Made available in DSpace on 2015-04-22T22:16:09Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Dissertacao Final Elzimar.pdf: 671791 bytes, checksum: b10524617f6d8ff31634733bb2038494 (MD5) Previous issue date: 2009-02-20 / FAPEAM - Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado do Amazonas / This work mainly aims to demonstrate of the controllability at uniform time of a invariant system P in G, under the LARC condition, where G is a connected, compact and semisimple Lie group. This result was firtly proved by Jurdjevic and Sussmann. But the proof is given here with professor Ayala use another argument coming directly from the semisimple Lie group definition. / Este trabalho tem como objetivo principal dar uma demonstração da controlabilidade em tempo uniforme de um sistema de controle invariante P em G, satisfazendo a condição LARC, onde G é um grupo de Lie conexo, compacto e semisimples. Esse resultado é provado primeiramente por Jurdjevic e Sussmann. Porém a prova que será dada aqui (tenha como referência o tutor dessa dissertação) usa outro argumento que provém diretamente da definição de grupo de Lie semisimples.

In recent years, there has been increasing interest in studying time-delayed coupled networks of oscillators since these occur in many real life applications. In many cases symmetry, patterns can emerge in these networks; as a consequence, a part of the system might repeat itself, and properties of this symmetric subsystem represent the whole dynamics. In this thesis, an analysis of a second order N-node time-delay fully connected network is made. This study is carried out using symmetry groups. The existence of multiple eigenvalues forced by symmetry is shown, as well as the possibility of uncoupling the linearization at equilibria, into irreducible representations due to the symmetry. The existence of steady-state and Hopf bifurcations in each irreducible representation is also proved. Three different models are used to analyze the network dynamics, namely, the full-phase, the phase, and the phase-difference model. A finite set of frequencies ω is also determined, which might correspond to Hopf bifurcations in each case for critical values of the delay. Although we restrict our attention to second order nodes, the results could be extended to higher order networks provided the time-delay in the connections between nodes remains equal. / Nos últimos anos, tem havido um crescente interesse em estudar redes de osciladores acopladas com retardo de tempo uma vez que estes ocorrem em muitas aplicações da vida real. Em muitos casos, simetria e padrões podem surgir nessas redes; em consequência, uma parte do sistema pode repetir-se, e as propriedades deste subsistema simétrico representam a dinâmica da rede toda. Nesta tese é feita uma análise de uma rede de N nós de segunda ordem totalmente conectada com atraso de tempo. Este estudo é realizado utilizando grupos de simetria. É mostrada a existência de múltiplos valores próprios forçados por simetria, bem como a possibilidade de desacoplamento da linearização no equilíbrio, em representações irredutíveis. É também provada a existência de bifurcações de estado estacionário e Hopf em cada representação irredutível. São usados três modelos diferentes para analisar a dinâmica da rede: o modelo de fase completa, o modelo de fase, e o modelo de diferença de fase. É também determinado um conjunto finito de frequências ω, que pode corresponder a bifurcações de Hopf em cada caso, para valores críticos do atraso. Apesar de restringir a nossa atenção para nós de segunda ordem, os resultados podem ser estendido para redes de ordem superior, desde que o tempo de atraso nas conexões entre nós permanece igual.

