In the doctoral dissertation, we consider problems of testing and estimating changed segment with unknown starting position and duration of epidemic state in the autoregressive first-order model. The proposed tests are based on partial sums of model residuals and model-parameter partial-estimator polygonal line processes. We derive asymptotic results for these processes in Holder spaces. The behavior of test statistics under the null hypothesis of no change and alternative is provided. Empirical power analysis has shown that tests are more powerful when absolute values of model parameter are quite large or autoregressive process changes from a stationary state to a nonstationary one. We prove the consistency of the least square changed-segment estimators and provide their convergence rates. / Disertacijoje nagrinėjamas pirmos eilės autoregresinio modelio pasikeitusio segmento testavimo ir vertinimo uždavinys. Aprašomo modelio epideminio pasikeitimo pradžia ir ilgis nėra žinomi. Pasiūlyti kriterijai pasikeitusio segmento testavimui, kurie pagrįsti modelio paklaidų įvertinių dalinių sumų ir modelio parametro dalinių įvertinių laužčių procesais. Šiems procesams gautos ribinės teoremos Hiolderio erdvėse. Nurodomas testų statistikų ribinis elgesys esant teisingai nulinei ir alternatyviajai hipotezėms. Iš empirinio kriterijų galios tyrimo rezultatų matyti, kad pasiūlytų testų galia didžiausia aptinkant pasikeitimus iš stacionarios būklės į nestacionarią arba esant artimoms vienetui modelio parametro reikšmėms. Taip pat įrodoma, kad mažiausių kvadratų metodu gauti pasikeitusio segmento pradžios ir ilgio įverčiai bei autoregresinio modelio su pasikeitusiu segmentu parametrų įverčiai yra suderintieji bei pateikiamas jų konvergavimo greitis.

Disertacijoje nagrinėjamas pirmos eilės autoregresinio modelio pasikeitusio segmento testavimo ir vertinimo uždavinys. Aprašomo modelio epideminio pasikeitimo pradžia ir ilgis nėra žinomi. Pasiūlyti kriterijai pasikeitusio segmento testavimui, kurie pagrįsti modelio paklaidų įvertinių dalinių sumų ir modelio parametro dalinių įvertinių laužčių procesais. Šiems procesams gautos ribinės teoremos Hiolderio erdvėse. Nurodomas testų statistikų ribinis elgesys esant teisingai nulinei ir alternatyviajai hipotezėms. Iš empirinio kriterijų galios tyrimo rezultatų matyti, kad pasiūlytų testų galia didžiausia aptinkant pasikeitimus iš stacionarios būklės į nestacionarią arba esant artimoms vienetui modelio parametro reikšmėms. Taip pat įrodoma, kad mažiausių kvadratų metodu gauti pasikeitusio segmento pradžios ir ilgio įverčiai bei autoregresinio modelio su pasikeitusiu segmentu parametrų įverčiai yra suderintieji bei pateikiamas jų konvergavimo greitis. / In the doctoral dissertation, we consider problems of testing and estimating changed segment with unknown starting position and duration of epidemic state in the autoregressive first-order model. The proposed tests are based on partial sums of model residuals and model-parameter partial-estimator polygonal line processes. We derive asymptotic results for these processes in Holder spaces. The behavior of test statistics under the null hypothesis of no change and alternative is provided. Empirical power analysis has shown that tests are more powerful when absolute values of model parameter are quite large or autoregressive process changes from a stationary state to a nonstationary one. We prove the consistency of the least square changed-segment estimators and provide their convergence rates.

The limiting law of the length of the longest increasing subsequence, LI_n, for sequences (words) of length n arising from iid letters drawn from finite, ordered alphabets is studied using a straightforward Brownian functional approach. Building on the insights gained in both the uniform and non-uniform iid cases, this approach is then applied to iid countable alphabets. Some partial results associated with the extension to independent, growing alphabets are also given. Returning again to the finite setting, and keeping with the same Brownian formalism, a generalization is then made to words arising from irreducible, aperiodic, time-homogeneous Markov chains on a finite, ordered alphabet. At the same time, the probabilistic object, LI_n, is simultaneously generalized to the shape of the associated Young tableau given by the well-known RSK-correspondence. Our results on this limiting shape describe, in detail, precisely when the limiting shape of the Young tableau is (up to scaling) that of the iid case, thereby answering a conjecture of Kuperberg. These results are based heavily on an analysis of the covariance structure of an m-dimensional Brownian motion and the precise form of the Brownian functionals. Finally, in both the iid and more general Markovian cases, connections to the limiting laws of the spectrum of certain random matrices associated with the Gaussian Unitary Ensemble (GUE) are explored.

