Master of Science / Department of Mathematics / Sarah Reznikoff / A (1, ≤ 2)-identifying code is a subset of the vertex set C of a graph such that each pair of vertices intersects C in a distinct way. This has useful applications in locating errors in multiprocessor networks and threat monitoring. At the time of writing, there is no simply-stated rule that will indicate if a graph is (1, ≤ 2)-identifiable. As such, we discuss properties that must be satisfied by a valid (1, ≤ 2)-identifying code, characteristics of a graph which preclude the existence of a (1, ≤ 2)-identifying code, and relationships between the maximum degree and order of (1, ≤ 2)-identifiable graphs. Additionally, we show that (1, ≤ 2)-identifiable graphs have no forbidden induced subgraphs and provide a list of (1, ≤ 2)-identifiable graphs with minimum (1, ≤ 2)-identifying codes indicated.

DANTAS, Rennan Ferreira. Problemas de código de identificação em grades. 2014. 69 f. Dissertação (Mestrado em ciência da computação)- Universidade Federal do Ceará, Fortaleza-CE, 2014. / Submitted by Elineudson Ribeiro (elineudsonr@gmail.com) on 2016-07-12T16:18:54Z No. of bitstreams: 1 2014_dis_rfdantas.pdf: 1037258 bytes, checksum: ba52dfcc5e4297fcfb7a3690e788cc4e (MD5) / Approved for entry into archive by Rocilda Sales (rocilda@ufc.br) on 2016-07-21T16:06:22Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2014_dis_rfdantas.pdf: 1037258 bytes, checksum: ba52dfcc5e4297fcfb7a3690e788cc4e (MD5) / Made available in DSpace on 2016-07-21T16:06:22Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2014_dis_rfdantas.pdf: 1037258 bytes, checksum: ba52dfcc5e4297fcfb7a3690e788cc4e (MD5) Previous issue date: 2014 / The identifying code problem was introduced in 1998 by Karpovsky as a way to help fault diagnosis in multiprocessor computer systems Since then the study of this problem and its variants has been developed Antoine Lobstein maintains a bibliography with more than 200 articles on this subject The idea of the problem is to identify any vertex of the graph using just its identifying set which are the vertices of its closed neighborhood in the identifying code Many recent papers have investigated infinite graphs and then the main objective is to obtain identifying codes in these infinite graphs with the smallest possible density In 2005 Ben-Haim and Litsyn proved that the density of an optimum identifying code in the infinite rectangular grid is 7/20 In this dissertation we present a bibliographical study showing several existing results and we provide an alternative proof to the density 7/20 for optimum identifying codes in infinite rectangular grids using the discharging method. / O problema do código de identificação foi introduzido em 1998 por Karpovsky com a finalidade de ajudar no diagnóstico de falhas em sistemas computacionais com multiprocessadores Desde então o estudo sobre esses códigos e suas variantes tem sido desenvolvido Antoine Lobstein mantém uma bibliografia com mais de 200 artigos sobre o assunto A ideia do problema consiste em identificar qualquer vértice do grafo utilizando apenas o seu conjunto de identificação que são os vértices de sua vizinhança fechada que estão no código de identificação Muitos estudos recentes se concentraram em grafos infinitos e com isso o objetivo é obter códigos de identificação nesses grafos infinitos com a menor densidade possível Em 2005 Ben-Haim e Litsyn provaram que a densidade de um código de identificação ótimo da grade retangular infinita é 7/20. Nessa dissertação fazemos um estudo bibliográfico apresentando vários resultados existentes e fornecemos uma prova alternativa para a densidade 7/20 de códigos ótimos em grades retangulares infinitas usando o método da descarga.

