L’Objectif de cette thèse est de développeré une théorie de l’identification spécifique pour les systèmes Hamiltonien à ports. Les raisons principales pour motiver cette théorie résident dans les propriétés remarquables de ces systèmes, notamment leur structure de Dirac et sa stabilité par interconnexion conservative de puissance (e.g. parallèle, séries ou feedback). Dans la première partie, les systèmes Hamiltoniens sont analysés en ce qui concerne leur identifiabilité structurelle, par par analyse de leur observabilité/commandabilité, par tests directs, par l’analyse en série de puissance de leur fonction de transfert ou par une nouvelle approche énergétique d’analyse d’une identifiabilité spécifique associée à un port. Dans la partie suivante, des modèles de perturbation par port d’interaction sont introduits et permettent l’analyse de l’identifiabilité « pratique » des systèmes hamiltoniens à ports. Le quatrième chapitre présente des schémas de discrétisation en temps qui préserve les bilans de puissance et d’énergie et leur application sur des exemples de système hamiltoniens à ports linéaires et non linéaires. L’erreur de discrétisation est analysée en introduisant la notion de représentation hamiltonienne de l’erreur de discrétisation. Dans la dernière partie de cette thèse, une approche d’identification dans l’espace d’état est développée pour les systèmes obtenus par discrétisation symplectique des systèmes hamiltoniens à ports. Les cas déterministe est analysé et une approche énergétique basée sur les résultats d’identifiabilité structurelle développé dans la première partie est proposée. Enfin, dans la dernière partie, les contributions du travail sont rappelées et quelques perspectives pour des travaux futurs sont présentées. / The objective of this thesis is to develop a specific identification theory for Port Controlled Hamiltonian (PCH) systems. The main reasons to develop this theory comes from their remarkable properties like power conservation and stability under power preserving interconnection (e.g. parallel, series or feedback interconnections). In a first part PCH systems are analysed for structural identifiability using some classical or new techniques: observability/controllability identifiability, direct test, power series expansion or a new power energy approach, defining also a new concept of port identifiability. Further it is proposed a perturbation model by means of the interaction port together with a practical identifiability analysis realized using the controllability and observability concepts. The fourth part presents a new framework for time-discretization of PCH systems in the nonlinear or linear case, by combined discretization of the flows and efforts preserving in the same time their characteristic properties. Also in this part it is proposed a discretization error Hamiltonian to distinguish the continuous-time PCH system from the discrete-time one. The fifth part of the thesis makes an analysis of PCH systems identifiability using the subspace identification approach in the deterministic case, proposing also a new power energy approach in direct connection with the structural identifiability results. In the end are presented the main conclusions, personal contributions and perspectives for future work.

Neste trabalho foi realizado um estudo do transporte de partículas em um plasma, confinado em um campo magnético uniforme, devido às ondas eletrostáticas de deriva. O modelo adotado consiste em descrever o movimento do centro de guia de uma partícula no campo magnético perpendicular a um campo elétrico radial perturbado pelas ondas de deriva. Usamos uma descrição Hamiltoniana para o movimento dos centros de guia. A velocidade de deriva produzida pelo campo elétrico radial é representada pela parte integrável da Hamiltoniana e a esta foram adicionadas perturbações periódicas representando as flutuações do campo elétrico associadas às ondas de deriva. Assim, obtemos órbitas caóticas que determinam o transporte radial das partículas. Apresentamos, para várias condições de equilíbrio, a variação do transporte radial de partículas com a amplitude da perturbação. Utilizamos dados experimentais, sobre a turbulência eletrostática no tokamak TBR-1, para verificar a validade do modelo e a importância das ondas de deriva no transporte radial das partículas. Comparamos os valores do coeficiente de difusão experimental com os do modelo e obtivemos os resultados com a mesma ordem de grandeza. / In this work we have studied the transport of particles in a magnetically confined plasma, due to electrostatic drift waves. The adopted model describes the trajectory of the guiding center of a particle in a uniform magnetic field perpendicular to a radial electric field perturbed by drift waves. We have used the Hamiltonian description for the guiding center trajectory. The drift produced by the radial electric field is represented by the integrable part of the Hamiltonian, while the other part contains periodic perturbations representing the fluctuations of the electric field associated to the drift waves. In this way we obtain chaotic orbits that determine the particles radial transport. For several balance conditions, we present the variation of the radial transport of particles with the amplitude of the perturbation. V/e have used the experimental data of the electrostatic turbulence measured in TBR-1 tokamak to verify, the validity of the model and the importance of the drift waves in the particles radial transport. We have also compared the values of the experimental diffusion coefficient with those provided by using the model, obtaining results with the same order of magnitude.