As técnicas de análise de estabilidade transitória em sistemas elétricos de potência desenvolveram-se significativamente nas últimas duas décadas. Atualmente, o principal desafio dos pesquisadores é a obtenção de técnicas que sejam adequadasa análises em tempo real. Neste sentido, as idéias de Liapunov associadas ao Princípio de Invariância de LaSalle têm sido utilizadas para estimar a bacia de atraçãoo dos sistemas de potência. Embora esta filosofia seja bastante adequada a análises de estabilidade em tempo real, existem alguns obstáculos que impedem a aplicação da mesma à análise de sistemas reais. Dentre estes obstáculos poder-se-ia destacar a impossibilidade de utilização de modelos mais realísticos e a limitação da análise ao primeiro "swing". Em verdade, estes obstáculos estão intimamente relacionados com as limitações do Princípio de Invariância de LaSalle. Para superar estes problemas, propõe-se, neste trabalho, uma extensão deste princípio que é mais geral e portanto mais flexível do que o original. Aproveitando esta maior flexibilidade, duas aplicações em análise de estabilidade transitória são abordadas, ambas com o objetivo de reduzir os obstáculos anteriormente mencionados. Na primeira, propõe-se uma nova função energia para sistemas de potência com perdas nas linhas de transmissão. Mostra-se que esta é uma função de Liapunov no sentido mais geral da extensão do Princípio de Invariância de LaSalle, podendo portanto ser empregada para estudos de estabilidade. Na segunda, uma metodologia de análise de estabilidade multi-"swing" é proposta com base em uma análise de coerência de geradores.

Muitos sistemas físicos são modelados por sistemas dinâmicos discretos. Com o advento da tecnologia digital os sistemas discretos tornaram-se ainda mais importantes, sendo assim, o desenvolvimento de ferramentas analíticas para este tipo de sistema é de grande importância. Neste trabalho, estudam-se alguns dos principais resultados relacionados à estabilidade de sistemas dinâmicos discretos, e alguns novos são propostos. É bem conhecido na literatura que a estabilidade de um ponto de equilíbrio pode ser caracterizada pelo Método Direto de Lyapunov, via uma função auxiliar denominada função de Lyapunov. LaSalle, ao estudar a teoria de Lyapunov, estabeleceu uma importante relação entre função de Lyapunov e conjuntos limites de Birkhoff, que deu origem ao Princípio de Invariância de LaSalle. Este, entre outras coisas, permite a análise de estabilidade assintótica. Tanto o Método Direto de Lyapunov quanto o Princípio de Invariância requerem que a variação da função de Lyapunov seja não positiva ao longo das trajetórias do sistema. Em sistemas com comportamentos mais complexos, dificilmente encontra-se uma função com esta propriedade. Neste trabalho, propõe-se uma versão mais geral do Princípio de Invariância para sistemas discretos, a qual não exige que a variação da função de Lyapunov seja sempre não positiva. Com isto, a obtenção de funções deste tipo torna-se mais simples e muitos problemas, que antes não poderiam ser tratados com a teoria convencional, passam a ser tratados através deste novo resultado. Os resultados desenvolvi- dos, neste trabalho, são úteis para encontrar estimativas de atratores de sistemas não-lineares discretos. / Many physical systems are modeled by discrete dynamic systems. With the evolution digital technology, the discrete systems became still more important, so the development of analytic tools for this type of system has high importance nowadays. ln this work, some of the main results in stability of discrete dynamic systems are studied and some new ones are proposed. lt is well known in the literature that the stability of an equilibrium point may be characterized by the Lyapunov\'s Direct Method, with a function known as Lyapunov auxiliary function. LaSalle, when studying the Lyapunov theory, established an important relationship between Lyapunov function and Birkhoff limit sets. Then, he created the Lasalle\'s lnvariance Principle. This, among other features, allows the analysis of asymptotically stability. Both the Lyapunov\'s Direct Method and the lnvariance Principle request the variation of the Lyapunov function to be negative semidefinite along the system trajectory. In systems with more complex behaviors, a function is hardly found with this property. This work developed a more general version of the lnvariance Principle for discrete systems, which does not require the variation of the Lyapunov function to be always negative semidefinite. This new theory enables to find these functions easily and many insoluble problems, which could not be treated with the conventional theory before, become treatable by this new result. The results of this work are useful to find estimates of discrete nonlinear systems atractors.

