Tese de mestrado integrado. Engenharia Civil (Especialização em Vias de Comunicação). Faculdade de Engenharia. Universidade do Porto. 2009

Tese de mestrado integrado. Engenharia Civil (Especialização em Vias ee Comunicaçãos). Faculdade de Engenharia. Universidade do Porto. 2009

A una superficie proyectiva X cualquiera se le pueden asociar una serie de conos convexos (cono de curvas, cono semiamplio y cono característico) que proporcionan información sobre la geometría de la superficie. En esta memoria se hace un estudio del cono de curvas asociado a una superficie proyectiva racional y regular. Más concretamente, se establecen condiciones que implican la poliedricidad de dicho cono. Estas condiciones son de dos tipos: unas que dependen de la existencia de determinados divisores efectivos, y otras que dependen únicamente de la obtención de la superficie a partir de una superficie relativamente minimal (que puede ser el plano proyectivo o una superficie de Hirzebruch). La poliedricidad del cono de curvas tiene importantes implicaciones geométricas, como el hecho de que el número de morfismos proyectivos con fibras conexas de X a otra variedad (contracciones) es finito, y también que el número de (-1)-curvas de X (es decir, de curvas no singulares, racionales y de auto-intersección ­1) es finito.

Based on the study and analysis of existing buildings, and using three-dimensional modeling software, we can understand and thus explain the main mechanisms for historic buildings design and construction, making them understandable to non-specialist audiences. Knowledge of CAD softwares devices allow us a deeper study of the development of mechanisms that describe the building before constructing it or when we have to rebuild them into their original state if they have been destroyed or partially sunk. The thesis explores these resources from various examples from Antoni Gaudí works, Catalonia's most influent architect, with special emphasis on the geometry and the form that defines it. The level of expertise achieved and the constant process of training gives us the capacity to transmit (to future generations) resources in order to achieve with judgment and utmost accurary the necessary documentation to be good professionals in the field of design,engineering and architecture. / A partir de l'estudi i anàlisi d'edificis existents ,i utilitzant el modelat tridimensional hom pot entendre i per tant explicar, els principals mecanismes de disseny i construcció d'edificis històrics fent-los comprensibles a públics no especialitzats. El coneixement de les eines que ens ofereixen avui els softwares de CAD permeten aprofundir molt en el desenvolupament de mecanismes descriptius de l'edifici, abans de construir-los o tornant-los al seu estat originari si han sigut enfonsats o parcialment enfonsats. La tesi aprofundeix en aquests recursos a partir de diversos exemples, obres d'Antoni Gaudí, arquitecte referent a Catalunya, incidint especialment en la geometria i en la forma que els defineix. El grau d'expertesa assolit i el constant procés de formació ens doten de capacitat per transmetre (a futures generacions) recursos per tal d'assolir amb criteri i rigor la documentació necessària pera ser bons professionals en el camp del disseny, l'enginyeria i l'arquitectura.

