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In dieser Arbeit werden Techniken beschrieben, die es erlauben (höhere) Ableitungen und Taylorapproximationen solcher Computerprogramme effizient zu berechnen. Auch inbesondere dann, wenn die Programme Algorithmen der numerischen linearen Algebra (NLA) enthalten. Im Gegensatz zur traditionellen algorithmischen Differentiation (AD), bei der die zugrunde liegenden Algorithmen um zusätzliche Befehlere erweitert werden, sind in dieser Arbeit die Zerlegungen durch definierende Gleichungen charakterisiert. Basierend auf den definierenden Gleichungen werden Strukturausnutzende Algorithmen hergeleitet. Genauer, neuartige Algorithmen für die Propagation von Taylorpolynomen durch die QR, Cholesky und reell-symmetrischen Eigenwertzerlegung werden präsentiert. Desweiteren werden Algorithmen für den Rückwärtsmodus der AD hergeleitet, welche im Wesentlichen nur die Faktoren der Zerlegungen benötigen. Im Vergleich zum traditionellen Ansatz, bei dem alle Zwischenergebnisse gespeichert werden, ist dies eine Reduktion von O(N^3) zu O(N^2) für Algorithmen mit O(N^3) Komplexität. N ist hier die Größe der Matrix. Zusätzlich kann bestehende, hoch-optimierte Software verwendet werden. Ein Laufzeitvergleich zeigt, dass dies im Vergleich zum traditionellen Ansatz zu einer Beschleunigung in der Größenordnung 100 führen kann. Da die NLA Funktionen als Black Box betrachtet werden, ist desweiteren auch der Berechnungsgraph um Größenordnungen kleiner. Dies bedeutet, dass Software, welche Operator Overloading benutzt, weniger Overhead hervorruft und auch weniger Speicher benötigt. / This thesis provides a framework for the evaluation of first and higher-order derivatives and Taylor series expansions through large computer programs that contain numerical linear algebra (NLA) functions. It is a generalization of traditional algorithmic differentiation (AD) techniques in that NLA functions are regarded as black boxes where the inputs and outputs are related by defining equations. Based on the defining equations, structure-exploiting algorithms are derived. More precisely, novel algorithms for the propagation of Taylor polynomials through the QR, Cholesky,- and real-symmetric eigenvalue decomposition are shown. Recurrences for the reverse mode of AD, which require essentially only the returned factors of the decomposition, are also derived. Compared to the traditional approach where all intermediates of an algorithm are stored, this is a reduction from O(N^3) to O(N^2) for algorithms with O( N^3) complexity. N denotes the matrix size. The derived algorithms make it possible to use existing high-performance implementations. A runtime comparison shows that the treatment of NLA functions as atomic can be more than one order of magnitude faster than an automatic differentiation of the underlying algorithm. Furthermore, the computational graph is orders of magnitudes smaller. This reduces the additional memory requirements, as well as the overhead, of operator overloading techniques to a fraction.