Un fasciagraphe de taille n et de fibre F est constitué de n copies consécutives du graphe F, chaque copie étant reliée à la suivante selon le même schéma. Les rotagraphes sont définis similairement, mais selon une structure circulaire. Dans cette thèse nous caractérisons un ensemble de problèmes combinatoires qui peuvent être résolus de façon efficace dans la classe des fasciagraphes et rotagraphes. Dans ce contexte, nous définissons les (d,q,w)-propriétés closes et stables, et présentons pour de telles propriétés un algorithme pour calculer une solution optimale en temps constant pour l'ensemble des fasciagraphes ou rotagraphes de fibre fixée. Nous montrons que plusieurs problèmes communément étudiés dans la théorie des graphes et NP-complets dans le cas général sont caractérisés par des (d,q,w)-propriétés closes ou stables. Dans une seconde partie de la thèse, nous adaptons cet algorithme générique à trois problèmes spécifiques caractérisés par des (d,q,w)-propriétés stables : le problème du code identifiant minimum, et deux problèmes proches, celui de dominant-localisateur minimum et celui du dominant-total-localisateur minimum. Nous présentons alors une implémentation de l'algorithme qui nous a permis de répondre à des questions ouvertes dans certains rotagraphes particuliers : les bandes circulaires de hauteur bornée. Nous en déduisons d'autres résultats sur les bandes infinies de hauteur bornée. Enfin, nous explorons le problème du code identifiant dans une autre classe de graphes à structure répétitive : les graphes fractals de cycle. / A fasciagraph of length n and of fiber F, is constituted of n consecutive copies of a graph F, each copy being linked to the next one according to a same scheme. Rotagraphs are defines similarily, but along a circular structure. In this thesis, we caracterize a set of combinatorial problems that can be efficiently solved when applied on the class of rotagraphs and fasciagraphs. In this context, we define closed and stable (d,q,w)-properties, and we present, for such properties, an algorithm to compute an optimal solution, in constant time, for the set of fasciagraphs or rotagraphs of fixed fiber. We show that several problems, largely studied in graph theory, are caracterized by closed or stable (d,q,w)-properties. In a second part of the thesis, we adapt the generic algorithm to three problems caracterized by stable (d,q,w)-properties : the problem of minimum indentifying code, and two other, close to this one, the problem of minimum locating-dominating set et the one of minimum locating-total-dominating set. We present an implementation of our algorithm which has let us respond to open questions in a certain sub-class of rotagraphs : the circular strips of bounded height. We deduce from there other results on infinite strips of bounded height. Finaly we explore the problem of minimum identifying code in another class of graphs with repetitive structure : the fractal graphs.

J'ai étudié trois problèmes d'optimisation dans les graphes et les jeux combinatoires.Tout d'abord, les codes identifiants dans les graphes où les sommets font faces à des failles: les codes cherchent à repérer les failles pour les réparer. On s'est intéressé aux codes identifiants dans les graphes circulants en utilisant des plongements de ces graphes dans des grilles infinies.Ensuite, j'ai étudié le jeu de marquage de sommets et le jeu de coloration d'arêtes: ici deux joueurs se font face, le premier cherche à construire une coloration correcte (ou un marquage correct) et le deuxième cherche à l'en empêcher. Pour le jeu de marquage on s'est intéressé aux changements de stratégie gagnante lorsqu'on modifie le graphe. Pour le jeu de coloration d'arêtes on a donné une stratégie gagnante pour le premier joueur pourvu que le graphe considéré admette une certaine décomposition sur les arêtes. On améliore notamment des résultats sur les graphes planaires.Enfin j'ai étudié les jeux à tas purement de casse: deux joueurs à tour de rôle prennent un tas et le cassent en un certain nombre de tas non vides. On s'intéresse aux stratégies gagnantes lorsque les joueurs jouent sur un unique tas contenant n jetons. Ces jeux de pure casse semblent, à l'oeil nu, être réguliers. On a montré que c'est effectivement le cas pour certains et on a donné un test qui permet de déterminer la régularité cas par cas. Un seul cas ne semble pas correspondre à cette régularité: son comportement reste un mystère.En conclusion, je me suis intéressé à trois problèmes bilatéraux qui utilisent différentes méthodes et qui remplissent des propos différents dans le domaine de la combinatoire / I studied three optimization problems on graphs and combinatorial games.First, identifying codes were studied : vertices couteract faults. Identifying codes help locate