La Tesis Doctoral está dedicada, por un lado, al estudio de desigualdades de tipo Brunn-Minkowski, especialmente cuando se trabaja con hipótesis sobre proyecciones/secciones, y, por otro lado, al estudio de las raíces de polinomios geométricos que surgen de una generalización del denominado funcional de Wills. En medio, nos encontraríamos las salchichas, las cuales resultan ser, salvo cuerpos convexos degenerados, la familia de los ‘conjuntos extremales’ en relación a algunas mejoras lineales de desigualdades tales como la desigualdad de Brunn-Minkowski o la primera desigualdad de Minkowski (y por tanto también de las desigualdades isoperimétrica y de Uryshon). Además esta familia de cuerpos convexos está ampliamente relacionada con algunos problemas relativos al polinomio de Steiner. Comenzamos estableciendo las nociones básicas que se necesitarán en un desarrollo posterior. A continuación, estudiamos mejoras de la desigualdad de Brunn-Minkowski, en el sentido de ‘refinar’ el exponente 1/n, cuando se asume que los cuerpos comparten una proyección común sobre un (n-k)-plano, por un lado, y para familias de cuerpos particulares, por el otro. En el tercer capítulo, abordamos el caso de igualdad en la versión lineal de la desigualdad de Brunn-Minkowski; nuestro enfoque subyace en (el estudio de) una posible caracterización de la linealidad del volumen a través de salchichas. En el último capítulo, investigamos las raíces de una familia de polinomios geométricos de cuerpos convexos asociados a una medida dada en la semirrecta real no-negativa, que surgen de una generalización natural del funcional de Wills. / The Doctoral Dissertation is devoted, on the one hand, to the study of Brunn-Minkowski's type inequalities, especially when working with projections/sections assumptions, and, on the other hand, to the study of the roots of geometric polynomials which arise from a generalization of the so-called Wills functional. In the middle, we would find sausages, which turn out to be, up to degenerated convex bodies, the family of ‘extremal sets’ in relation to some linear improvements of inequalities such as Brunn-Minkowski's inequality or Minkowski's first inequality (and thus also the isoperimetric and Urysohn's inequalities). Furthermore, this family of convex bodies is strongly connected to some problems relative to the Steiner polynomial. We start establishing the basic notions that will be needed further on. Next, we study refinements of the Brunn-Minkowski inequality, in the sense of ‘enhancing’ the exponent 1/n, when assuming that the bodies share a common projection onto an (n-k)-plane on the one hand, and for particular families of bodies on the other hand. In the third chapter, we deal with the equality case in the linear version of Brunn-Minkowski’s inequality; our approach relies on (the study of) a possible characterization of the linearity of the volume through sausages. In the last chapter, we investigate the roots of a family of geometric polynomials of convex bodies associated to a given measure on the non-negative real line, which arise from a natural generalization of the Wills functional.

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El geómetra griego Euclides empieza sus Elementos con una lista de 23 definiciones, 5 reglas lógicas, and 5 postulados. El postulado 5 se refiere a las rectas paralelas aquellas “líneas rectas que están en el mismo plano y al prolongarse indefinidamente en ambas direcciones, no se cortan”. El quinto postulado establece que: “Si una recta corta a otras dos y forma con ellas de un mismo de sus lados dos ángulos internos que suman menos dos restos, entonces las dos rectas si se prolongan indefinidamente se corta del lado en el que los ángulos dieron menos de dos rectos”. El “problema del quinto postulado” consiste en demostrar que este postulado es una consecuencia de los otros cuatro postulados de los Elementos. Como este postulado es equivalente “a la existencia y unicidad de una recta paralela a una recta dada por un punto exterior a ella”, también se lo conoce como el “problema de la teoría de las paralelas”. Desde Euclides, muchos matemáticos han tratado de probar el quinto postulado. Posidonio intento resolver el problema en la primera centuria del siglo I d.C., cuando el confundió líneas equidistantes con líneas paralelas. El problema del quinto postulado fue resuelto negativamente al final del siglo XIX. La pruebe definitiva es atribuida Beltrami en su trabajo Saggio di interpretazione della geometria non-euclidea [1868]. En este trabajo, Beltrami estudia una “superficie” dada por un disco de radio 1 dotado de un elemento de longitud de arco con curvatura constante negativa. De esta manera obtiene una geometría que satisface los postulados de Euclides excepto el quinto. Esta geometría es llamada no-euclidiana. En este trabajo revisamos la historia de este descubrimiento atribuido a Gauss, Bolyai y Lobatchevski. En clara analogía con la geometría esférica, Lambert en su Theorie der Parallellinien [1786] dice que en una “esfera imaginaria” la suma de los ángulos de un triángulo debería ser menor que π. Analizamos el papel jugado por esta esfera imaginaria en el desarrollo de la geometría no-euclidiana, y como sirvió a Gauss de guía. Más precisamente, analizamos un momento crucial en la historia del descubrimiento de la geometría no-euclidiana: la lectura que Gauss hizo del Apéndice de Bolyai en 1832, cinco años después de la publicación de Disquisitiones generales circa superficies curvas, bajo la suposición de que este trabajo esta investigación en los fundamentos de la geometría fue motivado por la búsqueda, entre las superficies del espacio, de la hipotética esfera imaginaria de Lambert. Desde este punto de vista, hemos podido responder algunas preguntas naturales a cerca de la historia de la geometría no-euclidiana; por ejemplo: 1. ¿Qué enfoque siguió Bolyai en el Apéndice? 2. ¿Por qué Gauss después de leer el Apéndice decidió no escribir nada sobre su descubrimiento de la geometría no-euclidiana? 3. ¿Qué relación existe entre las cantidades imaginarias y el problema de la teoría de las paralelas? / The Greek geometer Euclid began his Elements1 with a list of 23 definitions, 5 logical rules, and 5 postulates. The fifth postulate refers to parallel lines, which are defined as those “straight lines which, being in the same plane and being produced indefinitely in both directions, do not meet one another in either direction.” The fifth postulate states that: “If a straight line falling on two straight lines makes the interior angles on the same side less than two right angles, then the two straight lines, if produced indefinitely, meet on that side on which the angles are less than two right angles.” The ‘problem of the fifth postulate’ consists of demonstrating that this postulate is a consequence of the other four postulates of the Elements. Since this postulate is equivalent to the existence and uniqueness of a straight line parallel to a given straight line through a given point, research in this direction is called ‘theory of parallels.’ Since Euclid, many mathematicians have tried to prove the fifth postulate. Posidonius attempted to solve the problem in the first century B.C., when he confused parallel straight lines with equidistant straight lines. The problem of the fifth postulate was resolved in the negative at the end of the 19th century. The definitive proof is attributed to Beltrami in his work Saggio di interpretazione della geometria non-euclidea [1868]. In this work he studies a “surface” given by the unit disc endowed with a length element, which he gives explicitly, with respect to which the curvature is constant and negative. In this way one obtains a geometry satisfying all of Euclid’s postulates except the fifth. This geometry is the so-called non-Euclidean geometry. In this work we review the history of this discovery. In a clear analogy with spherical geometry, Lambert states that in an “imaginary sphere” the sum of the angles of a triangle would be less than p. We analyze the role played by this imaginary sphere in the development of non-Euclidean geometry, and how it served Gauss as a guide. More precisely, we analyze a crucial moment in the history of the discovery of non-Euclidean geometry: Gauss’s reading of Bolyai’s Appendix in 1832, five years after the publication of Disquisitiones generales circa superficies curvas, on the assumption that his investigations into the foundations of geometry were aimed at finding, among the surfaces in space, Lambert’s hypothetical imaginary sphere. From this point of view, one is able to answer certain natural questions about the history of non-Euclidean geometry; for instance, answer some natural questions: 1. What approach was adopted by Gauss in his meditations? Was it the same as that adopted by Bolyai? 2. Why did Gauss feel that there was no longer any need to write anything more about it? 3. What is the relation between imaginary quantities and the problem of the theory of parallels?