This diploma thesis deals with income inequality measurements and concentrates mostly on the subjective parameters that are used in inequality computations. The core of the thesis is an evaluation of data from a survey, in which a questionnaire was completed by 150 people, mostly students and recent graduates. The most surprising finding is that approximately one third of respondents support the absolute invariance principle; eventually, this means a denial of many types of measurements in welfare economics, including the Gini Index. In the questionnaire, the respondents were also supposed to estimate actual Czech income distribution. All groups of respondents, not excluding economists, substantially overestimated the lowest income class size.

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Dans cette thèse nous étudions les théorèmes limites dans l’analyse statistique dessystèmes dynamiques. Le premier chapitre est consacré aux notions des bases des systèmesdynamiques ainsi que la théorie ergodique. Dans le deuxième chapitre nous introduisonsun cadre fonctionnel abstrait pour lequel la version quenched du théorème de la limitecentrale (TLC) en dimension 1 pour les systèmes dynamiques uniformément dilatantsest satisfaite sous une condition de validité nécessaire et suffisante. Le troisième chapitreest consacré au principe d’invariance presque sûr (PIPS) pour les application aléatoiresdilatantes par morceaux. Nous présentons certaines hypothèses sous lesquelles le (PIPS)est vérifié en utilisant la méthode d’approximation des martingales de Cuny et Merlèvede.Nous étudions aussi le théorème de Sprindzuk et ses conséquences. Nous établissons dansle chapitre quatre la décroissance des corrélations pour les systèmes dynamiques aléatoiresuniformément dilatants par la méthode de couplage en dimension 1. Nous terminons cetravail par une présentation des concepts de base de la théorie des mesures et probabilitéset une présentation de l’espace des fonctions à variation bornée. / In this thesis we study the limit theorems in the statistical analysis of dynamicalsystems. The first chapter is devoted to the basic notions in dynamical systems as well asthe ergodic theory. In the second chapter we introduce an abstract functional frameworkunder which the quenched version of the central limit theorem (CLT) in dimension 1for uniformly expanding dynamic systems is satisfied under a necessary and sufficientcondition validity. The third chapter is devoted to the almost sure invariance principle(ASIP) for random piecewise expanding maps. We present some hypotheses under whichthe (ASIP) is verified using the method of approximation of the martingales of Cuny andMerlèvede. We also study the Sprindzuk theorem and its consequences. In chapter four,we define the decay of correlations for the random dynamical systems uniformly expandingby the coupling method in dimension 1. We finish this work with a presentation of thebasic concepts of the theory of measures and probabilities and a presentation of the spaceof functions with bounded variation.