the fault to repare it. We focused on circulant graphs by embedding them on infinite grids.Then, the marking and the coloring games were studied : two player games were one player wants to build something (a proper coloration or a proper marking) and the other wants to prevent the first player from doing so. For the marking game we studied the evolution of the strategy when modifying the graph. For the coloring game we defined a new edge-wise decomposition of graphs and we defined a new strategy on this decomposition that improves known results on planar graphs.In the end, I studied pure breaking games : two players take turns to break a heap of tokens in a given number of non-empty heaps. We focused on winning strategies for the game starting with a unique heap on n tokens. These games seem, on first sight, to be all regular : we showed this is the case for some of them and we gave a test to study one game at a time. Only one of these games does not seem to be regular, its behavior remains a mystery.To sum up, I studied three bilateral problems that use different methods and have different purposes in combinatorics

Dans cette thèse, nous étudions des problèmes d'identification des sommets dans les graphes. Identifier les sommets d'un graphe consiste à attribuer à chaque sommet un objet qui rend le sommet unique par rapport aux autres. Nous nous intéressons particulièrement aux codes identifiants : sous-ensembles de sommets d'un graphe, dominants, tels que le voisinage fermé de chaque sommet du graphe a une intersection unique avec l'ensemble. Les sommets du code identifiant peuvent être considérés comme des capteurs et chaque sommet du graphe comme un lieu possible pour une défaillance. Nous caractérisons tout d'abord l'ensemble des graphes pour lesquels tous les sommets sauf un sont nécessaires dans tout code identifiant. Le problème consistant à trouver un code identifiant optimal, c'est-`a-dire de taille minimale, étant NP-difficile, nous l'étudions sur quatre classes restreintes de graphes. Suivant les cas, nous pouvons résoudre complètement le problème (pour les graphes de Sierpinski), améliorer les bornes générales (pour les graphes d'intervalles, les graphes adjoints, la grille du roi) ou montrer que le problème reste difficile même restreint (pour les graphes adjoints). Nous considérons ensuite des variations autour des codes identifiants permettant plus de flexibilité pour les capteurs. Nous étudions par exemple des capteurs du plan capables de détecter des défaillances `a un rayon connu avec une erreur tolérée. Nous donnons des constructions de tels codes et bornons leur taille pour des valeurs de rayons et d'erreurs fixés ou asymptotiques. Nous introduisons enfin la notion de coloration identifiante d'un graphe, permettant d'identifier les sommets d'un graphe avec les couleurs présentes dans son voisinage. Nous comparons cette coloration avec la coloration propre des graphes et donnons des bornes sur le nombre de couleurs nécessaires pour identifier un graphe, pour plusieurs classes de graphes. / In this thesis, we study problems on vertices identification of graphs. To identify the vertices of a graph consists in giving to each vertex of the graph an object that makes it unique. We are specially interested in the problem of identifying codes : dominating sets of vertices for which the closed neighborhood of each vertex has a unique intersection with the set. The vertices of the identifying code can be seen as sensors and each vertex of the graph as the location of a potential fault. We first classify all finite graphs for which all but one of the vertices are needed in any identifying code. Finding an optimal identifying code, i.e, an identifying code of minimum size, is a $NP$-hard problem. Therefore, we study this problem in some restricted classes of graphes. Depending on the class considered, we are able to solve this problem (for Sierpi`nski graphs), to give better bounds on the size of an identifying code than the general one (for interval graphs, line graphs and the king grid) or to prove that the problem remains NP-hard even in the restricted class (for line graphs). Then, we consider some variations of identifing codes that give flexibility to the sensors. For example, we study codes sensors able to detect faults within a radius around a fixed value. We give constructions of such codes and bounds on their size for general and asymptotic values of the radius and the tolerance on it. Finally, we introduce identifying colourings of graphs; verex-colouring of graph such that each vertex is identified by the set of colours in its closed neighbourhood. We compare this colouring of graphs with proper vertex-coloring and give bounds on the number of colours required to identify a graph, for several class of graphs.