Na análise global e local de sistemas dinâmicos assumimos, em geral, que as equações estão numa forma normal. Em presença de simetrias, as equações e o domínio do problema são invariantes pelo grupo formado por estas simetrias; neste caso, o campo de vetores é equivariante pela ação deste grupo. Quando, além das simetrias, temos também ocorrência de anti-simetrias - ou reversibilidades - as equações e o domínio do problema são ainda invariantes pelo grupo formado pelo conjunto de todas as simetrias e anti-simetrias; neste caso, o campo de vetores é reversível-equivariante. Existem muitos modelos físicos onde simetrias e anti-simetrias aparecem naturalmente e cujo efeito pode ser estudado de uma forma sistemática através de teoria de representação de grupos de Lie. O primeiro passo deste processo é colocar a aplicação que modela tal sistema numa forma normal e isto é feito com a dedução a priori da forma geral dos campos de vetores. Esta forma geral depende de dois componentes: da base de Hilbert do anel das funções invariantes e dos geradores do módulo das aplicações reversíveis-equivariantes. Neste projeto, nos concentramos principalmente na aplicação de resultados recentes da literatura para a construção de uma lista de formas gerais de aplicações reversíveisequivariantes sob a ação de diferentes grupos. Além disso, adaptamos ferramentas algébricas da literatura existentes no contexto equivariante para o estudo sistemático de acoplamento de células idênticas no contexto reversível-equivariante / In the global and local analysis of dynamical systems, we assume, in general, that the equations are in a normal form. In presence of symmetries, the equations and the problem domain are invariant under the group formed by these symmetries; in that case, the vector field is equivariant by the action of this group. When, in addition to the symmetries, we have the occurrence of anti-symmetries - or reversibility - the equations and the problem domain are still invariant by the group formed by the set of all symmetries and anti-symmetries; in this case, the vector field is reversible-equivariant. There are many physical models where both symmetries and anti-symmetries occur naturally and whose effect can be studied in a systematic way through group representation theory. The first step of this process is to put the mapping that model the system in a normal form, and this is done with the deduction of the general form of the vector field. This general form depends on two components: the Hilbert basis of the invariant function ring and also the generators of the module of the revesible-equivariants. In this work, we mainly focus on the applications of recent results of the literature to build a list of general forms of reversible-equivariant mappings under the action of different groups. We also adapt algebraic tools of the existing literature in the equivariant context to the systematic study of coupling of identical cells in the reversible-equivariant context

The purpose of this thesis in to introduce the systematic study of symmetries in binary differential equations (BDEs). We formalize the concept of a symmetric BDE, under the linear action of a compact Lie group. One of the main results establishes a formula that relates the algebraic and geometric effects of the occurrence of the symmetry in the problem. Using tools from invariant theory and representation theory for compact Lie groups we deduce the general forms of equivariant binary differential equations under compact subgroups of O(2). A study about the behavior of the invariant straight lines on the configuration of homogeneous BDEs of degree n is done with emphasis on cases in which n = 0 and n = 1. Also for the linear case (n = 1) the equivariant normal forms are presented. Symmetries of linear 1-forms are also studied and related with symmetries of tangent orthogonal vectors fields associated with it. / O objetivo desta tese é introduzir o estudo sistemático de simetrias em equações diferenciais binárias (EDBs). Neste trabalho formalizamos o conceito de EDB simétrica sobre a ação de um grupo de Lie compacto. Um dos principais resultados é uma fórmula que relaciona o efeito geométrico e algébrico das simetrias presentes no problema. Utilizando ferramentas da teoria invariante e de representação para grupos compactos deduzimos as formas gerais para EDBs equivariantes. Um estudo sobre o comportamento das retas invariantes na configuração de EDBs com coeficientes homogêneos de grau n é feito com ênfase nos casos de grau 0 e 1, ainda no caso de grau 1 são apresentadas suas formas normais. Simetrias de 1-formas lineares são também estudadas e relacionadas com as simetrias dos seus campos tangente e ortogonal.

