Inaugural-Diss.--Medizinische Fakultät--Universität Zürich, 1993. / Paraît simultanément comme n° 248 de la coll. "Zürcher medizingeschichtlichen Abhandlungen" Résumé en anglais. Bibliogr. p. 80-84. Index.

Diss.--Freiburg im Brisgau, 1989. / Bibliogr. p. 381-390.

Inaug.-Diss.--Halle-Wittenberg. / Cover title. Lebenslauf. Includes bibliographical references.

[pt] Estudamos a variedade M3 de curvas de gênero três em característica dois. Para cada uma destas curvas calculamos seus possíveis números de pontos de Weierstrass, seus pesos, normalizações de muitos loci no espaço de moduli, entre outras coisas. Tratamos ainda do conceito de ponto de Galois. / [en] We study the variety M3 of curves of genus three in characteristic two. For each of the curves we compute the possible number of Weierstrass points, their weights, normalizations of many loci in the moduli space, and so on. We also deal with the concept of a Galois point.

We study the quadratic form induced by the Bezoutian of two polynomials p and q, considering four problems. First, over R, in the separable case we count the number of configurations of real roots of p and q for which the Bezoutian has a fixed signature. Second, over Qp we develop a formula for the Hasse invariant of the Bezoutian. Third, we formulate a conjecture for the behavior of the Bezoutian in the non separable case, and offer a proof over R. We wrote a Pari code to test it over Qp and Q and found no counterexamples. Fourth, we state and prove a theorem that we hope will help prove the conjecture in the near future. / text

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Local-global principle for quadratic forms This work will be focused on the problems of representation and equivalence for quadratic forms. We will prove the fundamental Hasse-Minkowski theorem, which describes the rational representation and equivalence using properties of the form over the completions of Q: the real and p-adic numbers. We will refer to this procedure as local-global principle. Furthermore, we shall describe the methods for computing the p-adic invariants, and show their relation to the representation problem. Finally, we show how the local-global partially extends to integral forms, in particular to indefinite ones of dimension at least 4. 1

Dans cette thèse, on s'intéresse au groupe de Brauer non ramifié des espaces homogènes à stabilisateur non connexe et à ses applications arithmétiques. On développe notamment différentes formules de nature algébrique et/ou arithmétique permettant de calculer explicitement, tant sur un corps fini que sur un corps de caractéristique 0, la partie algébrique du groupe de Brauer non ramifié d'un espace homogène G\G' sous un groupe linéaire G' semi-simple simplement connexe à stabilisateur fini G, le tout en donnant des exemples de calculs que l'on peut faire avec ces formules. Pour ce faire, on démontre au préalable (à l'aide d'un théorème de Gabber sur les altérations) un résultat décrivant la partie de torsion première à p du groupe de Brauer non ramifié d'une variété V lisse et géométriquement intègre sur un corps fini ou sur un corps global de caractéristique p au moyen de l'évaluation des éléments de Br(V) sur ses points locaux. Les formules pour un stabilisateur fini sont ensuite généralisées au cas d'un stabilisateur G quelconque via une réduction de la cohomologie galoisienne du groupe G à celle d'un certain sous-quotient fini. Enfin, pour K un corps global et G un K-groupe fini résoluble, on démontre sous certaines hypothèses sur une extension déployant G que l'espace homogène V:=G\G' avec G' un K-groupe semi-simple simplement connexe vérifie l'approximation faible (ces hypothèses assurant la nullité du groupe de Brauer non ramifié algébrique). On utilise une version plus précise de ce résultat pour démontrer ensuite le principe de Hasse pour des espaces homogènes X sous un K-groupe G' semi-simple simplement connexe à stabilisateur géométrique fini et résoluble, sous certaines hypothèses sur le K-lien défini par X. / This thesis studies the unramified Brauer group of homogeneous spaces with non connected stabilizer and its arithmetic applcations. In particular, we develop different formulas of algebraic and/or arithmetic nature allowing an explicit calculation, both over a finite field and over a field of characteristic 0, of the algebraic part of the unramified Brauer group of a homogeneous space G\G' under a semisimple simply connected linear group G' with finite stabilizer G. We also give examples of the calculations that can be done with these formulas. For achieving this goal, we prove beforehand (using a theorem of Gabber on alterations) a result describing the prime-to-p torsion part of the unramified Brauer group of a smooth and geometrically integral variety V over a global field of characteristic p or over a finite field by evaluating the elements of Br(V) at its local points. The formulas for finite stabilizers are later generalised to the case where the stabilizer G is any linear algebraic group using a reduction of the Galois cohomology of the group G to that of a certain finite subquotient.Finally, for a global field K and a finite solvable K-group G, we show under certain hypotheses concerning the extension splitting G that the homogeneous space V:=G\G' with G' a semi-simple simply connected K-group has the weak approximation property (the hypotheses ensuring the triviality of the unramified algebraic Brauer group). We use then a more precise version of this result to prove the Hasse principle forhomogeneous spaces X under a semi-simple simply connected K-group G' with finite solvable geometric stabilizer, under certain hypotheses concerning the K-kernel (or K-lien) defined by X.

Le thème principal de cette thèse est l’interaction entre le “comportement” des points rationnels sur certaines classes de variétés définies sur des corps globaux et locaux, et la cohomologie de ces variétés.Dans la partie I, on étudie l’obstruction de Brauer-Manin à la validité des principes locaux-globaux (comme le principe de Hasse et l’approximation faible) qui vient du groupe de Brauer d’une variété. Dans certains cas, pour des fibrations en torseurs sous un tore constant défini sur un corps de nombres, on démontre que l’obstruction de Brauer-Manin est suffisante pour expliquer le défaut des principes locaux-globaux. On donne également des nouveaux examples de variétés pour lesquelles l’obstruction de Brauer-Manin et ses raffinements ne suffisent pas pour expliquer le défaut du principe de Hasse.Dans la partie II, on étudie la relation entre le volume rationnel d’une variété lisse, projective sur un corps strictement local, et la trace de l’opérateur de monodromie modérée sur la cohomologie étale de la variété. Ceci est motivé par un travail de Nicaise-Sebag sur une formule de traces pour l’invariant de Serre motivique, inspiré par la formule de Grothendieck-Lefschetz pour les variétés sur les corps fini. On utilise ici le formalisme de la géométrie logarithmique. / The main theme of this thesis is the interplay between the “behaviour” of the rational points on certain classes of algebraic varieties defined over global and local fields, andthe cohomology of these varieties. Part I studies the Brauer-Manin obstruction to the validity of local-global principles (such as the Hasse principle and weak approximation) coming from the Brauer groupof a variety. In some cases, for certain families of torsors under a constant torusdefined over a number field, we prove that the Brauer-Manin obstruction is sufficientto explain the failure of these local-global principles. We also give new examples of varieties for which the Brauer-Manin obstruction and its refinements are insufficientto explain the failure of the Hasse principle.In Part II, we investigate the relationship between the rational volume of a smooth, projective variety defined over a strictly local field, and the trace of the tame monodromy operator on the étale cohomology of this variety. The motivation is work of Nicaise–Sebag on a trace formula for the motivic Serre invariant, inspired by the Grothendieck–Lefschetz trace formula for varieties over finite fields. We study this relationship using the framework of logarithmic geometry.