CoordenaÃÃo de AperfeÃoamento de Pessoal de NÃvel Superior / O problema do cÃdigo de identificaÃÃo foi introduzido em 1998 por Karpovsky com a finalidade de ajudar no diagnÃstico de falhas em sistemas computacionais com multiprocessadores Desde entÃo o estudo sobre esses cÃdigos e suas variantes tem sido desenvolvido Antoine Lobstein mantÃm uma bibliografia com mais de 200 artigos sobre o assunto A ideia do problema consiste em identificar qualquer vÃrtice do grafo utilizando apenas o seu conjunto de identificaÃÃo que sÃo os vÃrtices de sua vizinhanÃa fechada que estÃo no cÃdigo de identificaÃÃo Muitos estudos recentes se concentraram em grafos infinitos e com isso o objetivo à obter cÃdigos de identificaÃÃo nesses grafos infinitos com a menor densidade possÃvel Em 2005 Ben-Haim e Litsyn provaram que a densidade de um cÃdigo de identificaÃÃo Ãtimo da grade retangular infinita à 7/20. Nessa dissertaÃÃo fazemos um estudo bibliogrÃfico apresentando vÃrios resultados existentes e fornecemos uma prova alternativa para a densidade 7/20 de cÃdigos Ãtimos em grades retangulares infinitas usando o mÃtodo da descarga / The identifying code problem was introduced in 1998 by Karpovsky as a way to help fault diagnosis in multiprocessor computer systems Since then the study of this problem and its variants has been developed Antoine Lobstein maintains a bibliography with more than 200 articles on this subject The idea of the problem is to identify any vertex of the graph using just its identifying set which are the vertices of its closed neighborhood in the identifying code Many recent papers have investigated infinite graphs and then the main objective is to obtain identifying codes in these infinite graphs with the smallest possible density In 2005 Ben-Haim and Litsyn proved that the density of an optimum identifying code in the infinite rectangular grid is 7/20 In this dissertation we present a bibliographical study showing several existing results and we provide an alternative proof to the density 7/20 for optimum identifying codes in infinite rectangular grids using the discharging method

Submitted by Luciana Ferreira (lucgeral@gmail.com) on 2018-03-16T10:48:35Z No. of bitstreams: 2 Dissertação - Juliana Paula Félix - 2018.pdf: 1739140 bytes, checksum: 14e7528cefac5d3322e49131936f3c86 (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) / Approved for entry into archive by Luciana Ferreira (lucgeral@gmail.com) on 2018-03-16T10:49:04Z (GMT) No. of bitstreams: 2 Dissertação - Juliana Paula Félix - 2018.pdf: 1739140 bytes, checksum: 14e7528cefac5d3322e49131936f3c86 (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) / Made available in DSpace on 2018-03-16T10:49:04Z (GMT). No. of bitstreams: 2 Dissertação - Juliana Paula Félix - 2018.pdf: 1739140 bytes, checksum: 14e7528cefac5d3322e49131936f3c86 (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) Previous issue date: 2018-02-19 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / In this work, we investigate the problem of finding identifying codes of minimum size in a variety of graph classes, such as trees corona products, Cartesian products and complementary prisms. For caterpillar trees, we show the minimum size of an identifying code on complete caterpillars, brooms and double brooms. We also prove a sharp upper bound for the general case. For coronas $K_n \circ \overline{K}_m$, we prove what is the minimum size of an identifying code. We demonstrate a sharp upper bound for an identifying code of the Cartesian product of a star and a path $K_{1,n} \square P_m$ and, when $n=3$, we conjecture that the limit proposed is minimum. We also find the minimum cardinality of an identifying code in the complementary prism of complete bipartite graphs and complete split graphs, among with other results: we demonstrate that the complementary prism graph $G\overline{G}$ is identifiable if, and only if, $G$ has at least two vertices; we find what is the smallest size possible of an identifying code of complementary prisms; we prove a sharp upper bound for an identifying code of the complementary prism $G\overline{G}$ of a connected graph $G$, showing that the set $C = V(G)$ is an identifying code with the size proposed and, finally, we determine the size of a minimum identifying code of the complementary prism of a complete bipartite graph, showing that it is an example of a graph that attains our upper bound. / Neste trabalho, investigamos o problema de se encontrar códigos identificadores de cardinalidade mínima em diversas classes de grafos, tais como árvores, produtos coronas, produtos Cartesianos e prismas complementares. Para árvores caterpillar, determinamos a cardinalidade mínima de um código identificador em caterpillars completo, grafos broom e broom duplo, e provamos um limite superior justo para caterpillars gerais. Para coronas, determinamos a cardinalidade mínima de um código identificador em $K_n \circ \overline{K}_m$. Para produtos Cartesianos, investigamos códigos identificadores em grafos $K_{1,n} \square P_m$, definimos um limite superior justo para o caso em que $n=3$ e um limite superior mais abrangente para o caso em que $n \geq 3$. Quando $n=3$, conjecturamos que o limite proposto é mínimo. Para prismas complementares de grafos, encontramos o tamanho de um código identificador mínimo em grafos bipartidos completos e grafos split completos. Para prismas complementares, obtivemos ainda outros resultados: demonstramos que um grafo prisma complementar $G\overline{G}$ é identificável se, e somente se, a ordem de $G$ é pelo menos dois; definimos o menor tamanho possível de um código identificador em um grafo $G\overline{G}$; determinamos um limite superior justo para o código identificador de um grafo conexo, mostrando também que seu conjunto de vértices é um conjunto identificador com o tamanho proposto e, finalmente, mostramos que o grafo bipartido completo é um exemplo de grafo que atinge a igualdade do limite superior apresentado.