Através de um mapa de ondas de deriva, estudamos o transporte de partículas no Texas Helimak, considerando diversos perfis do campo elétrico radial. O Texas Helimak é um equipamento de confinamento magnético caracterizado por linhas de campo helicoidais e que fornece uma aproximação experimental de um plasma unidimensional. Ele possibilita a imposição de um potencial elétrico externo ao plasma, chamado bias, que altera o perfil radial do campo elétrico de equilíbrio e, consequentemente, possui influência sobre as características de transporte no plasma. Para estudar o efeito do bias sobre o transporte, utilizamos um modelo que considera flutuações eletrostáticas, associadas à deriva E x B, como mecanismo de turbulência. Com isso, introduzimos um mapa de ondas de deriva, cujos parâmetros estão relacionados a dados experimentais para diversos valores de bias. Assim, ao variar o bias, pudemos observar a formação e a destruição da curva sem shear, bem como seu efeito sobre o transporte das trajetórias no espaço de fase. / Using a drift wave map, we studied the particle transport in Texas Helimak considering various electric field radial profiles. Texas Helimak is a device for magnetic confinement characterized by helical field lines, and constitutes an experimental approximation to a one-dimensional plasma. It allows for the imposing of an external electric potential, known as bias, which changes the equilibrium electric field radial profile and hence the transport properties of the plasma. In order to study the effects of the bias potential on the particle transport, we used a model with electrostatic fluctuations associated to E x B drift as the turbulence mechanism. Thus, we introduced a drift wave map whose parameters are related to experimental data for various values of bias. Therefore, by varying the bias, we observed the formation and destruction of the shearless curve, as well as its effects on trajectories transport in the map\'s phase space.

A presente tese analisa diferentes aspectos de sistemas de espalhamento clássico com caos. Espalhamento caótico é uma forma de caos transiente que ocorre em diversos sistemas físicos. Nestes sistemas o espaço de fase é aberto, mas o caos ocorre apenas em uma região restrita do espaço, chamada de região de espalhamento. Os efeitos desta dinâmica apresentam-se em qualquer relação de espalhamento pela presença de conjuntos fractais, que geram hiper-sensibilidade a condições iniciais. Em nosso primeiro trabalho, mostramos que as bifurcações que levam ao caos manifestam-se na Seção de Choque Diferencial (SCD) pela criação de infinitas singularidades arco-íris. Estas singularidades aparecem na forma de cascatas, registrando na SCD todas as transições sofridas pela sela caótica. O segundo trabalho mostra que a introdução de dissipação em sistemas de espalhamento pode limitar a autosimilaridade de conjuntos originalmente fractais. Uma partícula espalhada por potenciais repulsivos encontra regiões não acessíveis, que dependem do valor de sua energia. Estas regiões determinam a estrutura da sela caótica. Com a perda de energia, o cenário de órbitas presas é alterado e, dependendo do valor da dissipação, podem existir nas funções de espalhamento estruturas fractais truncadas. O terceiro estudo aborda a presença de advecção caótica em fluxos sanguíneos. Doenças circulatórias estão geralmente associadas a uma mudança de geometria de artérias ou veias. Essas deformações podem gerar espalhamento caótico das partículas sanguíneas carregadas pelo fluxo. Em nosso trabalho mostramos, a partir de simulações numéricas, que caos pode existir em fluxos sanguíneos e, assim, formar um ciclo no desenvolvimento de anomalias circulatórias. / In this thesis we study different scattering systems with chaos. Chaotic scattering, present in a large variety of physical systems, is a type of transient chaos. While the phase-space of such systems is unbounded, irregular motion occurs only in a bounded area, called the scattering region. Still, any (nontrivial) scattering function relating initial conditions to asymptotic variables contains fractal structures, resulting in a very sharp sensitivity to initial conditions. Our first work shows that bifurcations leading to chaos manifest themselves through an infinitely fine-scale structure of rainbow singularities in the cross section. These singularities appear as cascades, mirroring the bifurcation cascade undergone by the chaotic saddle. The second work shows that the presence of dissipation in scattering systems can limit the auto-similarity of originally fractal structures. Depending on the value of their energy, particles scattered by repulsive potentials find forbidden regions in the space-phase. These regions determinate the structure of the chaotic saddle. With friction, the scenario of trapped orbits changes and, depending on the ammount dissipation, scattering functions follow a truncated fractal structure. Our third study concerns the presence of chaotic advection in blood flows. Typically, circulatory diseases are due to sudden changes on the geometry of vessel walls. These deformations can generate chaotic scattering of blood particles carried by the flow. We show, with numerical simulations, that chaos can occur in blood flows and thus form a hazardous cycle in the further developing of circulatory anomalies.

