Cette thèse traite de la modélisation et de l'approximation numérique des écoulements liquide-gaz compressibles. La difficulté centrale est la modélisation et l'approximation de l'interface liquide-gaz. Le modèle bifluide est constitué d'un système de lois de conservation fermé par une loi d'état du mélange. La loi d'état conditionne les bonnes propriétés (hyperbolicité, existence d'une entropie de Lax) du système. Les schémas classiques de type Godunov conduisent à des imprécisions les rendant inutilisables en pratique. L'existence de solutions discontinues rend difficile la construction de schémas d'ordre élevé et nécessite des maillages très fins pour une précision acceptable. Il est indispensable de proposer des algorithmes performants pour les calculateurs parallèles les plus récents. Nous aborderons chacune de ces problématiques: construction d'une "bonne" loi de pression, construction de schémas numériques adaptés, programmation sur calculateur massivement multicoeur. / This thesis deals with the modeling and numerical approximation of compressible gas-liquid flows. The main difficulty lies in modeling and approximation of the liquid-gas interface. The two-fluid model is a system of conservation laws closed with a mixture pressure law. The law has to be chosen carefully, it conditions good properties of the system as hyperbolicity or existence of a Lax entropy. Classic conservative Godunov-type schemes lead to inaccuracies that make them unusable inpractice. The existence of discontinuous solutions makes it difficult to build high order schemes and requires very fine meshes to an acceptable accuracy. It is therefore essential to provide efficient algorithms for the High Performance Computing. In this thesis, we will partially treat each of these issues : construction of a "good" pressure law, building adapted numerical schemes, programming on GPU or GPU cluster.

On étudie dans le cadre de la thèse une famille de schémas numériques permettant de résoudre les équations de Saint-Venant. Ces schémas utilisent une décomposition d'opérateur de type Lagrange-projection afin de séparer les ondes de gravité et les ondes de transport. Un traitement implicite du système acoustique (relié aux ondes de gravité) permet aux schémas de rester stable avec de grands pas de temps. La correction des flux de pression rend possible l'obtention d'une solution approchée précise quel que soit le régime d'écoulement vis-à-vis du nombre de Froude. Une attention toute particulière est portée sur le traitement du terme source qui permet la prise en compte de l'influence de la topographie. On obtient notamment la propriété dite équilibre permettant de conserver exactement certains états stationnaires, appelés état du "lac au repos". Des versions 1D et 2D sur maillages non-structurés de ces méthodes ont été étudiées et implémentées dans un cadre volumes finis. Enfin, une extension vers des méthodes ordres élevés Galerkin discontinue a été proposée en 1D avec des limiteurs classiques ainsi que combinée avec une boucle MOOD de limitation a posteriori. / In this thesis we study a family of numerical schemes solving the shallow water equations system. These schemes use a Lagrange-projection like splitting operator technique in order to separate the gravity waves and the transport waves. An implicit-explicit treatment of the acoustic system (linked to the gravity waves) allows the schemes to stay stable with large time step. The correction of the pressure fluxes enables the obtain of a precise approximation solution whatever the regime flow is with respect to the Froude number. A particular attention has been paid over the source term treatment which permits to take the topography into account. We especially obtain the so-called well-balanced property giving the exact conservation of some steady states, namely the "lake at rest" state. 1D and 2D versions of this methods have been studied and implemented in the finite volumes framework. Finally, a high order discontinuous Galerkin extension has been proposed in 1D with classical limiters along with a combined MOOD loop a posteriori limiting strategy.

Ce travail est consacré à l'étude d'un modèle multifluide multivitesse récemment proposé par Scannapieco et Cheng (SC) pour décrire l'interpénétration de fluides miscibles (voir [SC02]). Dans ce document, on commence par resituer ce modèle dans le contexte de la modélisation des écoulements de mélanges de fluides miscibles, puis on procède à son analyse mathématique (étude de l'hyperbolicité, existence d'une entropie mathématique strictement convexe, analyse asymptotique et limite de diffusion). Ensuite, on se concentre sur la problématique de la résolution numérique des systèmes de lois de conservation avec un terme source de relaxation, classe dont fait partie le modèle SC. Une difficulté lors de la résolution numérique de tels systèmes est de capturer sur maillage grossier leur régime asymptotique quand le terme source est raide. Le principal apport de ce travail réside dans le fait que l'on propose un nouveau mode de construction de schéma Lagrange-projection qui prend en compte la présence d'un terme source au niveau du flux numérique. Cette technique est d'abord appliquée en 1D au problème modèle des équations d'Euler avec friction, puis au modèle multifluide SC. Dans les deux cas, on prouve que le nouveau schéma est asymptotic-preserving et entropique sous une condition de type CFL. L'extension 2D du schéma est effectuée par directions alternées. Des résultats numériques mettent en évidence l'apport du nouveau flux en comparaison avec un schéma Lagrange-projection classique où le terme source est traité par un splitting d'opérateur.