Les codes identifiants ont été introduits en 1998 par Karpovsky, Chakrabarty et Levitin. Un code identifiant est un sous-graphe tel que chaque sommet est identifié de manière unique par les sommets du code qui l'entourent. Il existe plusieurs variantes de ces codes, dont notamment une version colorée dans laquelle les sommets sont identifiés par les couleurs dans leur voisinage. Dans cette thèse, nous cherchons en particulier à construire un cycle le plus grand possible qui admette une coloration identifiante, étant donné un nombre de couleurs fixé. Nous avons aussi étudié le problème des codes identifiants sur une classe particulière de graphes orientés : les tournois. Dans une seconde partie, nous avons aussi étudié deux jeux particuliers. Le premier est une généralisation des jeux octaux - qui se jouent normalement sur un tas - aux graphes. Plus précisemment, le jeu 0.33 ; chaque joueur peut retirer un ou deux sommets voisins d'un graphe, sans déconnecter ce dernier. Le premier qui ne peut plus jouer perd. Nous avons été capable de caractériser les issues de ce jeu dans des classes de graphes particulières, les étoiles subdivisées et les bi-étoiles subdivisées. Le second jeu est appelé le jeu du Pompier (Firefighter). Il consiste à arrêter un feu qui se propage dans un graphe en protégeant des sommets à chaque tour. Nous avons résolu une conjecture sur ce jeu, et introduit la version online, pour laquelle nous avons pu donner des résultats d'approximation. / Identifying codes were introduced in 1998 by Karpovsky, Chakrabarty and Levitin. An identifying code is a subgraph such that each vertex is uniquely identified by the vertices in its neighborhood. There are several variants of these codes, including a colored version where the vertices are identified by the colors in their neighborhood. In this phd, we want to build an identifying coloring of a large cycle, given a fixed number of colors. We also studied identified codes in a certain class of oriented graphs: tournaments. We have also studied some topics in the game theory. The first one is a generalization of octal games, where we play on a graph instead of a heap. More precisely, the 0.33 game; each player can remove one or two vertices in a graph, with no disconnection allowed. The first player who cannot play loses. We studied this game in some graph classes: subdivided stars and subdivided bistars. The other game is called the Firefighter game. It's a one player game, where this one wants to contain a spreading fire in a graph. We solved a conjecture about this game, and introduced the online version of the game, for which we found some approximation results.