Na análise global e local de sistemas dinâmicos assumimos, em geral, que as equações estão numa forma normal. Em presença de simetrias, as equações e o domínio do problema são invariantes pelo grupo formado por estas simetrias; neste caso, o campo de vetores é equivariante pela ação deste grupo. Quando, além das simetrias, temos também ocorrência de anti-simetrias - ou reversibilidades - as equações e o domínio do problema são ainda invariantes pelo grupo formado pelo conjunto de todas as simetrias e anti-simetrias; neste caso, o campo de vetores é reversível-equivariante. Existem muitos modelos físicos onde simetrias e anti-simetrias aparecem naturalmente e cujo efeito pode ser estudado de uma forma sistemática através de teoria de representação de grupos de Lie. O primeiro passo deste processo é colocar a aplicação que modela tal sistema numa forma normal e isto é feito com a dedução a priori da forma geral dos campos de vetores. Esta forma geral depende de dois componentes: da base de Hilbert do anel das funções invariantes e dos geradores do módulo das aplicações reversíveis-equivariantes. Neste projeto, nos concentramos principalmente na aplicação de resultados recentes da literatura para a construção de uma lista de formas gerais de aplicações reversíveisequivariantes sob a ação de diferentes grupos. Além disso, adaptamos ferramentas algébricas da literatura existentes no contexto equivariante para o estudo sistemático de acoplamento de células idênticas no contexto reversível-equivariante / In the global and local analysis of dynamical systems, we assume, in general, that the equations are in a normal form. In presence of symmetries, the equations and the problem domain are invariant under the group formed by these symmetries; in that case, the vector field is equivariant by the action of this group. When, in addition to the symmetries, we have the occurrence of anti-symmetries - or reversibility - the equations and the problem domain are still invariant by the group formed by the set of all symmetries and anti-symmetries; in this case, the vector field is reversible-equivariant. There are many physical models where both symmetries and anti-symmetries occur naturally and whose effect can be studied in a systematic way through group representation theory. The first step of this process is to put the mapping that model the system in a normal form, and this is done with the deduction of the general form of the vector field. This general form depends on two components: the Hilbert basis of the invariant function ring and also the generators of the module of the revesible-equivariants. In this work, we mainly focus on the applications of recent results of the literature to build a list of general forms of reversible-equivariant mappings under the action of different groups. We also adapt algebraic tools of the existing literature in the equivariant context to the systematic study of coupling of identical cells in the reversible-equivariant context

The purpose of this thesis in to introduce the systematic study of symmetries in binary differential equations (BDEs). We formalize the concept of a symmetric BDE, under the linear action of a compact Lie group. One of the main results establishes a formula that relates the algebraic and geometric effects of the occurrence of the symmetry in the problem. Using tools from invariant theory and representation theory for compact Lie groups we deduce the general forms of equivariant binary differential equations under compact subgroups of O(2). A study about the behavior of the invariant straight lines on the configuration of homogeneous BDEs of degree n is done with emphasis on cases in which n = 0 and n = 1. Also for the linear case (n = 1) the equivariant normal forms are presented. Symmetries of linear 1-forms are also studied and related with symmetries of tangent orthogonal vectors fields associated with it. / O objetivo desta tese é introduzir o estudo sistemático de simetrias em equações diferenciais binárias (EDBs). Neste trabalho formalizamos o conceito de EDB simétrica sobre a ação de um grupo de Lie compacto. Um dos principais resultados é uma fórmula que relaciona o efeito geométrico e algébrico das simetrias presentes no problema. Utilizando ferramentas da teoria invariante e de representação para grupos compactos deduzimos as formas gerais para EDBs equivariantes. Um estudo sobre o comportamento das retas invariantes na configuração de EDBs com coeficientes homogêneos de grau n é feito com ênfase nos casos de grau 0 e 1, ainda no caso de grau 1 são apresentadas suas formas normais. Simetrias de 1-formas lineares são também estudadas e relacionadas com as simetrias dos seus campos tangente e ortogonal.

