No description available.

Syftet med det här utvecklingsarbetet var att fördjupa oss i hur utomhuspedagogik som lärandemiljö kan stimulera elevers lärande inom geometri. Verktyg som användes för dokumentation i utvecklingsarbetet var observationer och loggbok samt studerande av tidigare forskning. Vi har planerat och genomfört sju aktiviteter i årskurs 2 och 3 med totalt 25 elever.  Genomfört utvecklingsarbete visar att utomhuspedagogikens lärandemiljö är ett bra komplement i matematikundervisningen. De deltagande eleverna har visat att ett lustfyllt arbetssätt stimulerar ett hållbart lärande. Eleverna har uppvisat ett intresse för geometri och en iver för ett fortsatt lärande. Vår slutsats är att lektioner i utemiljö stimulerar elevers lärande.

No description available.

Bakgrund: Forskning visar att elever upplever svårigheter med geometri och att dessa svårigheter kan bero lektionsupplägget. När det gäller det geometriska området volym har vi uppmärksammat att forskning om hur elever bäst tillgodogör sig undervisning inom detta område är bristfällig. Mot bakgrund av detta vill vi med vår studie undersöka om elever uppvisar några skillnader i resultat beroende på om de har fått arbeta med en teoretisk arbetsmetod eller en praktisk arbetsmetod. Syfte: Syftet är att undersöka om elever uppvisar några skillnader i resultat beroende på om de har arbetat med en teoretisk eller en praktisk arbetsmetod. Metod: Den metod som har använts i vår studie är den första delen av en learning study-cykel. Istället för att utföra en full learning study-cykel i en och samma klass, har vi utfört den första halvan av cykeln i två olika klasser. Eleverna som har deltagit i studien har diagnostiserats med en för- och en efterdiagnos. Sedan har de fått delta i en kort genomgång om volym, som följdes av arbete med arbetshäften bestående av fem uppgifter. Resultat: Genom vår undersökning och analys av insamlad data konstaterade vi att elevernas resultat på diagnoserna var lika. Det gick inte att utläsa några större skillnader i resultaten mellan den elevgrupp som fick arbeta med en teoretisk arbetsmetod och den grupp som fick arbeta med en praktisk arbetsmetod. Vid en analys av elevernas resultat uppdelade efter genus, konstaterade vi återigen att resultaten var lika och det gick inte att utläsa några större skillnader

This thesis consists of a summary and three articles. The thesis is devoted to the study of knots and surfaces with additional geometric structures compared to the classical smooth structure. In Paper I, real algebraic rational knots in real projective space are studied up to rigid isotopy and we show that two real rational algebraic knots of degree at most 5 are rigidly isotopic if, and only if, their degree and encomplexed writhe are equal. We also show that any smooth irreducible knot which admits a plane projection with less than or equal to four crossings has a rational parametrization of degree at most 6. Furthermore, an explicit construction of rational knots of a given degree with arbitrary encomplexed writhe (subject to natural restrictions) is presented. In Paper II, we construct an invariant of parametrized generic real algebraic surfaces in real projective space which generalizes the Brown invariant of immersed surfaces from smooth topology. The invariant is constructed using the self intersection, which is a real algebraic curve with points of three local characters: an intersection of two real sheets, an intersection of two complex conjugate sheets or a Whitney umbrella. The Brown invariant was expressed through a self linking number of the self intersection by Kirby and Melvin. We extend their definition of this self linking number to the case of parametrized generic real algebraic surfaces. In Paper III, we give a combinatorial description of the Legendrian differential graded algebra associated to a Legendrian knot in the product of a punctured Riemann surface with the real line. As an application we show that for any nonzero homology class h, and for any integer k there exist k Legendrian knots all representing h which are pairwise smoothly isotopic through a formal Legendrian isotopy but which lie in mutually distinct Legendrian isotopy classes.

I detta examensarbete kommer vi titta på möbiustransformationer samt klassisk Euklidisk geometri i planet. Vartefter vi kommer titta närmare på deras relation och se att mycket av det vi gör med möbiustransformationer kan vi göra med Euklidisk geometri. Slutligen kommer vi titta på Inversioner och några specifika inversionsproblem.

Många skolor utgår ifrån ett läromedel i sin matematikundervisning och mycket undervisningen baseras efter just det läromedlet. Därmed blir det som står i läromedlet viktigt för elevernas möjlighet att nå skolans kunskapsmål. Inom geometri behövs terminoligin för att kunna identifiera och namnge de olika formerna genom att kommunicera. Används inte det formella språket uppstår lätt missförstånd vilket gör att eleverna går miste om viktiga kunskaper. Genom att undersöka hur elever uppfattar terminologin i läromedlet tillsammans med sin lärares syn på deras undervisning kan förståelse för hur undervisning bör utföras för att få kunniga elever. Även läraren kan få reda på vad eleverna uppfattar och vad de inte uppfattar vilket gör att de kan hjälpa eleverna att skapa förståelse för de geometriska formerna.

One of the purposes of this work was to find out what it means to have a conceptual understanding of geometry. It describes how the geometry evolved from history and the geometry that is taught in grade one to nine and collage. The area examined was based on fundamental geometric objects for example two- and three- dimensional objects and its characteristics and especially focusing on the areas of perimeter, area and volume. The literature- review showed that the conceptual understanding was primary to developing a good knowledge of geometry. The second purpose of his study examined whether pupils achieved the goals in geometry by working with a Mathematics Book. It was the newest Mathematics-book that gave the best conditions for this, while the oldest was missing key parts.

I detta arbete studerar jag vilken inställning några yrkesverksamma lärare har till geometri och hur de uppfattar sin undervisning. Jag presenterar några forskares undersökningar och uppfattningar om barnens kunskapsutveckling inom geometri, hur läranderesultat ser ut, kvalitéer av olika undervisningsmetoder, hur det ser ut ute på fältet och hur det borde se ut. Jag jämför sedan detta med det resultat jag fått fram genom mina intervjuer med lärarna. Jag har hittat många likheter mellan forskningsresultat och mina intervjuresultat. Genom undersökningen har jag kommit fram till att lärarna, speciellt i de tidigare åren i grundskolan, i stor utsträckning strävar efter att undervisa på ett sätt som liknar det som forskningen anser vara ett konstruktivt sätt. Det man dock kan ifrågasätta är om deras uppfattning om sitt sätt att undervisa stämmer överens med det verkliga undervisningsarbetet.

In this bachelor's thesis we will enter the world of projective geometry and algebraic geometry. The main part of this thesis focuses on describing projective spaces and their properties. We use the gained knowledge of projective spaces to then study projective varieties, algebraic geometry and Bézouts theorem.