Dans cette thèse, nous nous intéressons à trois problèmes issus de l'informatique théorique, à savoir le placement de formes rectangulaires dans un conteneur (OPP), la coloration dite "forte" d'arêtes des graphes et les codes identifiants dans les graphes. L'OPP consiste à décider si un ensemble d'items rectangulaires peut être placé sans chevauchement dans un conteneur rectangulaire et sans dépassement des bords de celui-ci. Une contrainte supplémentaire est prise en compte, à savoir l'interdiction de rotation des items. Le problème est NP-difficile même dans le cas où le conteneur et les formes sont des carrés. Nous présentons un algorithme de résolution efficace basé sur une caractérisation du problème par des graphes d'intervalles, proposée par Fekete et Schepers. L'algorithme est exact et utilise les MPQ-arbres - structures de données qui encodent ces graphes de manière compacte tout en capturant leurs propriétés remarquables. Nous montrons les résultats expérimentaux de notre approche en les comparant aux performances d'autres algorithmes existants. L'étude de la coloration forte d'arêtes et des codes identifiants porte sur les aspects structurels et de calculabilité de ces deux problèmes. Dans le cas de la coloration forte d'arêtes nous nous intéressons plus particulièrement aux familles des graphes planaires et des graphes subcubiques. Nous montrons des bornes optimales pour l'indice chromatique fort des graphes subcubiques en fonction du degré moyen maximum et montrons que tout graphe planaire subcubique sans cycles induits de longueur 4 et 5 est coloriable avec neuf couleurs. Enfin nous confirmons la difficulté du problème de décision associé, en prouvant qu'il est NP-complet dans des sous-classes restreintes des graphes planaires subcubiques.La troisième partie de la thèse est consacrée aux codes identifiants. Nous proposons une caractérisation des graphes identifiables dont la cardinalité du code identifiant minimum ID est n-1, où n est l'ordre du graphe. Nous étudions la classe des graphes adjoints et nous prouvons des bornes inférieures et supérieures serrées pour le paramètre ID dans cette classe. Finalement, nous montrons qu'il existe un algorithme linéaire de calcul de ID dans la classe des graphes adjoints L(G) où G a une largeur arborescente bornée par une constante. En revanche nous nous apercevons que le problème est NP-complet dans des sous-classes très restreintes des graphes parfaits. / In this thesis we study three theoretical computer science problems, namely the orthogonal packing problem (OPP for short), strong edge-colouring and identifying codes.OPP consists in testing whether a set of rectangular items can be packed in a rectangular container without overlapping and without exceeding the borders of this container. An additional constraint is that the rotation of the items is not allowed. The problem is NP-hard even when the problem is reduced to packing squares in a square. We propose an exact algorithm for solving OPP efficiently using the characterization of the problem by interval graphs proposed by Fekete and Schepers. For this purpose we use some compact representation of interval graphs - MPQ-trees. We show experimental results of our approach by comparing them to the results of other algorithms known in the literature. we observe promising gains.The study of strong edge-colouring and identifying codes is focused on the structural and computational aspects of these combinatorial problems. In the case of strong edge-colouring we are interested in the families of planar graphs and subcubic graphs. We show optimal upper bounds for the strong chromatic index of subcubic graphs as a function of the maximum average degree. We also show that every planar subcubic graph without induced cycles of length 4 and 5 can be strong edge-coloured with at most nine colours. Finally, we confirm the difficulty of the problem by showing that it remains NP-complete even in some restricted classes of planar subcubic graphs.For the subject of identifying codes we propose a characterization of non-trivial graphs having maximum identifying code number ID, that is n-1, where n is the number of vertices. We study the case of line graphs and prove lower and upper bounds for ID parameter in this class. At last we investigate the complexity of the corresponding decision problem and show the existence of a linear algorithm for computing ID of the line graph L(G) where G has the size of the tree-width bounded by a constant. On the other hand, we show that the identifying code problem is NP-complete in various subclasses of planar graphs.