Este trabalho apresenta uma extensão do princípio de invariância para sistemas chaveados contínuos no tempo. Esta extensão fornece estimativas de atratores e suas respectivas áreas de atração para sistemas chaveados compostos por um número finito de subsistemas, a qual é obtida através de uma função auxiliar comum e múltiplas funções auxiliares que desempenham o mesmo papel que as funções de Lyapunov. As principais características desses novos resultados, são que a derivada da função auxiliar ou das múltiplas funções auxiliares podem assumir valores positivos em alguns conjuntos e também são usados para analisar o comportamento assintótico da solução do sistema chaveado. Resultados para sistemas chaveados com subsistemas com incertezas paramétricas também foram obtidos. Neste caso, as estimativas dos atratores e suas respectivas áreas de atração independem do parâmetro incerto. Analisando as propriedades da função auxiliar comum ao longo de um sistema formado pela combinação convexa de todos os subsistemas, os resultados passam a fornecer estimativas de atratores e suas áreas de atração mesmo na presença de subsistemas que não são ultimamente limitados. Este último resultado pode não evitar o chaveamento rápido, então surge o problema da existência da solução. Esta dificuldade pôde ser superada com o uso da teoria de sistemas descontínuos para garantir que sua solução seja definida para todo tempo mesmo que o chaveamento rápido ocorra. Portanto, uma escolha apropriada da lei de chaveamento possibilita o uso da solução de Krasovskii para garantir a existência da solução para todo tempo. Ainda, representando cada subsistema por um modelo fuzzy T-S, o comportamento assintótico da solução do sistema chaveado pôde ser estudado apenas verificando propriedades de alguns conjuntos do espaço de estado e a factibilidade de um conjunto de desigualdades matriciais lineares. / This work presents an extension of the invariance principle for continuous time switched systems. This extension is useful to obtain estimates of the attractor and basin of attraction for switched systems composed by a finite number of subsystems, which are obtained by using a common auxiliary function or multiple auxiliary functions which play the same hole as the Lyapunov function. The main feature of these new results are that the common auxiliary function or the multiple auxiliary functions can be positive in some sets and are used to analyze the asymptotic behavior of the switching solution. Results for switched systems with parametric uncertainties were also obtained. The estimates of the attractor and basin of attraction does not depend on the uncertain parameter. Analysing the auxiliary function along the solutions of the convex combination of the subsystems, estimates of the attractor and basin of attraction for switched systems with subsystems which are not necessarily ultimately bounded were given. This last result can not avoid the fast switching, then the switched solution may not exist for all time. This difficulty was overcome with the use of the theory of discontinuous systems to guarantee the existence of the switching system solution for all time. Furthemore, using a T-S fuzzy model approach, the asymptotic behavior of the switched solution could be analyzed only by checking properties of some sets and the feasibility of a set of linear matrix inequalities.

Este trabalho apresenta uma extensão do princípio de invariância para sistemas chaveados contínuos no tempo. Esta extensão fornece estimativas de atratores e suas respectivas áreas de atração para sistemas chaveados compostos por um número finito de subsistemas, a qual é obtida através de uma função auxiliar comum e múltiplas funções auxiliares que desempenham o mesmo papel que as funções de Lyapunov. As principais características desses novos resultados, são que a derivada da função auxiliar ou das múltiplas funções auxiliares podem assumir valores positivos em alguns conjuntos e também são usados para analisar o comportamento assintótico da solução do sistema chaveado. Resultados para sistemas chaveados com subsistemas com incertezas paramétricas também foram obtidos. Neste caso, as estimativas dos atratores e suas respectivas áreas de atração independem do parâmetro incerto. Analisando as propriedades da função auxiliar comum ao longo de um sistema formado pela combinação convexa de todos os subsistemas, os resultados passam a fornecer estimativas de atratores e suas áreas de atração mesmo na presença de subsistemas que não são ultimamente limitados. Este último resultado pode não evitar o chaveamento rápido, então surge o problema da existência da solução. Esta dificuldade pôde ser superada com o uso da teoria de sistemas descontínuos para garantir que sua solução seja definida para todo tempo mesmo que o chaveamento rápido ocorra. Portanto, uma escolha apropriada da lei de chaveamento possibilita o uso da solução de Krasovskii para garantir a existência da solução para todo tempo. Ainda, representando cada subsistema por um modelo fuzzy T-S, o comportamento assintótico da solução do sistema chaveado pôde ser estudado apenas verificando propriedades de alguns conjuntos do espaço de estado e a factibilidade de um conjunto de desigualdades matriciais lineares. / This work presents an extension of the invariance principle for continuous time switched systems. This extension is useful to obtain estimates of the attractor and basin of attraction for switched systems composed by a finite number of subsystems, which are obtained by using a common auxiliary function or multiple auxiliary functions which play the same hole as the Lyapunov function. The main feature of these new results are that the common auxiliary function or the multiple auxiliary functions can be positive in some sets and are used to analyze the asymptotic behavior of the switching solution. Results for switched systems with parametric uncertainties were also obtained. The estimates of the attractor and basin of attraction does not depend on the uncertain parameter. Analysing the auxiliary function along the solutions of the convex combination of the subsystems, estimates of the attractor and basin of attraction for switched systems with subsystems which are not necessarily ultimately bounded were given. This last result can not avoid the fast switching, then the switched solution may not exist for all time. This difficulty was overcome with the use of the theory of discontinuous systems to guarantee the existence of the switching system solution for all time. Furthemore, using a T-S fuzzy model approach, the asymptotic behavior of the switched solution could be analyzed only by checking properties of some sets and the feasibility of a set of linear matrix inequalities.