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En las construcciones góticas la Geometría Euclídea, y en especial los ratios pi y número de oro, fue usada para dotarles de estructura, proporción y belleza; sin embargo, además de los elementos euclídeos existen otros conceptos complejos en las construcciones de las catedrales góticas: efectividad de ocupar espacio, rugosidad y escabrosidad de los detalles que constituyen sus estructuras. La mejor herramienta para describir estos conceptos la ofrece la Geometría Fractal a través del ratio llamado “dimensión fractal”. Se trata de un parámetro geométrico, que da una medida de esos conceptos; y que no es atribuible únicamente a elementos euclídeos, sino que además viene generado por el resultado arquitectónico final de estas construcciones. Con el presente estudio mostramos que las Catedrales Góticas no sólo se rigen por los patrones geométricos euclídeos, sino que además poseen otro patrón característico, que viene determinado por su dimensión fractal. / Euclidean geometry, and especially “pi” and “golden number” ratios, were used in Gothic buildings to give them structure, proportion and beauty. Moreover the euclidean elements there are complexes structures in Spanish Gothic Cathedrals: effectiveness to occupy space, roughness and amount of details that constitute its structures. The best tool to describe these ideas is available in Fractal geometry through the use of the so-called “fractal dimension” ratio. This is a geometric parameter, which provides a measure of these concepts. The ratio is not exclusively related with the euclidean elements, but instead it is also brought about by the final construction project of these cathedrals. In the present study we prove that the Gothic Cathedrals do not only follow euclidean geometric patterns, but they also show another specific pattern dictated by their fractal dimension.