Cette dissertation se divise en deux parties, distinctes mais connexes, qui sont le reflet de la cotutelle. Nous étudions et résolvons des problèmes concernant d'une part la combinatoire des mots dans un contexte abélien et d'autre part des problèmes de couverture dans des graphes. Chaque question fait l'objet d'un chapitre. En combinatoire des mots, le premier problème considéré s'intéresse à la régularité des suites au sens défini par Allouche et Shallit. Nous montrons qu'une suite qui satisfait une certaine propriété de symétrie est 2-régulière. Ensuite, nous appliquons ce théorème pour montrer que les fonctions de complexité 2-abélienne du mot de Thue--Morse ainsi que du mot appelé ''period-doubling'' sont 2-régulières. Les calculs et arguments développés dans ces démonstrations s'inscrivent dans un schéma plus général que nous espérons pouvoir utiliser à nouveau pour prouver d'autres résultats de régularité. Le deuxième problème poursuit le développement de la notion de mot de retour abélien introduite par Puzynina et Zamboni. Nous obtenons une caractérisation des mots sturmiens avec un intercepte non nul en termes du cardinal (fini ou non) de l'ensemble des mots de retour abélien par rapport à tous les préfixes. Nous décrivons cet ensemble pour Fibonacci ainsi que pour Thue--Morse (bien que cela ne soit pas un mot sturmien). Nous étudions la relation existante entre la complexité abélienne et le cardinal de cet ensemble. En théorie des graphes, le premier problème considéré traite des codes identifiants dans les graphes. Ces codes ont été introduits par Karpovsky, Chakrabarty et Levitin pour modéliser un problème de détection de défaillance dans des réseaux multiprocesseurs. Le rapport entre la taille optimale d'un code identifiant et la taille optimale du relâchement fractionnaire d'un code identifiant est comprise entre 1 et 2 ln(|V|)+1 où V est l'ensemble des sommets du graphe. Nous nous concentrons sur les graphes sommet-transitifs, car nous pouvons y calculer précisément la solution fractionnaire. Nous exhibons des familles infinies, appelées quadrangles généralisés, de graphes sommet-transitifs pour lesquelles les solutions entière et fractionnaire sont de l'ordre |V|^k avec k dans {1/4, 1/3, 2/5}. Le second problème concerne les (r,a,b)-codes couvrants de la grille infinie déjà étudiés par Axenovich et Puzynina. Nous introduisons la notion de 2-coloriages constants de graphes pondérés et nous les étudions dans le cas de quatre cycles pondérés particuliers. Nous présentons une méthode permettant de lier ces 2-coloriages aux codes couvrants. Enfin, nous déterminons les valeurs exactes des constantes a et b de tout (r,a,b)-code couvrant de la grille infinie avec |a-b|>4. Il s'agit d'une extension d'un théorème d'Axenovich. / This dissertation is divided into two (distinct but connected) parts that reflect the joint PhD. We study and we solve several questions regarding on the one hand combinatorics on words in an abelian context and on the other hand covering problems in graphs. Each particular problem is the topic of a chapter. In combinatorics on words, the first problem considered focuses on the 2-regularity of sequences in the sense of Allouche and Shallit. We prove that a sequence satisfying a certain symmetry property is 2-regular. Then we apply this theorem to show that the 2-abelian complexity functions of the Thue--Morse word and the period-doubling word are 2-regular. The computation and arguments leading to these results fit into a quite general scheme that we hope can be used again to prove additional regularity results. The second question concerns the notion of return words up to abelian equivalence, introduced by Puzynina and Zamboni. We obtain a characterization of Sturmian words with non-zero intercept in terms of the finiteness of the set of abelian return words to all prefixes. We describe this set of abelian returns for the Fibonacci word but also for the Thue-Morse word (which is not Sturmian). We investigate the relationship existing between the abelian complexity and the finiteness of this set. In graph theory, the first problem considered deals with identifying codes in graphs. These codes were introduced by Karpovsky, Chakrabarty and Levitin to model fault-diagnosis in multiprocessor systems. The ratio between the optimal size of an identifying code and the optimal size of a fractional relaxation of an identifying code is between 1 and 2 ln(|V|)+1 where V is the vertex set of the graph. We focus on vertex-transitive graphs, since we can compute the exact fractional solution for them. We exhibit infinite families, called generalized quadrangles, of vertex-transitive graphs with integer and fractional identifying codes of order |V|^k with k in {1/4,1/3,2/5}. The second problem concerns (r,a,b)-covering codes of the infinite grid already studied by Axenovich and Puzynina. We introduce the notion of constant 2-labellings of weighted graphs and study them in four particular weighted cycles. We present a method to link these labellings with covering codes. Finally, we determine the precise values of the constants a and b of any (r,a,b)-covering code of the infinite grid with |a-b|>4. This is an extension of a theorem of Axenovich.