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / In this thesis we studied the theory of stability in equilibrium solutions of autonomous Hamiltonian systems with two degrees of freedom in degenerate cases. We specifically focusedour study on two cases, namely, when there are a first-order single resonance and a first-orderdouble resonance. After approaching standardization algorithms of the Hamiltonianquadratic part, the main technique used is to obtain the normal form of the Hamiltonian Lie up to a suitable order and,by using the theorem of Invariant Curve, we provided some conditions for stability of the new Hamiltonian coefficients. We studied the classical theorems of Chetaev, assuming that the origin of the phase space corresponds to the balance of that system. As an illustration, we resolved a partial reciprocal of Lagrange-Dirichlet theorem with two degrees of freedom, and made some comments regarding this reciprocal to one degree of freedom. / Nesta dissertação, estudamos a teoria de estabilidade em soluções de equilíbrios de sistemas Hamiltonianos autônomos com dois graus de liberdade em casos degenerados. Concentramos o estudo especificamente em dois casos, a saber, quando há uma ressonância de primeira ordem e dupla ressonância de primeira ordem. Após abordarmos algoritmos de normalização da parte quadrática do Hamiltoniano, a técnica principal utilizada consiste em obter a forma normal de Lei do Hamiltoniano até uma ordem adequada e usando o teorema da Curva Invariante, fornecemos algumas condições para estabilidade a partir dos coeficientes do novo Hamiltoniano. Estudamos os teoremas clássicos de Chetaev, supondo que a origem do espaço de fase corresponde ao equilíbrio desse sistema. Como ilustração, resolvemos uma recíproca parcial do teorema de Dirichlet-Lagrange, com dois graus de liberdade, tecendo ainda alguns comentários a respeito desta recíproca para um grau de liberdade.

Submitted by Diego Navarro Pozo (the.electric.me@gmail.com) on 2018-10-23T14:56:18Z No. of bitstreams: 1 dissert diego revisada + ficha + assinaturas.pdf: 953096 bytes, checksum: 005110857b3e2e871af759d632f8ef55 (MD5) / Approved for entry into archive by Janete de Oliveira Feitosa (janete.feitosa@fgv.br) on 2018-10-23T15:26:47Z (GMT) No. of bitstreams: 1 dissert diego revisada + ficha + assinaturas.pdf: 953096 bytes, checksum: 005110857b3e2e871af759d632f8ef55 (MD5) / Made available in DSpace on 2018-10-29T18:11:10Z (GMT). No. of bitstreams: 1 dissert diego revisada + ficha + assinaturas.pdf: 953096 bytes, checksum: 005110857b3e2e871af759d632f8ef55 (MD5) Previous issue date: 2018-07-30 / Os sistemas Hamiltonianos formam uma das classes mais importantes de equações diferenciais. Além de constituírem o formalismo central da física clássica, sua aplicação se estende a uma grande variedade de outros campos de estudo. Esses sistemas possuem uma característica notória do ponto de vista da matemática, a saber, que a sua ação sobre seus estados iniciais preserva uma estrutura geométrica conhecida como simpleticidade. Este fato tem importantes consequências sobre as características qualitativas do comportamento do sistema, em especial no longo prazo. Neste trabalho, são estudados métodos numéricos para obter soluções aproximadas para sistemas Hamiltonianos (já que, via de regra, soluções exatas não podem ser encontradas) que preservem a estrutura simplética das equações originais. Para tal, é feita uma revisão da teoria clássica da integração numérica de equações diferenciais, bem como de temas mais recentes como os integradores exponenciais. Além de expor a literatura mais recente sobre integradores simpléticos do tipo Runge-Kutta Exponencial, o trabalho propõe um algoritmo para o cálculo computacionalmente eficientes de integrais envolvendo exponenciais de matrizes, que são centrais para a integração simplética estável de ordem alta. / Hamiltonian systems form one of the most important classes of differential equations describing the evolution of physical phenomena. They are the backbone of classical mechanics and their application covers many different areas such as molecular dynamics, hydrodynamics, celestial and statistical mechanics, just to mention a few of them. A noteworthy feature of Hamiltonian systems is that their flow possesses a geometric property -known as symplecticity- which has a major impact on the long-time behavior of the solution. Since in general closed-form solutions can be found only in few particular cases, the construction and analysis of numerical integrators -able to produce discrete approximations that are also symplecticity preserving- is crucial for studying these systems. In this work we present the key ideas about Hamiltonian systems and their theoretical properties. We also review the main numerical methods and techniques to design and analyze symplectic integrators. Special attention is given to the stability and dynamical properties of the methods, as well as their effectiveness for long-term simulations. Finally, we propose an algorithm to improve the computational implementation of the family of exponential-based symplectic integrators recently found in the literature.

