fifth grade elementary students to achieve the II level of geometric reasoning.

En este trabajo de investigación, se propone el tratamiento de los problemas de optimización mediante el uso del software Cabrí-Géomètre II y Cabrí 3D, para articular los tipos de representaciones semióticas que producen los estudiantes de la Facultad de Ingeniería, de la Universidad Privada del Norte (UPN)- Lima, matriculados en el curso de Cálculo 1 en el semestre académico 2013-1, al resolver problemas de optimización enunciados en el lenguaje verbal y cuyos modelos matemáticos resultan ser funciones cuadráticas o cúbicas. Para esta investigación se ha tomado como marco teórico la Teoría de Registros de Representación Semiótica de Duval, la cual sirvió como referencia para el diseño de las actividades a ser trabajadas con los estudiantes, solo usando lápiz y papel; así poder detectar las dificultades que presentan al resolver los problemas de optimización enunciados en el lenguaje verbal. Dichas actividades fueron diseñadas de tal manera que se induzca al estudiante a articular el registro verbal, el registro gráfico y el registro algebraico. La planificación y elaboración de este trabajo de investigación se hizo teniendo como marco metodológico a la Ingeniería Didáctica de Artigue, la que sirvió para los análisis preliminares, la concepción y análisis a priori, la experimentación; para el análisis a posteriori y validación de las producciones de los estudiantes, al confrontar los supuestos o comportamientos esperados con los resultados observados. Luego de recoger la información y analizar las dificultades de los estudiantes, presentamos una propuesta didáctica para tratar los mismos problemas desarrollados con lápiz y papel, pero esta vez usando como recurso didáctico el software Cabrí6 Géomètre II y Cabrí 3D con la finalidad de mejorar la articulación entre los registros de representación semiótica. Con esta investigación queremos contribuir en la mejora de la enseñanza y aprendizaje de los problemas de contexto real, enunciados en el lenguaje verbal, relacionados con la optimización de funciones cuadráticas y cúbicas, para los estudiantes de la UPN. También contribuir con el modelo educativo de la UPN, el cual apunta a la enseñanza basado en competencias, con el uso de las TIC y centrado principalmente en el estudiante, promoviendo la experimentación e innovación.

El presente trabajo de investigación tiene como objetivo analizar, basados en la teoría de Parzysz, el Desarrollo del Pensamiento Geométrico, específicamente el tránsito de las etapas G0 a G1 en estudiantes del cuarto grado de educación primaria (9 y 10 años de edad) cuando estudian la noción de cubo y sus elementos, por medio de una secuencia didáctica en la que se usa el material concreto y el ambiente de geometría dinámica Cabri 3D, para lo cual planteamos la siguiente pregunta de investigación: ¿Estudiantes del 4to grado de educación primaria desarrollan su Pensamiento Geométrico, en las etapas G0 y G1, cuando estudian la noción de cubo y sus elementos en una secuencia didáctica con material concreto y Cabri 3D?. Para este estudio tomamos como marco teórico el Desarrollo del Pensamiento Geométrico de Parzysz y como marco metodológico aspectos de la Ingeniería Didáctica de Artigue. La secuencia didáctica de la parte experimental consta de dos actividades. La primera actividad tiene cuatro preguntas orientadas a identificar el desarrollo del pensamiento geométrico en las etapas G0 y G1 en estudiantes cuando estudian el cubo en material concreto. La segunda actividad consta también de cuatro preguntas orientadas a distinguir la etapas G0 y G1 del Desarrollo del Pensamiento Geométrico cuando estudian el cubo y sus elementos en las que se utiliza el Cabri 3D. Finalmente, consideramos que el desarrollo de las dos actividades permitió identificar y estudiar el tránsito de etapas G0 y G1 de los estudiantes al desarrollar la secuencia didáctica. Además, pensamos que el uso del Cabri 3D en la segunda actividad fue sustancial para el Desarrollo del Pensamiento Geométrico de los estudiantes ya que la manipulación directa y el arrastre que este ambiente de geometría dinámica posee facilitó dicho desarrollo. / This research aims to analyze, based on the theory of Parzysz, the development of geometrical thinking, specifically the transit from G0 to G1 stage in fourth graders (9 to 10 years old) when they study the notion of cube and its elements, through a didactical sequence in which the solid material and the environment of Cabri 3D dynamic geometry were used. Thus, the following research question was raised: Did fourth-grade students of primary education develop their geometrical thinking in the G0 and G1 stages while studying the concept of cube and its elements in a didactical sequence with the solid material and Cabri 3D?. For this study, we have considered the development of Parzysz´s Geometrical Thinking as our theoretical framework, and some aspects of Artigue´s Didactical Engineering as our methodological framework. The didactical sequence of the experimental part consisted of two activities. The first activity had four questions designed to identify the students’ development of geometrical thinking in the G0 and G1 stages in which they studied the particular solid cube. The second activity had also four questions designed to distinguish the G0 and G1 geometrical thinking development stages in which they studied the cube and its elements by using Cabri 3D. Finally, we considered that the development of both activities allowed us to identify and study the transit of the students from G0 to G1 stages while developing the didactical sequence mentioned above. We also believed that the use of Cabri 3D in the second activity was substantial for the development of students’ geometrical thinking due to the direct manipulation and drag that this dynamic geometrical environment possesses which has facilitated this development.

