Cette thèse est consacrée aux systèmes dynamiques holomorphes en dimension complexe 2, et à la théorie des courants laminaires, qui en est issue. Nous étudions la dynamique d'une classe d'applications holomorphes, introduites par Hubbard et Oberste-Vorth, non nécessairement rationnelles, définies au voisinage du bidisque unité, qui sont aux applications de Hénon complexes ce que les applications d'allure polynomiale sont aux polynômes d' une variable. Nous montrons pour ces applications un certain nombre de propriétés dynamiques analogues à celles des difféomorphismes polynomiaux, établies notamment par Bedford, Lyubich, Smillie, Fornæ ss et Sibony: existence de courants positifs fermés invariants ``attractifs'', ainsi que d'une unique mesure d'entropie maximale, décrivant la répartition des points périodiques de type selle. Les courants laminaires, généralisation des ``cycles feuilletés'' de Sullivan, ont été introduits par Bedford, Lyubich et Smillie dans le cadre de l'étude des difféomorphismes polynomiaux de deux variables. Nous développons une théorie générale de ces courants. Premièrement nous donnons un critère géométrique portant sur une suite de courbes planes algébriques de degré tendant vers l'infini pour que ses valeurs d'adhérence au sens des courants soient laminaires, et en déduisons la laminarité du courant dynamique ``de Green'' pour une classe d'applications rationnelles du plan projectif, incluant celle des applications birationnelles. Pour les courants obtenus par ce procédé, nous montrons que l'on peut donner, sous une hypothèse de nature potentialiste, une interprétation géométrique au produit extérieur; nous montrons également que ces courants satisfont une propriété de ``prolongement analytique''. Ceci nous permet de réaliser ces courants comme cycles feuilletés sur une lamination abstraite.

Thesis Abstract In the first part of the thesis, we study some dynamical properties of skew products of H´enon maps of C2 that are fibered over a compact metric space M . The problem reduces to understanding the dynamical behavior of the composition of a pseudo-random sequence of H´enon mappings. In analogy with the dynamics of the iterates of a single H´enon map, it is possible to construct fibered Green functions that satisfy suitable invariance properties and the corresponding stable and unstable currents. Further, it is shown that the successive pullbacks of a suitable current by the skew H´enon maps converge to a multiple of the fibered stable current. Second part of the thesis generalizes most of the above-mentioned results for a com- pletely random sequence of H´enon maps. In addition, for this random system of H´enon maps, we introduce the notion of average Green functions and average Green currents which carry many typical features of the classical Green functions and Green currents. Third part consists of some results about the global dynamics of a special class of skew maps. To prove these results, we use the knowledge of dynamical behavior of pseudo- random sequence of H´enon maps widely. We show that the global skew map is strongly mixing for a class of invariant measures and also provide a lower bound on the topological entropy of the skew product. We conclude the thesis by studying another class of maps which are skew products of holomorphic endomorphisms of Pk fibered over a compact base. We define the fibered Fatou components and show that they are pseudoconvex and Kobayashi hyperbolic. 1

The diploma thesis is focused on the use of heuristic and metaheuristic methods to stabilization and controlling the selected systems distinguished by the deterministic chaos behavior. There are discussed parameterization of chosen optimization methods, which are the genetic algorithm, simulated annealing and pattern search. The thesis also introduced the suitable controlling methods and the definition of the objective function. In the theoretical part of the thesis there is a brief introduction to the deterministic chaos theory. The next chapters describes the most common and deployed methods in~the~control theory, especially OGY and Pyragas methods. The practical part of the thesis is divided into two chapters. The first one describes the~stabilization of the artifical chaotic systems with the time delayed Pyragas method - TDAS and its modification ETDAS. The second chapter shows the real chaotic system control. The Duffing oscillator system was chosen to serve this purpose.

Cette thèse est divisée en deux parties. Dans la première partie, on considère le système de réaction-diffusion-advection (Pε), qui est un modèle d'haptotaxie, mécanisme lié à la dissémination de tumeurs cancéreuses. Le résultat principal concerne la convergence de la solution du systeme (Pε) vers la solution d'un problème à frontière libre (P0) qui est bien défini. Dans la seconde partie, on considère une classe générale d'équations elliptiques du type Hénon:−∆u = |x|^{α} f(u) dans Ω ⊂ R^N avec α > -2. On examine deux cas classiques : f(u) = e^u, |u|^{p−1} u et deux autres cas : f(u) = u^{p}_{+} puis f(u) nonlinéarité générale. En étudiant les solutions stables en dehors d'un ensemble compact (en particulier, solutions stables et solutions avec indice de Morse fini) avec différentes méthodes, on obtient des résultats de classification.

In this essay I defend the notion of deductive explanation mainly against two types of putative counterexamples: those found in genuinely indeterministic systems and those found in complex dynamic systems. Using Railton's notions of explanatory information and ideal explanatory text, deductivism is defended in an indeterministic setting. Furthermore, an argument against non-deductivism that hinges on peculiarities of probabilistic causality is presented. The use of the notion of an ideal explanatory text gives rise to problems in accounting for explanations in complex dynamic systems, regardless of whether they are deterministic or not. These problems are considered in the essay and a solution is suggested. This solution forces the deductivist to abandon the requirement that an explanation consists of a deductive argument, but it is argued that the core of deductivism is saved in so far as we, for full explanations, can still adhere to the fundamental requirement: If A explains B, then A is inconsistent with anything inconsistent with B.

De nombreux problèmes de calcul numérique demandent parfois à effectuer des calculs très précis. L'étude desystèmes dynamiques chaotiques fournit des exemples très connus: la stabilité du système solaire ou l’itération à longterme de l'attracteur de Lorenz qui constitue un des premiers modèles de prédiction de l'évolution météorologique. Ons'intéresse aussi aux problèmes d'optimisation semi-définie positive mal-posés qui apparaissent dans la chimie oul'informatique quantique.Pour tenter de résoudre ces problèmes avec des ordinateurs, chaque opération arithmétique de base (addition,multiplication, division, racine carrée) demande une plus grande précision que celle offerte par les systèmes usuels(binary32 and binary64). Il existe des logiciels «multi-précision» qui permettent de manipuler des nombres avec unetrès grande précision, mais leur généralité (ils sont capables de manipuler des nombres de millions de chiffres) empêched’atteindre de hautes performances. L’objectif majeur de cette thèse a été de développer un nouveau logiciel à la foissuffisamment précis, rapide et sûr : on calcule avec quelques dizaines de chiffres (quelques centaines de bits) deprécision, sur des architectures hautement parallèles comme les processeurs graphiques et on démontre des bornesd'erreur afin d'être capables d’obtenir des résultats certains. / Many numerical problems require some very accurate computations. Examples can be found in the field ofdynamical systems, like the long-term stability of the solar system or the long-term iteration of the Lorenz attractor thatis one of the first models used for meteorological predictions. We are also interested in ill-posed semi-definite positiveoptimization problems that appear in quantum chemistry or quantum information.In order to tackle these problems using computers, every basic arithmetic operation (addition, multiplication,division, square root) requires more precision than the ones offered by common processors (binary32 and binary64).There exist multiple-precision libraries that allow the manipulation of very high precision numbers, but their generality(they are able to handle numbers with millions of digits) is quite a heavy alternative when high performance is needed.The major objective of this thesis was to design and develop a new arithmetic library that offers sufficient precision, isfast and also certified. We offer accuracy up to a few tens of digits (a few hundred bits) on both common CPU processorsand on highly parallel architectures, such as graphical cards (GPUs). We ensure the results obtained by providing thealgorithms with correctness and error bound proofs.