Orientador: Paulo Regis Caron Ruffino / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-08-12T16:41:27Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Silva_FabianoBorgesda_D.pdf: 848923 bytes, checksum: 27f2cf2ad665ac271db23db385dab86f (MD5) Previous issue date: 2009 / Resumo: Este trabalho consiste basicamente em três níveis de decomposições de fluxos estocásticos: 1) decomposição via G-estruturas; 2) decomposição com componente em trajetórias hamiltonianas e 3) conjugações de fluxos aleatórios ¿Observação: O resumo, na íntegra poderá ser visualizado no texto completo da tese digital. / Abstract: This thesis concerns three different kind of decomposition of stochastic flows: 1) decompositions preserving G-structures; 2) decompositions with a component whose trajectories are hamiltonians and; 3) tensor preserving conjugacies with random time differentiable cociclos ...Note: The complete abstract is available with the full electronic digital thesis or dissertations. / Doutorado / Sistemas Dinamicos / Doutor em Matemática

Orientadores: Djairo Guedes de Figueiredo, Francisco Odair Vieira de Paiva / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-08-09T03:12:35Z (GMT). No. of bitstreams: 1 DosSantos_EdersonMoreira_D.pdf: 980783 bytes, checksum: 2dea209d1deff43e05e904ee8e9a1dac (MD5) Previous issue date: 2007 / Resumo: Neste trabalho consideramos duas classes de sistemas não homogêneos sendo que em certos casos uma dessas classes tranforma-se em um sistema gradiente, enquanto que a outra em um sistema de tipo Hamiltoniano. Analisamos as questões de existência, não-existênca, unicidade e multiplicidade de solu-ções.Para obter nossos resultados empregamos o método de subsolução e super-solução, minimização de funcionais, teorema da função implícita, teorema de multiplicadores de Lagrange, Teorema do Passo da Montanha, um teorema de representação de Riesz para alguns espaços de Sobolev e o Princípio de Concentração de Compacidade / Abstract: In this work we consider two classes of nonhomogeneous systems, where in certain cases one of these classes turns to be a gradient system, while the other one becomes a system of Hamiltonian type. We are concerned about the questions of existence, nonexistence, uniqueness and multiplicity of solutions. To obtain our results we apply the method of subsolutions and supersolutions, minimization of functionals, the Lagrange multiplier theorem, the Mountain Pass Theorem, a Riesz¿s representation theorem for certain Sobolev spaces and the Concentration-Compactness Principle / Doutorado / Doutor em Matemática

Systems of quasilinear partial differential equations of the first order, known as hydrodynamic type systems, are one of the most important classes of nonlinear partial differential equations in the modern theory of integrable systems. They naturally arise in continuum mechanics and in a wide range of applications, both in pure and applied mathematics. Deep connections between the mathematical theory of hydrodynamic type systems with differential geometry, firstly revealed by Riemann in the nineteenth century, have been thoroughly investigated in the eighties by Dubrovin and Novikov. They introduced and studied a class of Poisson structures generated by a flat pseudo-Riemannian metric, called first-order Poisson brackets of hydrodynamic type. Subsequently, these structures have been generalised in a whole variety of different ways: degenerate, non-homogeneous, higher order, multi-dimensional, and non-local. The first part of this thesis is devoted to the classification of such structures in two dimensions, both non-degenerate and degenerate. Complete lists of such structures are provided for a small number of components, as well as partial results in the multi-component non-degenerate case. In the second part of the thesis we deal with deformations of Poisson structures of hydrodynamic type. The deformation theory of Poisson structures is of great interest in the theory of integrable systems, and also plays a key role in the theory of Frobenius manifolds. In particular, we investigate deformations of two classes of structures of hydrodynamic type: degenerate one-dimensional Poisson brackets and non-semisimple bi-Hamiltonian structures associated with Balinskii-Novikov algebras. Complete classification of second-order deformations are presented for two-component structures.

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