In der vorliegenden Arbeit wird die Entwicklung eines effizienten Verfahrens zur parametrischen Finite Elemente Simulation von Mikrosystemen und zum Export dieser Modelle in Elektronik- und Systemsimulationswerkzeuge vorgestellt. Parametrische FE-Modelle beschreiben den Einfluss von geometrischen Abmessungen, Schwankungen von Materialeigenschaften und veränderten Umgebungsbedingungen auf das Funktionsverhalten von Sensoren und Aktuatoren. Parametrische FE-Modelle werden für die Auswahl geeigneter Formelemente und deren Dimensionierung während des Entwurfsprozesses in der Mikrosystemtechnik benötigt. Weiterhin ermöglichen parametrische Modelle Sensitivitätsanalysen zur Bewertung des Einflusses von Toleranzen und Prozessschwankungen auf die Qualität von Fertigungsprozessen. In Gegensatz zu üblichen Sample- und Fitverfahren wird in dieser Arbeit eine Methode entwickelt, welche die Taylorkoeffizienten höherer Ordnung zur Beschreibung des Einflusses von Designparametern direkt aus der Finite-Elemente- Formulierung, durch Ableitungen der Systemmatrizen, ermittelt. Durch Ordnungsreduktionsverfahren werden die parametrischen FE-Modelle in verschiedene Beschreibungssprachen für einen nachfolgenden Elektronik- und Schaltungsentwurf überführt. Dadurch wird es möglich, neben dem Sensor- und Aktuatorentwurf auch das Zusammenwirken von Mikrosystemen mit elektronischen Schaltungen in einer einheitlichen Simulationsumgebung zu analysieren und zu optimieren. / The thesis deals with advanced parametric modeling technologies based on differentiation of the finite element equations which account for parameter variations in a single FE run. The key idea of the new approach is to compute not only the governing system matrices of the FE problem but also high order partial derivatives with regard to design parameters by means of automatic differentiation. As result, Taylor vectors of the system’s response can be expanded in the vicinity of the initial position capturing dimensions and physical parameter. A novel approaches for the parametric MEMS simulation have been investigated for mechanical, electrostatic and fluidic domains in order to improve the computational efficiency. Objective of reduced order modeling is to construct a simplified model which approximates the original system with reasonable accuracy for system level design of MEMS. The modal superposition technique is most suitable for system with flexible mechanical components because the deformation state of any flexible system can be accurately described by a linear combination of its lowest eigenvectors. The developed simulation approach using parametric FE analyses to extract basis functions have been applied for parametric reduced order modeling. The successful implementation of a derivatives based technique for parameterization of macromodel by the example of microbeam and for exporting this macromodel into MATLAB/Similink to simulate dynamical behavior has been reported.

In der vorliegenden Arbeit wird die Entwicklung eines effizienten Verfahrens zur parametrischen Finite Elemente Simulation von Mikrosystemen und zum Export dieser Modelle in Elektronik- und Systemsimulationswerkzeuge vorgestellt. Parametrische FE-Modelle beschreiben den Einfluss von geometrischen Abmessungen, Schwankungen von Materialeigenschaften und veränderten Umgebungsbedingungen auf das Funktionsverhalten von Sensoren und Aktuatoren. Parametrische FE-Modelle werden für die Auswahl geeigneter Formelemente und deren Dimensionierung während des Entwurfsprozesses in der Mikrosystemtechnik benötigt. Weiterhin ermöglichen parametrische Modelle Sensitivitätsanalysen zur Bewertung des Einflusses von Toleranzen und Prozessschwankungen auf die Qualität von Fertigungsprozessen. In Gegensatz zu üblichen Sample- und Fitverfahren wird in dieser Arbeit eine Methode entwickelt, welche die Taylorkoeffizienten höherer Ordnung zur Beschreibung des Einflusses von Designparametern direkt aus der Finite-Elemente- Formulierung, durch Ableitungen der Systemmatrizen, ermittelt. Durch Ordnungsreduktionsverfahren werden die parametrischen FE-Modelle in verschiedene Beschreibungssprachen für einen nachfolgenden Elektronik- und Schaltungsentwurf überführt. Dadurch wird es möglich, neben dem Sensor- und Aktuatorentwurf auch das Zusammenwirken von Mikrosystemen mit elektronischen Schaltungen in einer einheitlichen Simulationsumgebung zu analysieren und zu optimieren. / The thesis deals with advanced parametric modeling technologies based on differentiation of the finite element equations which account for parameter variations in a single FE run. The key idea of the new approach is to compute not only the governing system matrices of the FE problem but also high order partial derivatives with regard to design parameters by means of automatic differentiation. As result, Taylor vectors of the system’s response can be expanded in the vicinity of the initial position capturing dimensions and physical parameter. A novel approaches for the parametric MEMS simulation have been investigated for mechanical, electrostatic and fluidic domains in order to improve the computational efficiency. Objective of reduced order modeling is to construct a simplified model which approximates the original system with reasonable accuracy for system level design of MEMS. The modal superposition technique is most suitable for system with flexible mechanical components because the deformation state of any flexible system can be accurately described by a linear combination of its lowest eigenvectors. The developed simulation approach using parametric FE analyses to extract basis functions have been applied for parametric reduced order modeling. The successful implementation of a derivatives based technique for parameterization of macromodel by the example of microbeam and for exporting this macromodel into MATLAB/Similink to simulate dynamical behavior has been reported.