Les écoulements diphasiques dans les centrales de type réacteur à eau pressurisée appartiennent à des régimes très variés allant du faible nombre de Mach jusqu'aux ondes de chocs. Calculer des solutions approchées précises de ces écoulements peut s'avérer délicat dans certains régimes. On s'intéresse dans cette thèse à la conception et à l'étude de méthodes numériques robustes et stables à grand pas de temps, capables de calculer des solutions approchées précises quel que soit le régime d'écoulement, y compris sur maillage grossier. Une stratégie pour construire de tels schémas consiste à : utiliser un schéma semi implicite basé sur un splitting d’opérateurs pour séparer la résolution approchée des phénomènes rapides de celles des phénomènes lents ; corriger les flux numériques afin d’améliorer la précision du schéma dans certains régimes. Deux approches sont utilisées pour analyser la capacité du schéma numérique à gérer plusieurs régimes d'écoulement. L’approche des schémas asymptotic preserving est utilisée pour traiter le système de la dynamique des gaz avec termes sources raides. On utilise ensuite la notion de schéma tout-régime pour le système de la dynamique des gaz et les systèmes diphasiques homogénéisés HRM et HEM à bas nombre de Mach. Des propriétés garantissant la stabilité et la robustesse des schémas ont été obtenues, et en particulier des inégalités d'entropie discrètes. L'implémentation de ces méthodes a permis de mener des expériences numériques en 1D et 2D sur maillage non structuré qui confirment le gain en précision et en temps de calcul des schémas asymptotic preserving et tout-régime ainsi construits par rapport à des schémas numériques classiques. / Two-phase flows in Pressurized Water Reactors belong to a wide range of Mach number flows. Computing accurate approximate solutions of those flows may be challenging from a numerical point of view as classical finite volume methods are too diffusive in the low Mach regime. In this thesis, we are interested in designing and studying some robust numerical schemes that are stable for large time steps and accurate even on coarse meshes for a wide range of flow regimes. An important feature is the strategy to construct those schemes. We use a mixed implicit-explicit strategy based on an operator splitting to solve fast and slow phenomena separately. Then, we introduce a modification of a Suliciu type relaxation scheme to improve the accuracy of the numerical scheme in some regime of interest. Two approaches have been used to assess the ability of our numerical schemes to deal with a wide range of flow regimes. The first approach, based on the asymptotic preserving property, has been used for the gas dynamics equations with stiff source terms. The second approach, based on the all-regime property, has been used for the gas dynamics equations and the homogeneous two-phase flows models HRM and HEM in the low Mach regime. We obtained some robustness and stability properties for our numerical schemes. In particular, some discrete entropy inequalities are shown. Numerical evidences, in 1D and in 2D on unstructured meshes, assess the gain in term of accuracy and CPU time of those asymptotic preserving and all-regime numerical schemes in comparison with classical finite volume methods.

Ces travaux se concentrent sur la résolution de problèmes de mécanique des fluides compressibles. De nombreuses méthodes numériques ont depuis plusieurs décennies été développées pour traiter ce type de problèmes. Cependant, l'évolution et la complexité des architectures informatiques nous poussent à actualiser et repenser ces méthodes numériques afin d'utiliser efficacement les calculateurs massivement parallèles. Au moyen de modèles de performance, nous analysons une méthode numérique de référence de type Lagrange-Projection afin de comprendre son comportement sur les supercalculateurs récents et d'en optimiser l'implémentation pour ces architectures. Grâce au bilan de cet analyse, nous proposons une formulation alternative de la phase de projection ainsi qu'une nouvelle méthode numérique plus performante baptisée Lagrange-Flux. Les développements de cette méthode ont permis d'obtenir des résultats d'une précision comparable à la méthode de référence. / This works are dedicated to hydrodynamics. For decades, numerous numerical methods has been developed to deal with this type of problems. However, both the evolution and the complexity of computing make us rethink or redesign our numerical solver in order to use efficiently massively parallel computers. Using performance modeling, we perform an analysis of a reference Lagrange-Remap solver in order to deeply understand its behavior on current supercomputer and to optimize its implementation. Thanks to the conclusions of this analysis, we derive a new numerical solver which by design has a better performance. We call it the Lagrange-Flux solver. The accuracy obtained with this solver is similar to the reference one. The derivation of this method also leads to rethink the Remap step.