La presente investigación tiene como objetivo analizar, a partir de la reconfiguración del trapecio, cómo los estudiantes de educación secundaria hallan la medida del área del mismo. Por ello, nos centramos en el registro figural y en la aprehensión operatoria de reconfiguración, que consiste en realizar modificaciones mereológicas de fraccionamiento o división del trapecio para obtener una nueva figura de contorno global diferente al trapecio y a partir de ello determinar la medida del área de este objeto matemático. En esta investigación trabajamos con estudiantes del segundo grado de educación secundaria de una institución educativa pública, cuyas edades están comprendidas entre los 12 y 15 años. Utilizamos como referencial teórico aspectos de la Teoría de Registro de Representación Semiótica de Duval y en cuanto a la metodología, nos apoyamos en aspectos de la Ingeniería Didáctica de Artigue. Con respecto a la parte experimental de la investigación, realizamos una secuencia de tres actividades las cuales fueron elaboradas para que los estudiantes desarrollen la operación de reconfiguración del trapecio en el registro figural por medio del uso de la malla cuadriculada y el software Geogebra, en las dos primeras actividades. Asimismo, identificamos la aprehensión perceptiva, discursiva, secuencial y operatoria, que realizan los estudiantes en el desarrollo de la secuencia de actividades. También, observamos que los estudiantes movilizan sus conocimientos previos acerca de la medida del área del trapecio cuando emplean la fórmula para hallar la medida del área del trapecio. Finalmente, consideramos que los estudiantes del segundo grado de educación secundaria lograron hallar la medida del área del trapecio a partir de la reconfiguración de este objeto matemático. / This research aims to analyze, from the reconfiguration of the trapezoid, how high school students are able to find the measure the same area. Therefore, we focus on figural registration and operative apprehension of reconfiguration, which involves making mereologic changes fractionation or division of the trapezoid for a new figure of overall contour different to trapezoid and it can determine the extent of the area this mathematical object. In this research work with students in the second year of secondary education in a public school, whose ages are between 12 and 15 years. We use as theoretical framework aspects of Theory of Semiotics Representation Registration from Duval and in terms of methodology, we rely on aspects of Teaching Engineering Artigue. Regarding the experimental part of the research, we carried out a sequence of three activities which were developed for students to develop the operation of reconfiguration of the trapezoid in the figural register through the use of the grid mesh and the Geogebra software in the first two activities. We also identify the perceptual apprehension, discursive, sequential and operations, done by students in the development of the sequence of activities. We also observed that students mobilize their previous knowledge about the extent of the area of the trapezoid when they use the formula for measuring the area of the trapezoid. Finally, we consider the second grade students of secondary schools were able to find the extent of the area of the trapezoid from the reconfiguration of this mathematical object.

El presente trabajo tiene como objetivo analizar como los estudiantes de cuarto año comprenden la noción de semejanza de triángulos al resolver situaciones geométricas en una secuencia de actividades donde se requiere el uso de registros de representación semiótica en un ambiente de representaciones dinámicas como el GeoGebra. La investigación es de tipo cualitativa ya que el enfoque de nuestra investigación es describir comportamientos, opiniones actitudes e interacciones del estudiante al momento de resolver una actividad didáctica. Para sustentar esta investigación tomamos aspectos de la Teoría de Registros de Representación Semiótica referidos a los tratamientos y conversiones de los registros lengua natural, algebraico y registro figural dinámico. Respecto a la parte experimental, la investigación se realiza con cuatro estudiantes de cuarto año de secundaria de un colegio privado, con edades que oscilan entre 14 y 16 años. Los resultados permitieron responder nuestra pregunta de investigación el cuál es: ¿Cómo los estudiantes de cuarto año de educación secundaria comprenden la noción de semejanza de triángulos mediante transformaciones en representaciones semióticas de dicho objeto en una secuencia didáctica mediada por GeoGebra? Asimismo, se muestra que los estudiantes logran movilizar sus conocimientos con relación a la noción de semejanza de triángulos con el uso de los registros de representación semiótica y las transformaciones que se dan en ellos. / El presente trabajo tiene como objetivo analizar como los estudiantes de cuarto año comprenden la noción de semejanza de triángulos al resolver situaciones geométricas en una secuencia de actividades donde se requiere el uso de registros de representación semiótica en un ambiente de representaciones dinámicas como el GeoGebra. La investigación es de tipo cualitativa ya que el enfoque de nuestra investigación es describir comportamientos, opiniones actitudes e interacciones del estudiante al momento de resolver una actividad didáctica. Para sustentar esta investigación tomamos aspectos de la Teoría de Registros de Representación Semiótica referidos a los tratamientos y conversiones de los registros lengua natural, algebraico y registro figural dinámico. Respecto a la parte experimental, la investigación se realiza con cuatro estudiantes de cuarto año de secundaria de un colegio privado, con edades que oscilan entre 14 y 16 años. Los resultados permitieron responder nuestra pregunta de investigación el cuál es: ¿Cómo los estudiantes de cuarto año de educación secundaria comprenden la noción de semejanza de triángulos mediante transformaciones en representaciones semióticas de dicho objeto en una secuencia didáctica mediada por GeoGebra? Asimismo, se muestra que los estudiantes logran movilizar sus conocimientos con relación a la noción de semejanza de triángulos con el uso de los registros de representación semiótica y las transformaciones que se dan en ellos.