In recent years, there has been increasing interest in studying time-delayed coupled networks of oscillators since these occur in many real life applications. In many cases symmetry, patterns can emerge in these networks; as a consequence, a part of the system might repeat itself, and properties of this symmetric subsystem represent the whole dynamics. In this thesis, an analysis of a second order N-node time-delay fully connected network is made. This study is carried out using symmetry groups. The existence of multiple eigenvalues forced by symmetry is shown, as well as the possibility of uncoupling the linearization at equilibria, into irreducible representations due to the symmetry. The existence of steady-state and Hopf bifurcations in each irreducible representation is also proved. Three different models are used to analyze the network dynamics, namely, the full-phase, the phase, and the phase-difference model. A finite set of frequencies ω is also determined, which might correspond to Hopf bifurcations in each case for critical values of the delay. Although we restrict our attention to second order nodes, the results could be extended to higher order networks provided the time-delay in the connections between nodes remains equal. / Nos últimos anos, tem havido um crescente interesse em estudar redes de osciladores acopladas com retardo de tempo uma vez que estes ocorrem em muitas aplicações da vida real. Em muitos casos, simetria e padrões podem surgir nessas redes; em consequência, uma parte do sistema pode repetir-se, e as propriedades deste subsistema simétrico representam a dinâmica da rede toda. Nesta tese é feita uma análise de uma rede de N nós de segunda ordem totalmente conectada com atraso de tempo. Este estudo é realizado utilizando grupos de simetria. É mostrada a existência de múltiplos valores próprios forçados por simetria, bem como a possibilidade de desacoplamento da linearização no equilíbrio, em representações irredutíveis. É também provada a existência de bifurcações de estado estacionário e Hopf em cada representação irredutível. São usados três modelos diferentes para analisar a dinâmica da rede: o modelo de fase completa, o modelo de fase, e o modelo de diferença de fase. É também determinado um conjunto finito de frequências ω, que pode corresponder a bifurcações de Hopf em cada caso, para valores críticos do atraso. Apesar de restringir a nossa atenção para nós de segunda ordem, os resultados podem ser estendido para redes de ordem superior, desde que o tempo de atraso nas conexões entre nós permanece igual.

This dissertation has as base Jocelino Sato and Vicente de Souza Neto's paper called Complete and Stable O(p + 1) x O(q + 1)-Invariant Hypersurfaces with Zero Scalar Curvature in Euclidean Space Rp+q+2, published on the Annals of Global Analysis and Geometry - 29 in 2006. The main result of this dissertation is the Classi_cation Theorem, which states: The O(p+1) x O(q+1)-Invariant Hypersurfaces in Rp+q+2, p; q > 1, with zero scalar curvature belong to one of the following classes: (1) Cones with a singularity at the orign of Rp+q+2; (2) Hypersurfaces having one orbit of singularity and asymptoting both of the cones Cα and Cβ; (3) Regular hypersurfaces asymptoting the cone Cα; (4) Regular hypersurfaces asymptoting the cone Cβ; (5) Regular hypersurfaces asymptoting both of the cones Cα and Cβ. It was reached by the studies of the ordinary differential equation on R2, involving the coordenate curves that generate these hypersurfaces. Such differential equation, in its turn, is associated with a vector field X : R22 → R2 on the plan. The study of the orbits space in this field is essential; after all, because of it, it was possible to translate the X orbits' behavior into information concerning the profile curves and, finally, reach the theorem. / Fundação de Amparo a Pesquisa do Estado de Alagoas / Esta dissertação está baseada no artigo de Jocelino Sato e Vicente de Souza Neto intitulado Complete and Stable O(p+1) x O(q+1) - Invariant Hypersurfaces with Zero Scalar Curvature in Euclidean Space Rp+q+2, publicado na revista Annals of Global Analysis and Geometry, volume 29, em 2006. O principal resultado desta dissertação é o Teorema de Classicação, que afirma o seguinte: Uma hipersuperfície Mp+q+1 que é invariante pela açãoao do grupo O(p + 1) x O(q + 1), p; q > 1, com curvatura escalar identicamente nula deve pertencer a uma das seguintes classes: (1) Cones com uma singularidade na origem de Rp+q+2; (2) Hipersuperfícies possuindo uma órbita de singularidades e assintotando ambos os cones Cα e Cβ; (3) Hipersuperfícies regulares que assintotam o cone Cα; (4) Hipersuperfícies regulares que assintotam o cone Cβ; (5) Hipersuperfícies regulares que assintotam ambos os cones Cα e Cβ. A demonstração do teorema requer um estudo de uma equação diferencial ordinária envolvendo as coordenadas das curvas, no plano, que geram estas hipersuperfícies. Esta equação diferencial, por sua vez, está associada a um campo de vetores X : R2 → R2 no plano. O estudo do retrato de fase deste campo é fundamental. Através dele, foi possível traduzir o comportamento das trajetórias de X em informações com respeito às curvas geratrizes e desta maneira obter o teorema.