Cette thèse traite de la modélisation et de l'approximation numérique des écoulements liquide-gaz compressibles. La difficulté essentielle réside dans la modélisation et l'approximation de l'interface liquide-gaz. Schématiquement, deux types de méthodes permettent l'étude de la dynamique de l'interface : l'approche eulérienne, aussi dite de capture de front ("front capturing method") et l'approche lagrangienne, de suivi de front ("front tracking method"). Nos travaux sont plutôt basés sur la méthode de capture de front. Le modèle bifluide est constitué d'un système de lois de conservation du premier ordre traduisant le bilan de masse, de quantité de mouvement et d'énergie du système physique. Ce système doit être fermé par une loi de pression du mélange gaz-liquide pour que sa résolution soit possible. Cette loi de comportement doit être choisie soigneusement, puisqu'elle conditionne les bonnes propriétés du système comme l'hyperbolicité ou l'existence d'une entropie de Lax. Les méthodes d'approximation doivent permettre de traduire au niveau discret ces propriétés. Les schémas conservatifs classiques de type Godunov peuvent être appliqués au modèle bifluide. Ils conduisent cependant à des imprécisions qui les rendent inutilisables en pratique. Enfin, l'existence de solutions discontinues rend difficile la construction de schémas d'ordre élevé. La structure complexe des solutions nécessite alors des maillages très fins pour une précision acceptable. Il est donc indispensable de proposer des algorithmes performants pour les calculateurs parallèles les plus récents. Au cours de cette thèse, nous allons aborder partiellement chacune de ces problématiques : construction d'une "bonne" loi de pression, construction de schémas numériques adaptés, programmation sur calculateur massivement multicoeur.

Ce travail est consacré à l’étude numérique de l’interaction entre un fluide compressible et une structure indéformable, en adaptant une famille récente de schémas d’ordre très élevé à la prise en compte de conditions aux bords particulières entre le fluide et la structure. Plus précisément,on évalue l’apport de schémas d’ordre strictement supérieur à 3 par rapport à des stratégies plus classiques dans la littérature restreintes aux ordres 1 et 2. Un résultat important est qu’il est possible de réaliser le couplage à tout ordre et qu’il existe des configurations pour lesquelles on observe un gain important pour les ordres élevés. Une revue bibliographique est faite rappelant les résultats théoriques concernant les systèmes hyperboliques et décrivant les méthodes utilisées dans la littérature pour la simulation de la dynamique des gaz et la prise en compte des conditions aux bords. Un schéma sur grilles cartésiennes décalées et d’ordre très élevé est proposé pour la résolution des équations d’Euler en 1D/2D. Ce schéma est basé sur le formalisme Lagrange-projection et bien que formulé en énergie interne assure conservation et consistance faible grâce à un correctif en énergie interne. Parallèlement, l’étude pour les systèmes hyperboliques linéaires de discrétisation à l’ordre très élevé des conditions aux bords est faite. Elle met en évidence la nécessité pour l’ordre élevé de s’intéresser à la stabilité des schémas ainsi obtenus. À partir de ces travaux, la prise en compte de conditions aux bords en vitesse normale imposée est réalisée pour les équations d’Euler en 1D et 2D. Enfin, une procédure de couplage entre fluide compressible et structure indéformable est proposée. / This work is devoted to the construction of stable and high-order numerical methods in order to simulate fluid - rigid body interactions. In this manuscript, a bibliographic overview is done, which highlights theoretical results about hyperbolic system of conservation laws, as well as the methods available in the literature for the hydrodynamics simulation and the numericalboundary treatment. A high-order accurate scheme is proposed on staggered Cartesian grids to approximate the solution of Euler equations in 1D and 2D. The scheme relies on Lagrange-remap formalism, and although formulated in internal energy, ensures both conservation and weak consistency thanks to an internal energy corrector. In the same time, the study of high-order numerical boundary treatment for linear hyperbolic system is done. It highlights the necessity to focus especially on the linear stability of the effective scheme. Starting from the linear results, the numerical boundary treatment with imposed normal velocity is done for Euler equations in 1D and 2D. Last, the coupling between a compressible fluid and a rigid body is realized, using the designed procedure for numerical boudary treatment.